培養(yǎng)學(xué)生推理能力三步走：猜想、驗(yàn)證、歸納

朱習(xí)冰

[摘 要]新課標(biāo)指出，推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。推理是基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。教師應(yīng)注重在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的基本方法，即創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)合理猜想;實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，注重推理過(guò)程;歸納總結(jié)，導(dǎo)出推理結(jié)論。

[關(guān)鍵詞]推理;圓錐;體積;猜想;驗(yàn)證

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）05-0077-02

新課標(biāo)指出：“推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。推理是基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！痹谛W(xué)階段，合情推理是最常用的推理方法，其進(jìn)一步分為歸納推理和類比推理。在教學(xué)中，教師既應(yīng)注重傳授給學(xué)生基本知識(shí)和技能，也要注意培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，在潛移默化中引導(dǎo)學(xué)生以推理的思維發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而為學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。筆者以“圓錐的體積”教學(xué)為例，論述了在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的基本方法，期望能給各位教師以啟發(fā)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)合理猜想

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與推理活動(dòng)是引發(fā)合理猜想的前提。在教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的問(wèn)題情境，給予學(xué)生有趣的數(shù)學(xué)材料，通過(guò)問(wèn)題引發(fā)認(rèn)知沖突，為學(xué)生進(jìn)行合理猜想創(chuàng)造條件。猜想是推理的前提，猜想為推理提供了方向。牛頓曾說(shuō)：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)！”新課標(biāo)也明確指出：“要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，讓他們有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)?！睌?shù)學(xué)猜想是人的思維在探索數(shù)學(xué)本質(zhì)時(shí)的一種認(rèn)知策略，它是學(xué)生在已有知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上運(yùn)用非邏輯手段而獲得的一種假設(shè)。數(shù)學(xué)猜想能縮短解題時(shí)間，為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)提供了更多可能，是鍛煉人的數(shù)學(xué)思維的重要方式。在教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生去猜想、驗(yàn)證，并在猜想與驗(yàn)證中進(jìn)行推理。

師：笑笑家里的小麥豐收了，小麥堆成了一座小山。這時(shí)，爺爺給笑笑出了一道難題——你知道這堆小麥的體積大約是多少立方米嗎？這可讓笑笑為難了。同學(xué)們，能幫笑笑解決這道難題嗎？

生1：麥堆的形狀近似圓錐。

生2：我們還沒有學(xué)過(guò)圓錐的體積公式呢。

師：想一想，我們?cè)谕茖?dǎo)幾何圖形的面積和體積公式時(shí)，最常用的方法是什么呢？

生3：我們常用到轉(zhuǎn)化的方法。比如我們把圓柱轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方體，從長(zhǎng)方體體積公式推導(dǎo)出了圓柱的體積公式。

生4：或許我們可以把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱。

生5：不行，它們的形狀差別很大，轉(zhuǎn)化起來(lái)并不容易。

師：如果把圓錐轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體呢？

生6：也不行。長(zhǎng)方體六個(gè)面都是平面，圓錐有一個(gè)曲面。

師：那我們是不是應(yīng)該轉(zhuǎn)換一下思路呢？

（學(xué)生討論）

師：為什么把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體，能夠順利地推導(dǎo)出圓柱的體積公式呢？

生7：因?yàn)檗D(zhuǎn)化前后圓柱的體積和長(zhǎng)方體的體積相同，而且圓柱和長(zhǎng)方體等底等高。

師：那我們是不是也可以找一個(gè)和圓錐等底等高的圓柱（如右圖所示），來(lái)找出二者之間的關(guān)系呢？

生8：可以，這樣就間接地實(shí)現(xiàn)了圖形的轉(zhuǎn)化。

生9：我猜圓柱的體積是與之等底等高的圓錐體積的2倍。

生10：我猜圓柱的體積是與之等底等高的圓錐體積的3倍。

生11：我猜圓柱的體積是與之等底等高的圓錐體積的4倍。

在教學(xué)中，教師結(jié)合生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)了“計(jì)算麥堆的體積”的情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生在思考中意識(shí)到現(xiàn)有的知識(shí)無(wú)法解決新的問(wèn)題，進(jìn)而引發(fā)了認(rèn)知沖突，為下一步探索奠定了基調(diào)。如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想是教學(xué)的關(guān)鍵，尤其是教師怎樣引導(dǎo)學(xué)生將圓錐和與其等底等高的圓柱的體積進(jìn)行比較更是關(guān)鍵中的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師從學(xué)生已有的探究經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的經(jīng)驗(yàn)，找出一個(gè)與圓錐等底等高的圓柱，然后猜想二者之間的體積關(guān)系。如此，學(xué)生對(duì)于“‘等底等高是怎樣想到的？”“為什么要把圓錐和等底等高的圓柱體積相比較？”等問(wèn)題就了然于胸，同時(shí)，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自然會(huì)猜想圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的幾倍。

二、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，注重推理過(guò)程

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性，而小學(xué)生的思維以形象思維為主，要找到把抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象知識(shí)的媒介，實(shí)驗(yàn)操作是不二選擇，而且實(shí)驗(yàn)活動(dòng)可以有效激發(fā)學(xué)生的求知欲。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生親自動(dòng)手操作，從直觀動(dòng)作出發(fā)，歷經(jīng)觀察、分析等過(guò)程，最終獲得真知、提升能力。實(shí)驗(yàn)本身具有較強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性，這就要求學(xué)生在做實(shí)驗(yàn)時(shí)要從細(xì)節(jié)處著手，關(guān)注實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，盡量減小實(shí)驗(yàn)誤差。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中學(xué)生可以培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的習(xí)慣。

在實(shí)驗(yàn)中，教師可把學(xué)生分為四大組，每一組都有等底等高的圓柱形和圓錐形容器各一個(gè)，其中，第一、第二組以大豆為實(shí)驗(yàn)材料，第三、第四組以沙子為實(shí)驗(yàn)材料。學(xué)生往圓錐形容器里裝滿大豆或沙子，然后把大豆或沙子倒進(jìn)圓柱形容器里，看看倒幾次能把圓柱形容器裝滿，以此來(lái)判定二者之間的體積關(guān)系。

第一組學(xué)生：我們發(fā)現(xiàn)倒了兩次的時(shí)候圓柱形容器還沒滿，但是倒第三次時(shí)，圓錐形容器里就會(huì)剩下一些大豆，因此我們認(rèn)為圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的2.5倍。

第三組學(xué)生：我們倒了三次剛好把圓柱形容器倒?jié)M，因此我們得出“圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的3倍”的結(jié)論。

師：為什么不同組的實(shí)驗(yàn)會(huì)得出不同的結(jié)論呢？

生1：因?yàn)榕c沙子相比，大豆的顆粒更大些，所以大豆與大豆之間的空隙也比較大，影響了實(shí)驗(yàn)的精度，這樣實(shí)驗(yàn)的誤差就增大了度。

生2：而沙子與沙子之間比較“緊實(shí)”，所以用沙子做實(shí)驗(yàn)材料更加準(zhǔn)確。

師：做實(shí)驗(yàn)時(shí)我們應(yīng)該如何減小誤差呢？

生3：應(yīng)該選擇合理的實(shí)驗(yàn)材料。

生4：如果條件允許，我們應(yīng)該多做幾次實(shí)驗(yàn)，這樣就能得出比較準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

生5：實(shí)驗(yàn)操作一定要細(xì)心，比如倒沙子在圓錐形容器時(shí)要倒?jié)M，但也不能溢出，與圓錐的“口”持平即可，不要把沙子撒到容器外。

通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)推理的重要手段。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生采取了對(duì)比實(shí)驗(yàn)法，使學(xué)生通過(guò)對(duì)比意識(shí)到科學(xué)選擇實(shí)驗(yàn)工具和材料的重要性。有了對(duì)比，學(xué)生才真正了解了實(shí)驗(yàn)當(dāng)中有哪些需要注意的地方，怎樣做才能最大限度地減小實(shí)驗(yàn)誤差。在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)操作、實(shí)驗(yàn)反思的完整過(guò)程，最終得出了科學(xué)的結(jié)論，并在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的品質(zhì)。

三、歸納總結(jié)，導(dǎo)出推理結(jié)論

通過(guò)合理猜想和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證兩個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生距離最終的結(jié)論越來(lái)越近。教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并通過(guò)歸納推理得出最終結(jié)論，由此完成推理過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否具有普遍性，只有經(jīng)歷了這樣的分析和思考過(guò)程，學(xué)生才能對(duì)推理結(jié)論更加信服。

師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，我們得出“圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的3倍”的結(jié)論，換句話說(shuō)就是，圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的[13]。如果用V表示圓錐的體積，S表示底面積，h表示高，你能寫出圓錐體積的公式嗎？

生1：V=[13]Sh。

師：要計(jì)算圓錐的體積，需要知道哪些條件？

生2：要知道圓錐的底面半徑或直徑和高。

師：讓我們回到笑笑爺爺出的問(wèn)題，現(xiàn)在，你能幫助笑笑解決這個(gè)問(wèn)題了嗎？

生3：可以用纏繞法量出麥堆底面的周長(zhǎng)，然后求出其半徑，進(jìn)一步求得底面積，再量麥堆的高，這樣就能求出麥堆的體積了。

有了前面實(shí)驗(yàn)分析的鋪墊，學(xué)生理解“圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的[13]”這一結(jié)論并非難事，學(xué)生也就水到渠成地?fù)?jù)此推導(dǎo)出圓錐的體積公式了。在這一環(huán)節(jié)中，教師發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生自己得出結(jié)論，從而使學(xué)生體驗(yàn)了合理猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、歸納推理的完整過(guò)程。

推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。然而，推理的過(guò)程是環(huán)環(huán)相扣的，猜想、驗(yàn)證、歸納都是推理不可或缺的重要環(huán)節(jié)。因此，教師要在教學(xué)中融入推理活動(dòng)的各環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在原有認(rèn)知上大膽猜想，進(jìn)行驗(yàn)證，并在這個(gè)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的推理能力。

（責(zé)編 黃 露）