高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的幾點思考

張建輝

摘 要：數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特殊性決定了學(xué)生應(yīng)具備學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，才能學(xué)好高中數(shù)學(xué)。高中數(shù)學(xué)不能只靠記憶和多練習(xí)題的手段獲取高分，需要學(xué)生具備抽象能力，才能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上越走越遠。進入高中后，學(xué)生普遍感覺到高中數(shù)學(xué)的難度比初中提高了很多，這就需要教育者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中幫助學(xué)生培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)必要的抽象能力，解決學(xué)生面對數(shù)學(xué)題時束手無策的窘境。文章融合實踐教學(xué)，從概念和公式、觀察和比較、類比和聯(lián)想幾方面入手，論述教育者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的途徑。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);抽象能力;培養(yǎng)途徑

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2021）09-0045-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2021.09.022

數(shù)學(xué)知識的抽象性是由人們拋開對客觀對象的研究，轉(zhuǎn)而研究抽象的空間形式和數(shù)量關(guān)系決定的。抽象能力是從許多事物中舍棄個別非本質(zhì)的屬性，抽象出共同的本質(zhì)屬性的能力。抽象能力不是很容易就能培養(yǎng)的，需要正確的方法和日積月累的練習(xí)，教育者要做的是從日常的教學(xué)中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，在實踐教學(xué)中不斷糾正自己的培養(yǎng)策略，使學(xué)生在擁有抽象能力的同時，引導(dǎo)學(xué)生有意識地運用抽象能力解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題，提升自身的抽象能力。

一、從概念和公式的角度出發(fā)

教育者要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的能力，但具體的方法和途徑需要教育者根據(jù)經(jīng)驗摸索出有效的方法，其中通用的途徑是從數(shù)學(xué)最基本的原理入手，教育者可從對數(shù)學(xué)基本概念和公式的掌握出發(fā)，探索更多的教學(xué)方式。

（一）從概念入手培養(yǎng)

數(shù)學(xué)課本中諸多概念的存在都有不可代替性，這些概念間存在著一定的聯(lián)系，學(xué)生若能充分理解這些概念蘊含的本質(zhì)和它們之間的關(guān)聯(lián)，便能很容易地理解事物從具體到抽象的過程。教育者要做的就是轉(zhuǎn)化課本給出的概念，給學(xué)生講解這些概念蘊含的本質(zhì)，讓學(xué)生能更深刻地理解并學(xué)會運用，讓學(xué)生在運用概念解題的過程中用自己的方式去抽象和概括這些概念的本質(zhì)，促進學(xué)生抽象能力的發(fā)展。根據(jù)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的反應(yīng)，探索更好的教學(xué)方法，讓學(xué)生更快地適應(yīng)新的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，并善于運用到實踐中。

以真假命題為例：復(fù)雜冗長的概念包含著相同點與不同點，學(xué)生很難記憶，如果改成“兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性”等，讓學(xué)生去記憶這種簡短并朗朗上口的幾句話，代替長篇大論且晦澀難懂的數(shù)學(xué)定義，會大大節(jié)省學(xué)生的時間成本。當(dāng)然，這需要教育者運用自己的知識能力去簡化概念，最終達到幫助學(xué)生快速記憶概念的目的。

（二）從公式入手培養(yǎng)

相比概念，數(shù)學(xué)公式是更為抽象的存在，或用很多難讀的字母去代表一種關(guān)系，或是由幾個完全沒有關(guān)聯(lián)的字母組成各種理論聯(lián)系，學(xué)生通常對這些字母很難記憶，更別說熟練掌握了。但是這些公式又是解題的關(guān)鍵，需要教育者重點講解和拆分，花費更多的時間和精力用各種方法幫助學(xué)生記憶。最常用的方法是把未知的知識用我們已知的知識進行轉(zhuǎn)化，用學(xué)生熟悉的語言或者記憶模式分類記憶，不僅能使學(xué)生印象深刻，還能逐漸培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

例如：部分學(xué)生對“三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)感到吃力，這就需要教育者帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念和公式，根據(jù)學(xué)生能夠理解并接受的語言和表達方式總結(jié)概念和公式，方便學(xué)生記憶和熟練運用。如：sin（-α）=-sinα，tan（π-α）=-tanα?！捌孀兣疾蛔?，符號看象限”便是根據(jù)誘導(dǎo)公式演變而來的，為的是讓學(xué)生能夠更快速地記憶，從而大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

二、從觀察和比較的角度出發(fā)

在經(jīng)過對數(shù)學(xué)基本原理的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的掌握也有了一定的積累。這時教育者還沿用之前的教學(xué)方式恐怕已無法滿足學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求，需要教育者在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上創(chuàng)新方式，如從觀察和比較的角度出發(fā)。

（一）用觀察的方式入手培養(yǎng)

傳統(tǒng)的教學(xué)方式很難用簡單的語言把抽象的數(shù)學(xué)知識具象化，也很難用學(xué)生可以理解的語言表達復(fù)雜、煩瑣的數(shù)學(xué)概念和公式，以至于學(xué)生單憑簡單的語言很難理解教育者要表達的意思。為此，教育者可以適應(yīng)時代發(fā)展的潮流，替換傳統(tǒng)的教學(xué)模式，利用新媒體教學(xué)的方式更具象地表達抽象的數(shù)學(xué)知識，幫助學(xué)生更好地理解并利用一些教學(xué)模型，更直觀地看到數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自身的生活經(jīng)驗發(fā)掘?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)知識的新的理解方式，使得學(xué)生在平常的生活學(xué)習(xí)中留心觀察，學(xué)會轉(zhuǎn)化知識在生活中的實際應(yīng)用，更好地提升自身的抽象能力。

以“立體幾何”的學(xué)習(xí)為例，教育者可以在新媒體上直接展現(xiàn)立方體的三維建模，使學(xué)生能夠全方位地看到立方體的各個點、線、面，或者用實體的教學(xué)模型讓學(xué)生可以看到實物。教育者在進行這種教學(xué)時還能讓有問題的學(xué)生自己進行操作，不僅可以加深學(xué)生對這部分知識的印象，還可以帶動課堂氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生主動觀察和比較學(xué)習(xí)這部分知識遇到的問題，方便教育者選準某一個點重點講解，幫助學(xué)生加快對抽象能力的培養(yǎng)。

（二）用比較的方式入手培養(yǎng)

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)離不開對各種概念、定理的比較，尤其學(xué)生在記憶各種概念時，往往把一種或者多種相似或有相同點的概念放在一起記憶，只需要記一個完整的概念，其他的則在這個概念的基礎(chǔ)上添加或刪減，更容易理解各種定理的不同之處。除此之外，教育者在平常的教學(xué)過程中，可以多引導(dǎo)學(xué)生對靜態(tài)和動態(tài)的知識點進行比較。教育者應(yīng)隨著題型的變化調(diào)整自己對數(shù)學(xué)概念的運用，把這種變化當(dāng)作示例與學(xué)生進行比較，使學(xué)生能更直觀地感受。

比如對菱形、平行四邊形、正方形和矩形的定義，學(xué)生只要記住四邊形的定義以及其他三種圖形的定義和四邊形的差異即可，不需要重復(fù)記憶四種圖形的定義，這種比較的方式在很大程度上減輕了學(xué)生的記憶負擔(dān)和學(xué)習(xí)壓力。

三、從類比和聯(lián)想的角度出發(fā)

經(jīng)過前面兩個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)已經(jīng)進入駕輕就熟的階段，教育者應(yīng)該在合適的學(xué)習(xí)階段引導(dǎo)學(xué)生進入新的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，才能讓學(xué)生不斷地保持對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新鮮感。這一部分就是從類比和聯(lián)想的角度出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生進入新的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新高度。

（一）用類比的方式入手培養(yǎng)

數(shù)學(xué)知識是環(huán)環(huán)相扣的，這就說明數(shù)學(xué)知識存在著嚴整性。教育者一定要學(xué)會利用自己的知識儲備，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的相關(guān)性和相似性，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的概念、公式、定理，跟已有的這些知識進行類比，發(fā)現(xiàn)他們的特點和不可替代性。尤其是在授課的過程中，教育者可根據(jù)一個題型給出幾種解題思路，引導(dǎo)學(xué)生開發(fā)新的解題方向，然后對這幾種解題步驟進行類比、驗證，得出結(jié)論，找出最簡單、最合適的解題過程。除此之外，教育者在進行理論知識灌輸時，可以集思廣益，根據(jù)多位教師的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)出一套行之有效的教學(xué)方法，尤其是對大部分學(xué)生經(jīng)常出問題的知識點進行實驗教學(xué)，類比各種教學(xué)方法，看哪種是最有效的。

比如記憶平行四邊形的性質(zhì)，學(xué)生只需記住它的定義，然后通過推理得到它的任意一條對角線都可以把這個平行四邊形分成兩個完全相同的全等三角形。由此，還可以得出一些結(jié)論：這兩個全等三角形的對角是相等的，它們的鄰角是互補的，它們的對角線是互相平分的，且這些結(jié)論都可以通過類比的方式推理出來。

（二）用聯(lián)想的方式入手培養(yǎng)

有經(jīng)驗的教育者在進行教學(xué)工作時，會有意識地讓學(xué)生根據(jù)某一定理進行數(shù)學(xué)猜想，因為高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很多時候是無法用言語來表達的，只能讓學(xué)生根據(jù)教師提供的思路去體會和猜測。當(dāng)然，學(xué)生往往會聯(lián)想出很多新的結(jié)論，這些是書本中從未出現(xiàn)過的，這時就需要由教育者去引導(dǎo)他們進行系統(tǒng)的猜想，把猜想限制在合理的范圍內(nèi)，并且和所學(xué)的知識相關(guān)，有利于對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。教育者也可以主動設(shè)置一些探索性的問題，讓學(xué)生給出自己思考的結(jié)果，教育者根據(jù)合理的理論依據(jù)一步步進行驗證，看看這些新的猜想是否能夠成立。還可以由多種不同的點切入提出問題，通過實驗給予驗證，這樣能夠讓學(xué)生自覺地思考多元的解題思路，開拓學(xué)生的空間思維能力，讓學(xué)生參與到驗證新猜想的整個過程，不僅能夠讓學(xué)生主動運用自己的想象能力和創(chuàng)造能力，還能讓他們在驗證自己猜想的過程中產(chǎn)生一種會學(xué)習(xí)的快感，更能有效促進對學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)。

比如聯(lián)想到實數(shù)的有序性，我們很容易寫出乘積不等式（3x+2）（x-5）（x-2）（3x+2）這個等式的一個范圍內(nèi)的解，其余范圍內(nèi)的解就可以每隔一個區(qū)間很容易地向前寫出。由此可見，若是將每一個一次因式的x系數(shù)都當(dāng)成正數(shù)時，采用實數(shù)的有序行來解分式不等式或者乘積都是簡單易操作的。在學(xué)習(xí)期望值和分布列時，教育者可以先引導(dǎo)學(xué)生想象自己曾經(jīng)學(xué)過的統(tǒng)計、方差標準差等內(nèi)容，讓學(xué)生想想由這些已有的知識能延伸出怎樣的新的知識點和方向。

教育者在教授新的學(xué)習(xí)內(nèi)容時，也可以先根據(jù)學(xué)生已學(xué)過的知識分析方法，對新的知識進行分析，讓學(xué)生很快找回熟悉感并發(fā)覺兩種知識點間的不同點和相同點。

綜上所述，通過高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方式去培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力是一個長期而緩慢的過程，而學(xué)生抽象能力的發(fā)展是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重。教育者在教學(xué)過程中要充分認識到這一點，利用自己的教學(xué)設(shè)計去強化對學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)。教育者還要不斷從學(xué)生的學(xué)習(xí)進度和學(xué)習(xí)狀態(tài)中看到改變教學(xué)方式的契機并加以利用，幫助學(xué)生縮短培養(yǎng)抽象能力的期限，讓學(xué)生能夠更好地完成學(xué)業(yè)。

參考文獻：

[1]袁春娟.核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)抽象再思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（33）.

[2]胡秀.淺談高中生數(shù)學(xué)抽象能力的理解及培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（33）.

[3]袁野，王泰原.高中數(shù)學(xué)抽象概況能力的培養(yǎng)——對抽象概況能力的理解[J].新課程（教育學(xué)術(shù)），2012（3）.

[4]楊忠裕.數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)[J].新課程研究（基礎(chǔ)教育），2009（6）.