隨機微分方程平衡θ-Heun方法的穩(wěn)定性

康紅喜, 張引娣, 蔣 茜

(長安大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710064)

隨著隨機微分方程在金融、生物、工程技術(shù)等領(lǐng)域應(yīng)用變得越來越多,對于隨機微分方程的數(shù)值解的要求也越來越高。為了滿足各個領(lǐng)域的需求,學(xué)者們提出了許多求解隨機微分方程的數(shù)值方法，文獻[1-8]給出了常見數(shù)值方法相關(guān)的研究成果。

求解微分方程的方法還有Heun方法,但是該方法對步長是有要求的,學(xué)者們的研究相對較少。Heun方法在文獻[9]中被提出來后,文獻[10-11]研究了該方法收斂性與穩(wěn)定性的條件。另外,求解剛性隨機微分方程對步長的要求更為苛刻,為了解決這一問題,文獻[12]提出了一種全隱式的方法,又稱平衡法。文獻[13-15]對這個全隱式方法作了進一步研究,得到了該方法的漸近穩(wěn)定性、均方穩(wěn)定性以及高階收斂性。本文提出了一個平衡θ-Heun方法,該方法結(jié)合了平衡方法與文獻[16]中θ-Heun法的優(yōu)點。本文研究該方法的均方穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性，并比較3種Heun方法的穩(wěn)定性。

1 隨機微分方程及數(shù)值方法

1.1 隨機微分方程

考慮d維標量自治隨機微分方程

(1)

其中:t∈[0,T];x∈Rd;函數(shù)f(x)為漂流項,函數(shù)g(x)為擴散項,兩者在[0,T]上都是連續(xù)可測的,且有E|x0|2<∞;W(t)為一維標準布朗運動。設(shè)h為步長,當(dāng)t>0,h>0時,其增量ΔW(t)=W(t+h)-W(t)服從正態(tài)分布N(0,h)。本文只研究方程(1)的一個類型,即帶乘性噪音的隨機微分方程。另外迭代式xn+1=R(λ,μ,h,ΔWn)xn是本文用數(shù)值方法求解隨機微分方程得到的。

1.2 數(shù)值方法

1.2.1 θ-Heun方法

θ-Heun方法計算公式[16]為:

xn+1=xn+(1-θ)f(xn)h+θf(xn+hf(xn))h+g(xn)ΔWn。

1.2.2 平衡法

平衡法計算公式為[17]:

xn+1=xn+f(xn)h+g(xn)ΔWn+Cn(xn-xn+1)，

其中,Cn=c0(tn,xn)h+c1(tn,xn)|ΔWn|,函數(shù)c0、c1稱為控制函數(shù)。

1.2.3 平衡θ-Heun方法

定義1 令h=T/N,tn=nh,n=0,1,…,N,稱

xn+1=xn+(1-θ)f(xn)h+g(xn)ΔWn+θf(xn+hf(xn))h+Cn(xn-xn+1)

(2)

是平衡θ-Heun方法。其中:θ∈[0,1];Cn=c0(tn,xn)h+c1(tn,xn)|ΔWn|,特別地,當(dāng)θ=0時,(2)式就是平衡隱式方法。根據(jù)文獻[15],若要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,則這里的c0、c1是有界的d×d的實值矩陣值函數(shù),滿足可逆矩陣

M(t,x)=I+α0c0(t,x)+α1c1(t,x),

|M(t,x)-1|≤K<∞

(3)

E|xn|2≤NE|x0|2e-mnh, ?n≥0

(4)

成立,則稱數(shù)值方法是指數(shù)穩(wěn)定的。

2 平衡θ-Heun方法的穩(wěn)定性分析

為了能夠更簡便地研究數(shù)值方法的穩(wěn)定性,引入下面的隨機微分方程,即

(5)

其中:t∈[0,T];λ,μ∈R;x∈Rd;W(t)為一維標準布朗運動。

將平衡θ-Heun方法用于(5)式得到如下的差分方程:

xn+1=xn+λhxn+θλ2h2xn+μxnΔWn+Cn(xn-xn+1)

(6)

其中,Cn=c0h+c1|ΔWn|,這里假設(shè)c0、c1為常數(shù),步長為h=T/N,T=Nt,tn=nh,n=0,1,…,N。

2.1 d維隨機微分方程MS穩(wěn)定條件

定理1 用平衡θ-Heun方法求解線性隨機微分方程(5)時,若有:

則方程(5)是MS穩(wěn)定的。

證明首先將差分方程(6)寫成下面的形式:

xn+1=(1+Cn)-1[(1+λh+θλ2h2+μΔWn)+Cn]xn=(1+Cn)-1[(1+λh+θλ2h2+μΔWn)+c0h+c1|ΔWn|]xn

(7)

根據(jù)(3)式有:

(8)

將(7)式、(8)式兩邊同時取均值可得:

(9)

(10)

其中

2K2E((c1+μ)|ΔWn|)2。

遞推(10)式,要使Sn→0(n→∞),只需

根據(jù)期望的定義及積分性質(zhì)可得:

即

1-2K2(1+λh+θλ2h2+c0h)2。

因此，若要方程(5)是MS穩(wěn)定的,則只需:

下面取特殊的參數(shù),c0=-λ/2,c1=0,當(dāng)方程(5)為一維時,證明平衡θ-Heun方法MS穩(wěn)定的具體條件以及平衡θ-Heun方法的指數(shù)穩(wěn)定性。

2.2 平衡θ-Heun方法的MS穩(wěn)定性

q<-(θ2p4+θp3+2θp2+2p),

則平衡θ-Heun方法是MS穩(wěn)定的。其中:p=λh;q=μ2h。

證明由(6)式可得:

(11)

(11)式中取c0=-λ/2,c1=0,令p=λh,q=μ2h,則有:

(12)

對(12)式兩邊同時平方取均值,由E(ΔWn)=0,E(ΔWn)2=h可得:

(13)

整理(13)式可得:

q<-(θ2p4+θp3+2θp2+2p)。

此時平衡θ-Heun方法是MS穩(wěn)定的。

2.3 平衡θ-Heun方法的指數(shù)穩(wěn)定性

定理3對于方程(5),當(dāng)c0=-λ/2,c1=0時,平衡θ-Heun方法是指數(shù)穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)有下面的不等式成立,即

證明將c0=-λ/2,c1=0帶入(6)式,可得:

(14)

對(14)式兩邊分別平方取均值,由E(ΔWn)=0,E(ΔWn)2=h,可得:

(15)

記

則(15)式經(jīng)過遞推可得:

(16)

當(dāng)c0=-λ/2,c1=0時,求解方程(5)的平衡θ-Heun方法是指數(shù)穩(wěn)定的,則根據(jù)定義3有:

E|xn|2≤NE|x0|2e- mnh, ?n≥0。

若想得到不等式

則需要找到一個n,使得:

(17)

又由:

(18)

結(jié)合(16)式、(18)式可得:

E|xn|2≤NE|x0|2e- mnh, ?n≥0,

則當(dāng)c0=-λ/2,c1=0時,平衡θ-Heun方法是指數(shù)穩(wěn)定的。

3 數(shù)值實驗

平衡θ-Heun方法、Heun方法、θ-Heun方法的MS穩(wěn)定性如圖1所示。

圖1 3種方法的MS穩(wěn)定性

從圖1可以看出,平衡θ-Heun方法的穩(wěn)定性最好,且對給定的3個步長都是MS穩(wěn)定的;而Heun方法、θ-Heun方法的穩(wěn)定性較差,只有h=1/4時才保證了方法的穩(wěn)定性。通過對比可知，3種數(shù)值方法中平衡θ-Heun方法對步長的要求最低。 下面進行理論分析與驗證。

(1) 對于圖1a,設(shè)

θλ3h3+θ2λ4h4+μ2h,

當(dāng)步長為h=1,h=1/2,h=1/4時,對應(yīng)的值為:

由定義2可知，對于3個步長,平衡θ-Heun方法都滿足MS穩(wěn)定條件。

(2) 對于圖1b,設(shè)

當(dāng)步長為h=1,h=1/2,h=1/4時,對應(yīng)的值為:

由定義2可知，當(dāng)h=1/4時,Heun法才滿足MS穩(wěn)定的條件。

(3) 對于圖1c,設(shè)

c=(1+λh+θλ2h2)2+μ2h,

當(dāng)步長為h=1,h=1/2,h=1/4時,對應(yīng)的值為:

由定義2可知，當(dāng)h=1/4時,θ-Heun方法滿足MS穩(wěn)定的條件。

4 結(jié) 論

本文將平衡法的思想與θ-Heun方法結(jié)合起來,得到了平衡θ-Heun方法,研究了該方法用于d維隨機微分方程(5)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件;在給定合適的控制參數(shù)時,對于一維線性隨機微分方程,得到了保證平衡θ-Heun方法MS穩(wěn)定的條件以及指數(shù)穩(wěn)定的條件。從最后的數(shù)值算例中可以看出,平衡θ-Heun方法在3種數(shù)值方法中對于步長的要求最低。