一類巨災(zāi)沖擊模型及其債券定價(jià)

張節(jié)松

淮北師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 安徽淮北 235000

中華人民共和國(guó)國(guó)務(wù)院于2014年發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展現(xiàn)代保險(xiǎn)服務(wù)業(yè)的若干意見》(國(guó)發(fā)[2014]29號(hào))，明確保險(xiǎn)是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的重要產(chǎn)業(yè)和風(fēng)險(xiǎn)管理基本手段，圍繞保障和改善民生，將保險(xiǎn)納入災(zāi)害事故防范救助體系，鼓勵(lì)各地根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)特點(diǎn)，探索對(duì)臺(tái)風(fēng)、地震、滑坡、泥石流、洪水及森林火災(zāi)等自然災(zāi)害的有效保障模式，建立巨災(zāi)保險(xiǎn)制度．同年7月，深圳成為中國(guó)第1個(gè)巨災(zāi)保險(xiǎn)試點(diǎn)，隨后寧波、云南、四川、廣東、黑龍江等地相繼開展巨災(zāi)保險(xiǎn)試點(diǎn)，巨災(zāi)保險(xiǎn)試點(diǎn)工作拉開帷幕．

巨災(zāi)破壞性強(qiáng)，隨時(shí)可能產(chǎn)生高額索賠．保險(xiǎn)公司的承保能力有限，巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的合理分散直接關(guān)系到保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)穩(wěn)定性與長(zhǎng)足發(fā)展．為了轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)并增加承保風(fēng)險(xiǎn)能力，近年來出現(xiàn)一種新型風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移工具——保險(xiǎn)連接債券[1]．保險(xiǎn)公司或再保險(xiǎn)公司通過與銀行合作，發(fā)行巨災(zāi)保險(xiǎn)債券，搭起保險(xiǎn)與資本市場(chǎng)之間的橋梁．借助資本市場(chǎng)的雄厚資金提高保險(xiǎn)公司的承保能力，同時(shí)也為投資者提供一種新的投資途徑[2]．2015年7月1日，中國(guó)第1只以地震風(fēng)險(xiǎn)為保障對(duì)象的巨災(zāi)債券在境外市場(chǎng)成功發(fā)行．此類巨災(zāi)債券在邏輯特征上具有保險(xiǎn)產(chǎn)品屬性，結(jié)構(gòu)特征上又具備金融產(chǎn)品屬性，這種雙重屬性特征、巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生頻率及其造成損失規(guī)模的難以預(yù)測(cè)性，使得巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)債券的估值比純金融衍生品定價(jià)更困難，至今仍未形成統(tǒng)一的定價(jià)理論體系[3]．

巨災(zāi)衍生品定價(jià)的一個(gè)重要因素是恰當(dāng)選擇巨災(zāi)損失隨機(jī)模型[3-4]．經(jīng)典的極值風(fēng)險(xiǎn)理論假定風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布[1-6]，但地球物理學(xué)的現(xiàn)代應(yīng)用研究發(fā)現(xiàn)，極端災(zāi)害事件發(fā)生的時(shí)間間隔具有記憶性，服從冪律分布[7-10]．MUSSON等[8]研究了日本和希臘幾個(gè)地區(qū)的地震間隔時(shí)間，發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合效果更好．SALIM等[9]采用廣義Bartlett-Lewis模型與Pareto風(fēng)暴到達(dá)時(shí)間間隔，研究愛爾蘭西南部每小時(shí)的降雨數(shù)據(jù)．STOYNOV等[10]提出一種轉(zhuǎn)換時(shí)間分布預(yù)測(cè)長(zhǎng)江和黃河的洪水到達(dá)時(shí)刻．REPIN等[11]運(yùn)用隨機(jī)過程方法考慮極端災(zāi)害事件發(fā)生時(shí)間間隔的非指數(shù)分布現(xiàn)象，并首次提出分?jǐn)?shù)Poisson過程．BIARD等[12]進(jìn)一步將索賠間隔變量的分布函數(shù)由指數(shù)分布替換為Mittag-Leffer分布，采用復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程描述保險(xiǎn)公司的盈余過程，構(gòu)建了適用于巨災(zāi)沖擊情形的復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson盈余過程，并應(yīng)用于破產(chǎn)理論．與經(jīng)典的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型不同，復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程為非平穩(wěn)非馬氏過程[12-13]．BIARD 等[12, 14]研究了復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程的長(zhǎng)相依性和短相依性，WANG等[15]給出相應(yīng)參數(shù)估計(jì)，SCALAS等[16]證明其二次變差過程的收斂性，ZHANG等[17]則在最大化調(diào)節(jié)系數(shù)的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)下研究該過程分層再保險(xiǎn)問題．

本研究考慮巨災(zāi)沖擊的影響，采用復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程刻畫保險(xiǎn)公司的承保風(fēng)險(xiǎn)；為合理分散高額索賠風(fēng)險(xiǎn)，在利用矩匹配方法給出累積損失廣義Pareto型逼近分布的基礎(chǔ)上，給出CIR(Cox-Ingersoll-Ross)利率模型下零息票巨災(zāi)債券的定價(jià)公式；結(jié)合數(shù)值示例驗(yàn)證分布逼近的有效性，特別是對(duì)大額索賠情形擬合效果理想．本研究還分析記憶參數(shù)對(duì)期望風(fēng)險(xiǎn)和債券價(jià)格的動(dòng)態(tài)影響，揭示不同債券期限水平下的變化趨勢(shì)．研究結(jié)果可為保險(xiǎn)公司在巨災(zāi)沖擊情形下準(zhǔn)確估測(cè)并合理轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)、維護(hù)公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)、以及減輕災(zāi)后恢復(fù)時(shí)政府的財(cái)政壓力提供理論依據(jù)．

1 模型構(gòu)建與設(shè)定

考慮以0時(shí)刻為起點(diǎn)并以T時(shí)刻為終期的保險(xiǎn)與金融市場(chǎng)，其不確定性表示為帶流的概率空間(Ω,F,P,(Ft)0≤t≤T)． 記{Sh(t):t∈[0,T]}為累積索賠(損失)過程，其中，h為記憶參數(shù)； {Xi:i≥1}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)索賠變量； {Vh(t):t∈[0,T]}為零息票巨災(zāi)債券的價(jià)格過程； {rt:t∈[0,T]}為短期利率過程； {ωt:t∈[0,T]}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)．

1.1 巨災(zāi)沖擊損失模型

鑒于巨災(zāi)發(fā)生時(shí)間間隔分布的冪律性[7-10]，本研究采用文獻(xiàn)[12]提出的復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson模型，刻畫保險(xiǎn)公司的承保風(fēng)險(xiǎn)過程．因此，t時(shí)刻之前保險(xiǎn)人的累積損失Sh(t)為

(1)

其中，索賠序列{Xi:i≥1}具有共同分布FX；計(jì)數(shù)過程N(yùn)h(t)為分?jǐn)?shù)Poisson過程．具體地，設(shè)索賠間隔時(shí)間序列{τi:i≥1}相互獨(dú)立且具有共同分布：

P(τ>t)=Eh(-λth)

其中，λ>0； 0

若h=1， 復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程退化為經(jīng)典復(fù)合Poisson過程．但與經(jīng)典情形不同，當(dāng)0

1.2 利率模型

利率是金融市場(chǎng)的重要價(jià)格變量之一，直接決定了相關(guān)金融產(chǎn)品的價(jià)格．在利率隨機(jī)行為的眾多刻畫模型中，Vasicek和CIR單因素利率期限結(jié)構(gòu)模型應(yīng)用最為廣泛[19-20]．本研究采用含平方根形式(規(guī)避短期瞬時(shí)利率可能為負(fù)的情況)的CIR利率模型，在客觀概率條件P下，將短期利率rt表示為

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，利率過程變化為

1.3 零息票巨災(zāi)債券定價(jià)公式

由于缺少可交易的標(biāo)的資產(chǎn)，巨災(zāi)債券是以觸發(fā)水平為變量的結(jié)構(gòu)化支付產(chǎn)品．本研究約定以Sh(T)超過債券合約中指定的門限水平D為觸發(fā)條件．考慮面值為1，期限為T的零息票巨災(zāi)債券，其支付結(jié)構(gòu)PCAT(T)定義為

其中，p表示在期限[0,T]內(nèi)累積索賠超越門限水平D條件下約定的支付比例．

給定門限水平D， 巨災(zāi)抵達(dá)過程為Nh(t)， 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q條件下，遵循COX等[21-22]的假定，即僅依賴巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的變量與僅依賴金融風(fēng)險(xiǎn)的變量獨(dú)立，且累積索賠過程從客觀概率轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度中保持特征結(jié)構(gòu)不變．因此，CIR利率模型下期限為T、 面值為1的零息票巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)債券在時(shí)刻t的價(jià)格為

(2)

2 分布逼近

由定價(jià)公式(2)可知，要求出巨災(zāi)債券的價(jià)格過程，除確定待定參數(shù)，還需求解Sh(t)的精確分布，然而高階卷積通常難以計(jì)算[1, 3]．此類分布即使在經(jīng)典復(fù)合Poisson情形下也幾乎不能獲得[23]．在保險(xiǎn)與金融實(shí)踐中，通常運(yùn)用矩匹配方法進(jìn)行分布逼近．根據(jù)擬逼近分布尾部特征的不同，存在多種矩匹配的方法．當(dāng)分布輕尾時(shí)，可選擇混合Erlang 分布[24]；當(dāng)分布重尾時(shí)，LINDSKOG等[25-26]指出廣義Pareto分布具有良好適用性．這里考慮巨災(zāi)損失分布重尾的情況，令Sh(t)服從廣義Pareto分布

FS(s)=B(υ,α,s/(η+s))，s>0

(3)

易見，F(xiàn)S中含有3個(gè)待定參數(shù)υ,α及η． 實(shí)際上，S=Sh(t)的m階矩可通過這些參數(shù)表示為

記Mk=E[Sk]/(E[S])k， 由文獻(xiàn)[26]可知，3個(gè)待定參數(shù)又可通過S的前三階矩表示為

(4)

因此，根據(jù)矩匹配方法，對(duì)任意給定時(shí)刻t， 只要求得Sh(t)的前三階矩，再由式(3)和式(4)即可求得復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson模型的逼近分布．實(shí)際上，有如下結(jié)論．

引理1記索賠變量X的前三階矩為μi，i=1,2,3， 則累積索賠Sh(t)的前三階矩分別為

(5)

(6)

(7)

【證】綜合文獻(xiàn)[27]的式(4.10)、(2.6)以及(1.5)，可得Sh(t)特征函數(shù)為

于是，

因此，由特征函數(shù)的性質(zhì)可知，

式(5)成立．

于是，

再由特征函數(shù)的性質(zhì)可得，

式(6)成立．

類似可證式(7)成立．證畢．

注1隨著記憶參數(shù)h的增大，期望損失可能出現(xiàn)遞減、先增后減以及遞增的多種情形，與時(shí)間參數(shù)t的大小有關(guān)，并不具有統(tǒng)一的單調(diào)性．

注2由引理1可得，累積損失的方差等于

在h=1時(shí)， Var[Sh(t)]退化為λμ2t． 但當(dāng)0

至此，根據(jù)式(3)給出如下分布逼近結(jié)果．

定理1記Mk=E[(Sh(t))k]/(E[Sh(t)])k， 則Sh(t)近似服從廣義Pareto分布

其中，參數(shù)υ,α及η由式(4)確定．

3 示例與分析

令個(gè)體索賠額X(單位：萬元)服從Pareto型重尾分布

FX(x)=1-(300/(300+x))4，x>0．

給定λ=1，T=2及h=0.5， 對(duì)累積索賠Sh(T)的分布進(jìn)行隨機(jī)模擬(其中，分?jǐn)?shù)Poisson過程的模擬方法可參考文獻(xiàn)[28])，并與逼近分布FS進(jìn)行比較，結(jié)果如圖1．

由圖1可見，定理1所給出的逼近效果良好，特別是對(duì)大額索賠擬合程度非常高，這與本研究更關(guān)注巨災(zāi)索賠厚尾特性的考慮相一致．

由圖2(b)可知，債券合約的期限T越長(zhǎng)，債券價(jià)格越低，因?yàn)槔曙L(fēng)險(xiǎn)增多且觸發(fā)條件發(fā)生的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)也越大(門限水平固定)．進(jìn)一步對(duì)比圖2(b)與圖2(a)發(fā)現(xiàn)，對(duì)給定的期限T， 隨著記憶參數(shù)的增大，債券價(jià)格出現(xiàn)單調(diào)遞增(T=0.2)、 先減后增(T=1.0)及單調(diào)遞減(T=1.8)多種情形，并無確定的變化趨勢(shì)，且與期望損失的變化情形正好相反．這符合風(fēng)險(xiǎn)與收益成正比的均衡原則，因?yàn)槠谕麚p失越大，投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)增大，債券價(jià)格下降，期望收益提高．至于記憶參數(shù)增大的條件下，期望損失及債券價(jià)格均沒有確定變化趨勢(shì)的現(xiàn)象，主要與索賠次數(shù)有關(guān)．實(shí)際上，Mittag-Leffer型等待時(shí)間變量具有重尾特性，記憶參數(shù)h的增大可能引起索賠次數(shù)期望值的遞增或遞減．與傳統(tǒng)指數(shù)型索賠等待時(shí)間不同，Mittag-Leffer型等待時(shí)間具有無窮均值．

圖2 不同T條件下h的動(dòng)態(tài)影響Fig.2 Dynamic effect of h under different term of bond contract T

結(jié) 語

中國(guó)是世界上受自然災(zāi)害影響最嚴(yán)重的幾個(gè)國(guó)家之一，盡快建立合理的巨災(zāi)保險(xiǎn)制度具有重要意義．目前，中國(guó)巨災(zāi)保險(xiǎn)試點(diǎn)工作不斷推進(jìn)，但仍需進(jìn)一步創(chuàng)新產(chǎn)品設(shè)計(jì)開發(fā)，建立多層次巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分散機(jī)制．本研究為了準(zhǔn)確評(píng)估承保巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)可能給保險(xiǎn)公司帶來的沖擊，采用更貼近保險(xiǎn)實(shí)務(wù)的復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson模型刻畫保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)過程，并考慮巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的厚尾特征，運(yùn)用廣義Pareto型逼近分布；為合理分散和轉(zhuǎn)移巨額損失，研究了CIR利率模型下巨災(zāi)保險(xiǎn)連接債券的定價(jià)問題，并給出相應(yīng)定價(jià)公式．結(jié)合數(shù)值示例驗(yàn)證分布逼近的有效性，其對(duì)高額索賠的擬合效果理想．在不同債券期限水平下，考察記憶參數(shù)對(duì)期望風(fēng)險(xiǎn)和債券價(jià)格的影響．結(jié)果表明，記憶參數(shù)的增大對(duì)期望風(fēng)險(xiǎn)和債券價(jià)格的影響呈現(xiàn)出相反而多形態(tài)的趨勢(shì)，與期限水平密切相關(guān)．研究說明了單調(diào)性相反的現(xiàn)實(shí)意義，多形態(tài)趨勢(shì)的原因主要與記憶參數(shù)對(duì)期望索賠次數(shù)的影響有關(guān)．然而，該影響機(jī)制的更深層次原因還有待進(jìn)一步探究，可能與記憶效應(yīng)的長(zhǎng)期和短期性有關(guān)．鑒于Mittag-Leffer分布的特殊性及其非初等密度函數(shù)處理的非平凡性，要探明其確切原因還需要一些處理技術(shù)的突破，這將作為下一步研究的重要方向．