考慮不確定因素的滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差研究

馬雅麗，朱 宇

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 大連 116024)

滾動導(dǎo)軌的準(zhǔn)靜態(tài)誤差是零件運動時，功能點的實際位置、方向、軌跡等與理想狀態(tài)的偏差[1]，包含幾何誤差和運動誤差。其中，幾何誤差指零件自身的形狀、尺寸和位置誤差；運動誤差指兩運動零件幾何誤差通過相對運動綜合體現(xiàn)的誤差。

在滾動導(dǎo)軌誤差研究方面，國內(nèi)外學(xué)者主要采用有限元分析與理論解析相結(jié)合的方法，集中于分析幾何誤差、預(yù)緊力以及外載等影響因素。Khim等[2]建立了滾動導(dǎo)軌位置誤差與形狀誤差之間的預(yù)測分析模型，對其運動誤差進(jìn)行分析。Ohta等[3]建立了滾動導(dǎo)軌彈性變形模型；Soons等[4]基于剛體齊次坐標(biāo)變換建立了準(zhǔn)靜態(tài)空間誤差模型。Jones[5]和Harris[6]提出Jones-Harris方法，建立了接觸角分析的力學(xué)模型；張學(xué)寧等[7]基于簡化的Jones-Harris方法，分析了多種因素對接觸角的影響規(guī)律；張巍等[8]提出了考慮預(yù)緊力和接觸角變化的滾動導(dǎo)軌誤差建模方法。

不確定分析是研究不確定因素對系統(tǒng)的影響規(guī)律，工程中常采用區(qū)間分析、概率理論或模糊理論求解。姜潮[9]提出了基于區(qū)間的不確定性優(yōu)化理論與算法。Rackwitz等[10]通過概率理論，分析了隨機(jī)載荷作用下的結(jié)構(gòu)可靠性。馬雅麗等[11]基于不確定性分析方法，采用區(qū)間參數(shù)和小位移旋量實現(xiàn)不確定性誤差描述，建立了滾動導(dǎo)軌誤差分析模型。

現(xiàn)有的研究成果奠定了滾動導(dǎo)軌誤差分析的理論基礎(chǔ)。但是，一方面大多基于設(shè)計參數(shù)確定性分析，很少考慮不確定因素對滾動導(dǎo)軌誤差的影響，分析結(jié)果不符合工程實際；另一方面在誤差建模時，大多將滾動體與導(dǎo)軌、滑塊的接觸問題簡化為雙邊接觸問題，忽略了接觸角變化，導(dǎo)致彈性變形誤差與實際情況存在偏差。

針對這些問題，本文一方面分析不確定性因素作用下的接觸受力狀態(tài)，探索不確定因素對滾動導(dǎo)軌接觸變形的影響規(guī)律；另一方面在誤差建模時，將簡化的雙邊接觸問題細(xì)化為更符合實際情況的兩個單邊接觸問題進(jìn)行處理，引入接觸角和接觸變形誤差，揭示滾動體在幾何誤差、預(yù)緊力以及外載荷作用下的幾何變形關(guān)系，為滾動導(dǎo)軌誤差分析提供依據(jù)。

1 不確定因素作用下的接觸分析

滾動導(dǎo)軌主要由導(dǎo)軌、滾動體和滑塊等零件組成，因其幾何誤差的不確定性，導(dǎo)致接觸角和接觸變形發(fā)生變化，并直接影響滾動導(dǎo)軌受力狀況。

1.1 接觸狀態(tài)及其影響因素

1)理想接觸狀態(tài)。

理想狀態(tài)下，滾動導(dǎo)軌無幾何誤差和彈性變形誤差。導(dǎo)軌、滑塊滾道曲率中心分別為Od,Oh；滾動體和導(dǎo)軌、滑塊間接觸力方向與豎直方向的夾角(稱為接觸角)、接觸變形分別為αd,αh和δd,δh，且αd=αh,δd=δh，如圖1所示。

圖1 理想接觸狀態(tài)

2)實際接觸狀態(tài)。

實際狀態(tài)下，滾動導(dǎo)軌存在幾何誤差和彈性變形誤差，其接觸狀態(tài)如圖2所示。幾何誤差會引起滾動體接觸角變化。彈性變形誤差使零件位姿誤差發(fā)生變化，表現(xiàn)為滾動體接觸變形。圖中，預(yù)緊力F0使?jié)L動體受壓，外載荷F使部分滾動體被壓，從而使部分滾動體預(yù)緊變松。

零件幾何誤差滿足公差約束，具有區(qū)間不確定屬性。幾何誤差的區(qū)間不確定性，導(dǎo)致滾動體接觸角的區(qū)間不確定性，即αd∈[αdmin,αdmax],αh∈[αhmin,αhmax]。接觸角影響預(yù)緊力、外載荷之間耦合關(guān)系，使?jié)L動體所受合力大小不確定，導(dǎo)致接觸變形的區(qū)間不確定性，即δd∈[δdmin,δdmax],δh∈[δhmin,δhmax]。幾何誤差和接觸變形誤差造成實際接觸狀態(tài)下滑塊位姿誤差不確定，即實際接觸狀態(tài)下滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差的不確定性。

圖2 實際接觸狀態(tài)

1.2 滾動體受力分析

滾動體與導(dǎo)軌、滑塊之間接觸產(chǎn)生法向和切向載荷，如圖3所示。其中Fd,Fh,fd,fh分別是導(dǎo)軌、滑塊對滾動體的法向作用力和切向摩擦力。近似認(rèn)為力的方向為沿著滾道曲率中心與滾動體中心的連線方向。滾動體在X軸、Z軸方向平衡方程為：

(Fh+F0)·sinαh=(Fd+F0)·sinαd+

fd·sinαh+fh·cosαh

(1)

(Fh+F0)·cosαh=(Fd+F0)·cosαd+

fd·cosαh+fh·sinαh

(2)

其中：

fd=μd(Fd+F0),fh=μh(Fh+F0)

(3)

式中：μd,μh分別為滾動體與導(dǎo)軌、滑塊的摩擦系數(shù)；其余參數(shù)如圖3所示。

1.3 滑塊受力分析

受載階段，不同位置滾動體受到的載荷不同，導(dǎo)致滾動體對滑塊的彈性回復(fù)力Fh′不同，如圖4所示。

圖3 滾動體受力

圖4 滑塊受力

(4)

(5)

滑塊受到的載荷包括重力、外載荷及所有滾動體的彈性回復(fù)力，且處于平衡狀態(tài)，其表達(dá)式為：

(6)

式(4)～(6)中：Kd,Kh為與滾動體直徑和滾道曲率有關(guān)的接觸系數(shù)[12]；i為滾道序號；j為滾動體序號；n為單個滾道滾動體個數(shù)；Foutx,Foutz為X軸、Z軸方向外載力；Moutx,Mouty,Moutz為繞X軸、Y軸、Z軸外載轉(zhuǎn)矩；其余參數(shù)如圖4所示。

2 滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差建模

準(zhǔn)靜態(tài)誤差的被測要素為運動軌跡,因此滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差可視為幾何誤差和彈性變形誤差耦合作用下實際運動軌跡與理想運動軌跡的偏差,可通過滑塊運動時實際位姿與理想位姿之間連續(xù)變化的偏差進(jìn)行描述。

2.1 誤差描述

本文定義誤差參量描述幾何誤差，用位姿誤差變換矩陣描述幾何誤差和彈性變形誤差對零件位姿誤差的影響。

1)不確定性幾何誤差描述。

滾動導(dǎo)軌的幾何誤差包括導(dǎo)軌直線度誤差、滾道曲率半徑尺寸誤差等。幾何誤差是典型幾何要素實際狀態(tài)與理想狀態(tài)的偏差，具有不確定性，需要不確定參量去描述。

本文定義誤差參量作為不確定參量來描述幾何誤差。三維空間中，幾何誤差變動量可以用向量D=(δ,θ) =(δx,δy,δz,θx,θy,θz)進(jìn)行描述，其中用δ=(δx,δy,δz)和θ=(θx,θy,θz)分別表示位置和角度誤差，定義δx,δy,δz,θx,θy,θz為誤差參量。

幾何誤差具有區(qū)間屬性，工程中通過公差對其進(jìn)行描述。幾何誤差由許多相互獨立的隨機(jī)因素互相影響，故其分布情況大多符合正態(tài)分布規(guī)律[13]。因此，結(jié)合區(qū)間分析和概率理論來求解不確定性幾何誤差。

滾動導(dǎo)軌直線度誤差參量可表述為δXF,δZF,θXF,θZF。導(dǎo)軌和滑塊滾道曲率半徑尺寸誤差參量可表述為δXC,δZC。 采用獨立原則，則直線度誤差參量變動區(qū)間為:δXF∈[-TF/2,TF/2],δZF∈[-TF/2,TF/2],θXF∈[-TF/L,TF/L],θZF∈[-TF/L,TF/L]。尺寸誤差參量變動區(qū)間為:δXC∈[-TC·cosαd/2,TF·cosαd/2],δZC∈[-TC·sinαd/2,TC·sinαd/2]。其中TF為導(dǎo)軌直線度公差，TC為滾道尺寸公差，L為導(dǎo)軌長度。此外，由于誤差參量產(chǎn)生的直線度誤差在公差內(nèi)變動，故存在約束關(guān)系式為：

(7)

式中：y∈[-L/2,L/2]。

基于概率理論，采用蒙特卡羅模擬方法[14](簡稱MCS)求解幾何誤差不確定隨機(jī)變量，即誤差參量。以滾動導(dǎo)軌直線度幾何誤差為例，對其誤差參量進(jìn)行抽樣模擬。確定幾何誤差的抽樣模型為：

-∞0

(8)

式中：φ為抽樣模型;x為變量;δ為正態(tài)分布常量；μ為算術(shù)平均值；σ為均方差。

工程上通常認(rèn)為正態(tài)分布的變量范圍是(-3σ, +3σ)。因此，由變動區(qū)間得到誤差參量δX,δZ,θX,θZ分布的均值與方差分別為(0,TF/6),(0,TF/6),(0,TF/(3L)),(0,TF/(3L))。按抽樣模型對誤差參量進(jìn)行抽樣，將參量樣本代入式(7)進(jìn)行判別，保留滿足約束關(guān)系式的樣本，作為誤差參量樣本，用于誤差模型求解。同理，對滾道半徑尺寸誤差參量進(jìn)行求解。

2)位姿誤差變換矩陣描述。

零件相對于理想位置存在6個自由度誤差，描述為沿著X,Y,Z方向的位置誤差參量δx,δy,δz，繞X,Y,Z方向的角度誤差參量θx,θy,θz。鑒于誤差值一般較小，零件的位姿誤差變換矩陣ΔT可以描述為：

(9)

2.2 誤差模型建立

滾動導(dǎo)軌幾何誤差和滑塊位姿誤差反映為導(dǎo)軌和滑塊滾道曲率中心的偏移量。分析幾何誤差、接觸角、接觸變形之間變化關(guān)系，建立滑塊位姿誤差模型。

如圖5所示，建立導(dǎo)軌、滑塊坐標(biāo)系O1-x1y1z1,O2-x2y2z2。其中，導(dǎo)軌、滑塊滾道曲率中心Od,Oh的坐標(biāo)為(xO1,yO1,zO1),(xO2,yO2,zO2)。以滾動導(dǎo)軌四滾道滑塊為例，通過式(9)，得到導(dǎo)軌、滑塊曲率中心在水平和豎直方向偏差量Δxd,Δzd,Δxh,Δzh,分別為：

Δxd=δdx-θdz·yO1+θdy·zO1

Δzd=δdz-θdy·xO1+θdx·yO1

Δxh=δhx-θhz·yO2+θhy·zO2

Δzh=δhz-θhy·xO2+θhx·yO2

(10)

式中：δdx,δdz,θdx,θdy,θdz為導(dǎo)軌位姿誤差參量;δhx,δhz,θhx,θhy,θhz為滑塊位姿誤差參量。

圖5 導(dǎo)軌和滑塊坐標(biāo)系

滾動體從理想接觸狀態(tài)到實際接觸狀態(tài)的幾何變形關(guān)系如圖6所示。滾道曲率中心Od,Oh之間發(fā)生相對位移。以O(shè)h為原點建立坐標(biāo)系Oh-xhyhzh，則變化后的Od,Oh在X軸、Z軸方向的位移Δxh，Δzh關(guān)系式為:

圖6 滾動體幾何變形

Δxh=Lx-(L0·sinα0+Δxd)

Δzh=Lz-(L0·cosα0+Δzd)

(11)

其中:

L0=Rd+Rh-D;Rd

(12)

式中:Rh分別為導(dǎo)軌、滑塊滾道初始曲率中心半徑；Δxd,Δzd分別為導(dǎo)軌在X軸、Z軸方向的位移；D為滾動體直徑；α0為初始接觸角；Lx,Lz,L0為輔助變量。

X軸、Z軸方向的幾何變形協(xié)調(diào)關(guān)系式為

Lx=Lh·sinαd+Ld·sinαh

Lz=Lh·cosαd+Ld·cosαh

Lh=Rh-0.5D+δh

Ld=Rd-0.5D+δd

(13)

式中：Lh,Ld為輔助變量。

綜上，推導(dǎo)出了在幾何誤差和彈性變形誤差耦合作用下的滑塊位姿誤差，即建立了滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差模型。

2.3 誤差模型求解

基于滾動導(dǎo)軌幾何誤差參量樣本，聯(lián)合方程(1) ～ (6)、(10) ～ (15)，采用牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，求解滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差。計算流程如圖7所示。

圖7 計算流程

3 實例求解與分析

根據(jù)上述滾動導(dǎo)軌誤差模型，分析滾動導(dǎo)軌滑塊位姿誤差均值和分布范圍變化，研究滾動導(dǎo)軌在直線度公差、預(yù)緊力以及外載荷作用下的準(zhǔn)靜態(tài)誤差。

3.1 滾動導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)參數(shù)

以某單列四滾道的滾動導(dǎo)軌為例，滑塊行程為1 300 mm，滾動導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 滾動導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.2 直線度對誤差分布的影響

滾動導(dǎo)軌分不同精度等級，這里選取5種精度等級進(jìn)行計算，獲得滑塊的五自由度(忽略運動方向)位姿誤差分布。如圖8所示，隨著直線度公差由0.01 mm變?yōu)?.05 mm，滑塊繞X向最大誤差分布范圍由-0.5″～+0.5″變?yōu)?2″～+2″,繞Y向誤差由-0.5″～+0.5″變?yōu)?1″～+1″,繞Z向誤差由-0.5″～+0.5″變?yōu)?2.5″～+2.5″,誤差分布更分散，且有加強(qiáng)趨勢，但誤差均值變化不明顯?；瑝K沿Z向誤差均值增大0.02 mm，沿X向誤差均值減小0.002 5 mm，誤差均值變大，但分布范圍變化不明顯?？芍?，隨著直線度公差變大，滑塊位置誤差均值變大、角度誤差分布更分散。

圖8 不同直線度下誤差分布頻率折線圖

3.3 預(yù)緊力對誤差分布的影響

工程中，滾動導(dǎo)軌通過施加預(yù)緊力以消除間隙和提高剛性。這里選取5種預(yù)緊狀態(tài)，分析預(yù)緊力對滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差分布的影響。如圖9所示，隨著預(yù)緊力增加，滑塊沿X向誤差分布范圍由-0.025～+0.015 mm變?yōu)?0.075～+0.075 mm，滑塊沿Z向誤差由-0.010～+0.015 mm變?yōu)?0.08～+0.05 mm；繞X向最大誤差由-0.5″～+0.5″變?yōu)?1″～+3″，繞Y向誤差由-0.25″～+0.25″變?yōu)?2.5″～+1.0″，繞Z向誤差由-0.50″～+0.25″變?yōu)?3″～+2″，誤差分布變密集，且有加強(qiáng)趨勢，但誤差均值變化不明顯。可知，隨著預(yù)緊力增大，滑塊誤差分布更密集，整體變化明顯。

圖9 不同預(yù)緊力下誤差分布頻率折線圖

3.4 外載荷對誤差分布的影響

本文選取5種受載狀態(tài)，分析外載荷對滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差分布的影響。如圖10所示，隨著外載荷增加，滑塊沿Z向誤差分布范圍由-0.002 5～+0.007 5 mm變?yōu)?0.005～+0.075 mm，誤差均值變大且有加強(qiáng)趨勢，誤差分布先分散后密集，有更密集趨勢。滑塊繞X向誤差分布范圍由-3″～+3″變?yōu)?0.5″～+0.5″，繞Y向誤差由-0.15″～+0.15″變?yōu)?0.05″～+0.05″，繞Z向誤差由-6″～+8″變?yōu)?1″～+1″，誤差分布更密集且有加強(qiáng)趨勢，但誤差均值變化不明顯?；瑝K沿X向誤差變化不明顯?？芍S著外載荷增加，滑塊誤差分布更密集，某些誤差均值變化明顯。

圖10 不同載荷下誤差分布頻率折線圖

4 結(jié)束語

本文建立了滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差分析模型，基于接觸受力分析，考慮不確定性幾何誤差對接觸角和接觸變形的影響，建立滾動導(dǎo)軌準(zhǔn)靜態(tài)誤差模型。定義誤差參量描述區(qū)間不確定性幾何誤差，采用MCS方法獲取誤差參量的抽樣樣本。分析結(jié)果表明：預(yù)緊力對滑塊位姿誤差分布影響明顯，直線度和外載荷對部分滑塊誤差分布影響明顯。提高預(yù)緊力，使滑塊位姿誤差分布范圍明顯變小，誤差分布更密集；減小直線度公差，可使滑塊位置誤差整體明顯變小、角度誤差分布范圍變小，誤差分布更密集；增加外載荷，可使滑塊法向位置誤差整體明顯變大，角度誤差分布更密集。