初探證明
——蘇科版數(shù)學七年級下冊“12.2證明（2）”教學設計

■張文婧

在初中數(shù)學學習中，幾何圖形的證明需要學生重點學習和掌握。在學習證明前，對于什么是證明，證明的重要性以及如何證明，都需要學生深入了解和系統(tǒng)學習。

本課例選自蘇科版數(shù)學教材七年級下冊第十二章第二節(jié)“證明”的第二課時。在本節(jié)課中，首先，讓學生了解證明的定義、基本步驟和書寫格式；其次，引導學生經(jīng)歷證明命題的過程，初步樹立言之有理、落筆有據(jù)的推理意識；最后，讓學生在證明過程中感受歐幾里得的演繹體系對數(shù)學的貢獻。

一、引入數(shù)學文化

在學習新知識之前，為了引導學生盡快融入課堂，先介紹由歐幾里得編著的數(shù)學巨著——《幾何原本》。在這本巨著中，歐幾里得將前人在數(shù)學上的成果進行了系統(tǒng)的梳理，將公認的真命題定為公理，并在此基礎上通過推理證實了許多命題。

設計思路：引入數(shù)學文化，既能幫助學生了解和感受歐幾里得的演繹體系對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值，又能提升學生對數(shù)學證明的興趣。

二、新知探索

在本環(huán)節(jié)中，先了解證明和定理的定義，在此基礎上引導學生經(jīng)歷證明命題的過程。

在經(jīng)歷證明命題的過程中，首先引導學生回憶學過的一些基本事實，并展示初中階段還會學到的部分基本事實；再引導學生理解數(shù)學問題的正確性需要說理證明，讓學生回憶學過的兩個命題，說明它們是否正確，從“同位角相等，兩直線平行”通過說理得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，在說理的過程中，教師要引導學生做到有理有據(jù)。

在引導學生經(jīng)歷說理的基礎上，進一步引導學生經(jīng)歷證明命題的過程，感受數(shù)學推理的嚴謹性。仍從基本事實出發(fā)，證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”。在證明的過程中，要滲透以下四個步驟：

（1）根據(jù)題意，畫出圖形；

（2）根據(jù)命題的條件，結(jié)合圖形，寫出已知；

（3）根據(jù)命題的結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出求證；

（4）寫出證明過程。

在教學中特別要注意的是，在首次證明命題的過程中，教師可以帶領(lǐng)學生根據(jù)以上步驟，逐步解決問題。首先，分析命題，根據(jù)題意，嘗試畫出圖形；其次，在已有圖形的基礎上，根據(jù)命題，用數(shù)學符號語言寫出已知和求證；最后，完成證明過程。

圖1

在以上環(huán)節(jié)中，第一環(huán)節(jié)注意畫圖的規(guī)范性（圖1）。學生在畫圖時易粗心或不規(guī)范，這也是以后在高年級會出現(xiàn)的問題，因此，在七年級教學時就可以多做強調(diào)，為學生以后學習證明打好基礎。第二環(huán)節(jié)中，學生用符號語言表示已知和求證常常會出現(xiàn)語言不夠精練的問題。例如在證明本命題時，已知：如圖1，在直線a、b、c中，a⊥c，b⊥c。雖然看似簡單，但是學生在書寫時常常會遺漏“在直線a、b、c中”，因此，在教學中，筆者會在做題的同時教會學生準確地整理出已知和求證的方法。最后一個環(huán)節(jié)，也是最重要的部分。本節(jié)課的教學重點是學會證明命題，能規(guī)范寫出證明過程，因此在這一環(huán)節(jié)中，筆者要求學生每一步推理都要做到有理有據(jù)，完成嚴謹?shù)臄?shù)學推理過程，為以后證明更為復雜的過程夯實基礎。在全部環(huán)節(jié)結(jié)束后，給學生再次總結(jié)在證明與圖形有關(guān)的命題時所需的步驟，呼應起始環(huán)節(jié)。

設計思路：嘗試將文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和數(shù)學符號語言，包括圖形、已知和求證三個部分。在教學中，可增加小組合作時間，組內(nèi)學生互相幫助，完成轉(zhuǎn)換，進入下一證明環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)化文字語言為符號語言并證明基本事實，是本節(jié)課的重點，要求學生會證明命題，能規(guī)范寫出證明過程。特別要注意的是，在證明過程中務必要求學生每一步推理都有理有據(jù)。

在學生完成一個完整的證明后，需及時進行鞏固。

1.已知：如圖2，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，EH平分∠AEF，F(xiàn)G平分∠EFD。

求證：EH∥FG。

圖2

2.已知：如圖3，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，EP平分∠FEB，F(xiàn)P平分∠EFD。

求證：EP⊥FP。

圖3

以上題目均可安排兩種練習，分別是證明過程的練習和將已知求證轉(zhuǎn)化成文字語言的練習，幫助學生及時鞏固復習。

設計思路：經(jīng)過學習后，可寫出完整的證明過程，并且嘗試用一句話概括這個問題的條件和結(jié)論，引導學生將數(shù)學符號語言轉(zhuǎn)化成精練的文字語言；這一環(huán)節(jié)中，題目難度略有上升，既可以幫助學生鞏固所學，又可以引導學生做適當提升。

三、隨堂練習與檢測

題目可以從教材中選擇，注意由淺入深，既能幫助學生增強學習新知識的信心，又能提升學習效果。

設計思路：練習與檢測設置多種題型的題目，注意難度有梯度。關(guān)注學生規(guī)范寫出證明的過程，且在證明過程中，能做到推理嚴謹、書寫規(guī)范。

四、課堂小結(jié)

小結(jié)的形式可多樣，要包含的內(nèi)容有：

（1）陳述證明、推理、事實依據(jù)的概念；

（2）引導學生在證明時做到：注意前因后果，做到言“形”一致；

（3）強調(diào)言之有理，落筆有據(jù)。

筆者會再次強調(diào)說理的重要性，在數(shù)學學習中，既可以利用反例來說明一個結(jié)論是錯誤的，也可以借助已有的知識和方法從正面說明一個結(jié)論是正確的?！罢f理”是確認一個數(shù)學結(jié)論是否正確的有力工具。