考慮井阻及涂抹作用的非飽和土豎井地基固結(jié)解析解*

秦愛芳 許薇芳 李天義

(上海大學(xué)土木工程系，上海 200072，中國)

0 引 言

隨著大量高速公路、鐵路在軟土地區(qū)開工建設(shè)，帶動了非飽和土豎井(碎石樁、砂井、塑料排水板等)地基工程實(shí)踐和理論的進(jìn)一步發(fā)展。在利用豎井固結(jié)法進(jìn)行軟土路基處理過程中，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過壓實(shí)的路基填土的飽和度在65%～87%之間，處于非飽和狀態(tài)，其固結(jié)特性與飽和土明顯不同。如果利用飽和土固結(jié)理論進(jìn)行設(shè)計(jì)分析，會與工程實(shí)測值產(chǎn)生較大偏差(顧洋洋，2017)，因此需要對非飽和土豎井地基固結(jié)特性進(jìn)行研究。豎井中的水向外排出會受到一定阻力，這種現(xiàn)象稱為井阻作用。另外，施工的擾動會導(dǎo)致豎井周圍土體滲透性減弱，產(chǎn)生涂抹作用。本文對考慮井阻及涂抹作用的非飽和土豎井地基固結(jié)特性展開研究。

飽和土豎井地基固結(jié)理論大多基于飽和土地基固結(jié)理論(Biot，1941；Terzaghi，1943)。例如，等應(yīng)變和自由應(yīng)變軸對稱固結(jié)理論就是基于該理論建立起來的(Barron，1948)。隨后，基于豎井區(qū)流量連續(xù)條件，得出了考慮井阻和涂抹作用的自由應(yīng)變的解，進(jìn)一步完善了Barron自由應(yīng)變的理論(Yoshikuni et al.，1974)。同時(shí)，運(yùn)用分離變量法得到了接近自由應(yīng)變條件下嚴(yán)密解的飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解，建立了等應(yīng)變豎井地基固結(jié)理論(謝康和等，1989)。針對多層地基固結(jié)問題，采用飽和土理想井問題的求解思路可得到雙層飽和土豎井地基固結(jié)解析解，對成層土豎井地基固結(jié)的研究具有很好的借鑒作用(Tang et al.，2001)。由于涂抹作用引起的徑向滲透系數(shù)變化會對豎井地基的固結(jié)速率產(chǎn)生影響，學(xué)者考慮涂抹區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈不同變化模式，得到飽和土豎井地基固結(jié)解(陳國紅等，2011)。在邊界條件方面，由于傳統(tǒng)邊界通常視為完全滲透或不完全滲透的極限狀態(tài)，因此對考慮任意荷載雙面半透水邊界條件下分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性飽和土層固結(jié)問題進(jìn)行了研究(李林忠等，2018)，飽和土豎井地基固結(jié)理論被不斷完善。

由于非飽和土的復(fù)雜性，國內(nèi)外對非飽和土豎井地基固結(jié)研究起步相對較晚?；诜秋柡屯烈痪S固結(jié)理論(Fredlund et al.，1979)，采用Laplace變換并引入Bessel方程對非飽和土地基一維固結(jié)問題進(jìn)行研究，得出了非飽和土地基固結(jié)半解析解(秦愛芳等，2010)。對于非飽和土豎井地基，通過Laplace變換得到了不同邊界條件下的非飽和土豎井地基固結(jié)的半解析解(Wang et al.，2017a,2017b)。另外，通過分離變量法得到了考慮涂抹作用的非飽和土豎井地基固結(jié)解析解(Ho et al.，2018)。同時(shí)，基于等應(yīng)變模型，引入本征函數(shù)法得到了考慮井阻作用的非飽和土豎井地基固結(jié)的解析解(Zhou et al.，2018)。

但目前在非飽和土豎井地基固結(jié)的研究中，沒有同時(shí)考慮井阻和涂抹作用的情況。本文建立非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)模型，引入變量Φ1和Φ2將控制方程組轉(zhuǎn)化為線性偏微分方程組，采用分離變量法和待定系數(shù)法推導(dǎo)出了同時(shí)考慮井阻和涂抹作用的非飽和土豎井地基固結(jié)解析解。本研究方法可向任意荷載和井阻隨時(shí)間變化情況拓展，對非飽和土豎井地基固結(jié)的系統(tǒng)研究有一定的參考價(jià)值。

1 解析解推導(dǎo)

1.1 基本假設(shè)

(1)氣相與液相保持連續(xù)；

(2)液相與土顆粒不可壓縮；

(3)土體的滲透系數(shù)及體積變化系數(shù)為常數(shù)；

(4)豎井內(nèi)超孔隙壓力(超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力)沿徑向的變化很小，可忽略不計(jì)；

(5)等應(yīng)變條件成立，同一深度土體的豎向變形相等，且豎井地基無側(cè)向變形；

(6)固結(jié)過程中發(fā)生的應(yīng)變?yōu)樾?yīng)變。

土體滲透系數(shù)及體積變化系數(shù)在實(shí)際工程中隨著地基的固結(jié)會發(fā)生變化，但考慮這些系數(shù)非線性變化將會給解析解的求解帶來很大的困難，并且認(rèn)為小應(yīng)變及瞬時(shí)荷載作用下假定(3)也是可接受的(Fredlund et al.，1979；Ho et al.，2018；秦愛芳等，2019)。

1.2 計(jì)算模型

圖1 非飽和土豎井地基固結(jié)計(jì)算模型Fig.1 Consolidation modeling of vertical drain foundations in unsaturated soils

1.3 控制方程

基于Fredlund非飽和土一維固結(jié)理論，瞬時(shí)荷載作用下非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)過程中超孔隙氣壓力與超孔隙水壓力控制方程表示如下(Zhou et al.，2018)：

(1)

(2)

其中，考慮涂抹作用時(shí)(Ho et al.，2018)，

(3)

(4)

1.4 初始條件與邊界條件

1.4.1 初始條件

(5)

1.4.2 邊界條件

在r=rw處：

uas(rw,z,t)=uad(z,t)

(6a)

uws(rw,z,t)=uwd(z,t)

(6b)

(7a)

(7b)

在r=rs處：

uas(rs,z,t)=ua(rs,z,t)

(8a)

uws(rs,z,t)=uw(rs,z,t)

(8b)

在r=re處：

(9)

在豎井內(nèi)：

uwd(z,0)=uad(z,0)=0

(10)

(11)

1.5 解析解推導(dǎo)

將式(1)、式(2)重新整理得：

(12a)

(12b)

通過引入變量Φ1和Φ2，式(12a)、式(12b)可以被轉(zhuǎn)化為如下等價(jià)的線性偏微分方程組，轉(zhuǎn)化過程見附錄B：

(13a)

(13b)

式中：

Φ1(r,t)=ua+q21uw，Φ2(r,t)=q12ua+uw

(14)

(15)

將式(13a)、式(13b)對r作兩次積分，并帶入邊界條件(6)、(8)和(9)得：

rw≤r≤rs：

(16a)

(16b)

rs≤r≤re：

(17a)

(17b)

將式(16a)、式(16b)及式(17a)、式(17b)分別帶入式(15)得：

(18a)

(18b)

對式(13a)、式(13b)中r作一次積分，并代入邊界條件式(7a)、式(7b)整理得：

(19a)

(19b)

式中：αd=ka/kad=kw/kwd。

整理方程(18a)、(18b)及(19a)、(19b)可得：

(20a)

(20b)

式中：ρ1=αd(N2-1)/Q1，ρ2=αd(N2-1)/Q2。

(21a)

(21b)

采用分離變量法，可得方程(21a)、(21b)的通解為：

Φ1d=(a1sinλz+b1cosλz)e-c1t

(22a)

Φ2d=(a2sinλz+b2cosλz)e-c2t

(22b)

式中：a1，a2，b1，b2，λ為待定系數(shù)；c1=λ2/(ρ1-η1λ2)；c2=λ2/(ρ2-η2λ2)。

代入邊界條件式(10)，式(11)可得：

(23a)

(23b)

式中：M=(2m+1)π/2，m=0,1,2…

G=αd(H/dw)2為井阻因子。

將式(23a)、式(23b)代入式(20a)、式(20b)得：

(24a)

(24b)

圖與在不同G時(shí)的消散曲線Fig.2 Dissipation curves of different G

由初始條件式(5)及函數(shù)系sin(Mz/H)在區(qū)間[0，H]上的正交性，得：

(25a)

(25b)

(26a)

(26b)

式(26a)、式(26b)為瞬時(shí)荷載下考慮涂抹和井阻作用的非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解析解。

2 驗(yàn)證及算例分析

2.1 驗(yàn) 證

將上述孔隙氣參數(shù)帶入解析解(26a)、(26b)后得到：

(27)

將式(27)與謝康和等(1989)的等應(yīng)變固結(jié)解析解比較發(fā)現(xiàn)，兩者公式完全相同，驗(yàn)證了本文非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解的正確性。

2.2 算例分析

圖3a和圖3b是考慮井阻作用與不考慮井阻作用(G=0)的豎井平均超孔隙壓力的相對偏差Wa、Ww隨時(shí)間變化的曲線。當(dāng)G小于0.1時(shí)，豎井地基中平均超孔隙壓力的相對偏差較小，且消散完成時(shí)間基本相同。因此，在實(shí)際工程中，當(dāng)G小于0.1時(shí)，建議不考慮井阻作用。

圖3 相對偏差Wa、Ww的變化曲線Fig.3 The change curves of relative deviation Wa、Ww

圖與在不同N時(shí)的消散曲線Fig.4 Dissipation curves of different N

圖與在不同α?xí)r的消散曲線Fig.5 Dissipation curves of different α

圖與在不同S時(shí)的消散曲線Fig.6 Dissipation curves of different S

3 結(jié) 論

本文推導(dǎo)出了瞬時(shí)荷載下同時(shí)考慮井阻和涂抹作用的非飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)解析解，并運(yùn)用算例進(jìn)行了參數(shù)影響分析，結(jié)論如下：

(1)將本文所得解退化至飽和土中，與飽和土豎井地基等應(yīng)變固結(jié)的解析解對比，兩者公式相同，驗(yàn)證了本文解的正確性。

(2)G、N越小，非飽和土豎井地基的固結(jié)速度越快；當(dāng)G小于0.1時(shí)，建議實(shí)際工程中不考慮井阻作用。

(3)α、S越小，即涂抹作用越小，非飽和土豎井地基的固結(jié)速度越快；當(dāng)S大于5后，涂抹作用對豎井地基固結(jié)的影響與S=5時(shí)無明顯差異。

綜上所述，井阻和涂抹作用對豎井地基固結(jié)均有明顯影響，實(shí)際工程中建議盡量減少施工擾動并提高豎井的透水能力，以降低涂抹及井阻作用對非飽和土豎井地基固結(jié)的影響。

附錄A參數(shù)說明

M：平均氣體摩爾質(zhì)量(kg/mol)；

R：氣體常數(shù)(8.314J·(mol·K)-1)；

T：絕對溫度(K)；

Sr0：初始飽和度；

n0：初始孔隙率；

de、dw：影響區(qū)、豎井直徑(m)；

引入任意常數(shù)q1、q2，綜合式(12a)、式(12b)得：

(B1)

通過變量Φ=uaq1+uwq2引入常數(shù)Q，式(B1)可被轉(zhuǎn)化為如下方程組：

Qq1=Aaq1+Waq2

(B2a)

Qq2=Awq1+Wwq2

(B2b)

另外，式(B2a)與式(B2b)成立的條件為：

(Aa-Q)(Ww-Q)-AwWa=0

(B3)

因此，二次方程組(B3)的根Q1、Q2可以表示為：

(B4)

當(dāng)Q=Q1時(shí)，式(B2a)、式(B2b)中的q1、q2分別為q11和q21。當(dāng)Q=Q2時(shí)，q1、q2分別為q12和q22。

綜上，式(B1)可以表示為以下的方程組：

(B5)

(B6)

式中：q12=(Q2-Ww)/Aw；q21=(Q1-Aa)/Wa。