你會解“非直角”三角形嗎？

周煉

在“銳角三角函數(shù)”這一章中，同學們通過學習，大多可以掌握解直角三角形的方法，但如果題目中的三角形不是直角三角形，而是銳角三角形或鈍角三角形，你還能根據(jù)其中的一些條件求出其他元素嗎？解“非直角”三角形有哪些情形？它們與解直角三角形之間又有怎樣的聯(lián)系呢？

一、“兩邊一角”型

例1 如圖1，在△ABC中，∠A為鈍角，AB=25，AC=39，sinB=3/5，求tanC和BC的長。

【解析】這道題給出了三角形的其中兩條邊和一個銳角的三角函數(shù)值，但這些條件都不在直角三角形中，而是在一個鈍角三角形中，要想將它們用起來，就要通過作輔助線給AB、AC、∠B、∠C都找到屬于自己的直角三角形。通過分析我們發(fā)現(xiàn)，如果過點A作AD⊥BC于點D（如圖2），那么在Rt△ADB中，由sinB=AD/AB=3/5，可以求出AD=15，再由勾股定理得出BD=

。在Rt△ADC中，同樣由勾股定理可以得到

，從

，BC= BD+CD=20+3 6=56。

二、“兩角一邊”型

例2 如圖3，在△ABC中，∠A=120°，∠C=45°，AB=2，求AC的長。

【解析】可能同學們看到∠A =120°這一條件會覺得無從下手，因為1200的角是鈍角，其三角函數(shù)值已經(jīng)超出了我們目前所學的內(nèi)容。那么，如何對這一條件進行合理的轉化呢？聯(lián)系七年級學過的角的相關知識，不難想到雖然120°的角是鈍角，但是其補角60°卻是銳角，所以只要作出BA或者CA的延長線就可以將120°轉為60°使用，但是到底延長哪一條邊依然值得思考。這道題給出的條件是三角形中兩個角的度數(shù)和一條邊長，我們發(fā)現(xiàn)如果要同時構造關于∠A的補角，∠C以及邊AB的直角三角形，只能延長CA，并過點B作CA延長線的垂線交于點D（如圖4），根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及特殊角的三角函數(shù)值，在Rt△ADB中可以求出AD=1，BD=3，在Rt△CDB中可以求出CD=3，從而AC=CD-AD=3-1。

三、“三邊”型

例3 如圖5，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB的值。

【解析】本題給出的條件是一個銳角三角形的三邊長，要求∠B的三角函數(shù)值，尋求一條輔助線構造關于∠B的直角三角形依然是解決這類問題的關鍵。結合△ABC本身是等腰三角形，可以從“三線合一”與構造直角的雙重角度出發(fā)。過頂點A作BC邊上的高，垂足為D（如圖6），根據(jù)BC=10與等腰三角形的三線合一定理可得BD=DC=1/2BC=5，再利用勾股定理可以求出

，所以在Rt△ADB中，

。

通過以上幾個例子，同學們可以發(fā)現(xiàn)，解“非直角”三角形看似陌生、復雜，但只要仔細分析、認真觀察，作出恰當?shù)?、符合題目條件的輔助線都可以將其轉化為我們熟悉的解直角三角形問題;當我們遇到鈍角的度數(shù)無從下手時，也可以通過作補角先將其轉化為銳角，再來運用其三角函數(shù)值?？偠灾?，同學們以后遇到不太熟悉、難以人手的問題時，多從轉化的角度去思考，問題往往就能迎刃而解。

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學附屬初級中學）