關(guān)注數(shù)學(xué)問題表征 培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)*

江蘇省南京市金陵中學(xué) (210005) 于 健

所謂表征，即指兩個世界的特征或元素之間的一種對應(yīng)，即用一種形式(物理或心理的)將另一種事、物、想法或知識重新表現(xiàn)出來，其本質(zhì)即為指代對象的一個替代(如符號或符號集).數(shù)學(xué)表征是主體在理解某個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)時將該結(jié)構(gòu)與一個更易理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間建立一個對應(yīng)的心理過程.問題表征形式上分為兩種：一種是外在表征，即將問題以文字、數(shù)式、圖表、模型和實驗等具體的東西表示出來；另一種是內(nèi)在表征，即問題在人腦中的思考.

數(shù)學(xué)抽象是六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.它主要包括：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)思想與方法，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系.在解題中運用數(shù)學(xué)抽象的方式思考問題，可以迅速識別模型，把握問題本質(zhì)，啟發(fā)思考，化難為易，化繁為簡，不斷積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，從而達(dá)到培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的目的.培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)關(guān)鍵是找到一個抓手，那就是為學(xué)生創(chuàng)造適宜的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生探究具體的數(shù)學(xué)模型，揭示數(shù)學(xué)抽象的過程，讓學(xué)生理解問題的本質(zhì).因此，培養(yǎng)學(xué)生問題表征的能力顯得尤其重要.

本文是筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，從問題表征的視角來談?wù)勗趩栴}解決過程中培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一些想法，僅供參考.

1 方程表征，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

將看似與圖形無關(guān)的方程，通過對條件的整合和合理變形，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的具有幾何背景的代數(shù)式，再賦予合理的幾何解釋，從而將其表征為圖形，最后通過圖形清晰地呈現(xiàn)題設(shè)條件和結(jié)論之間的關(guān)系，更有利于學(xué)生對題意的理解，縮短審題的時間，迅速定位解題方向.

例1 已知x,y,z∈(0,+∞) ，且x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值為.

評注：由題設(shè)條件容易聯(lián)想到圓的方程，根據(jù)條件和結(jié)論，將y看作常量，于是問題就化歸為學(xué)生熟悉的直線與圓的位置關(guān)系問題.還要注意變量的取值范圍對圖形的影響，再結(jié)合線性規(guī)劃思想和基本不等式知識求最值.本題也可通過拆項和配湊的方式，再結(jié)合基本不等式求解，這種方法技巧性太強，但是從圖形表征的視角思考問題更有利于將抽象的問題具體化，讓學(xué)生從代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何形態(tài)轉(zhuǎn)化的過程中，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，從而，讓學(xué)生的思維有了依靠，讓學(xué)生的解題有了新意，讓學(xué)生的理解更為深刻.

2 條件表征，形成數(shù)學(xué)思想與方法

深刻理解和充分整合題設(shè)條件信息是用好條件表征的前提，條件表征的過程其實就是理解條件，即將條件進(jìn)行信息解釋、提取、組織、加工、表達(dá)的過程，在問題的解決過程中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3 背景表征，認(rèn)識題目結(jié)構(gòu)和體系

深刻理解題意，充分了解題目所考查的目的，它是以什么方式呈現(xiàn)的，題目的結(jié)構(gòu)形式是否繁雜，能否將陌生的問題熟悉化，復(fù)雜的問題簡單化等，挖掘命題的背景，認(rèn)識題目的結(jié)構(gòu)和體系，找準(zhǔn)解題的切口，從而突破難點.

評注：該題是多元變量求最值的問題，通過對其考查背景的分析可以利用逐級求解的方式解題，解法1的背景是絕對值，把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上在[-1,1]之間的三個點之間的距離距離問題，將多變量減為單變量，再用基本不等式或函數(shù)的觀點求解.解法2是利用變量之間的關(guān)系構(gòu)造方程，表征為方程，再借助于三角函數(shù)知識求解.兩種解法都讓學(xué)生感受如何將復(fù)雜難懂的問題抽象成簡單易懂的問題的過程，體現(xiàn)將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)落在實處.

4 模式表征，提出數(shù)學(xué)命題和模型

心理學(xué)的研究表明，人對數(shù)學(xué)模式的表征是有組織的，其組織的核心是一些語義相關(guān)的組塊.一些孤立的信息輸入人的大腦后經(jīng)過篩選，進(jìn)入短時記憶，再經(jīng)過深加工，抽象出反映問題本質(zhì)的有關(guān)信息的組合進(jìn)入長時記憶，就形成模式表征[1].用好模式表征的關(guān)鍵是做好模式結(jié)構(gòu)的識別、模式本質(zhì)的分析、新舊知識的重組，數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換等工作，只有準(zhǔn)確識別模式，才能縮短思維時間，縮小探究范圍，達(dá)到迅速解決問題的目.

評注：求解該題的關(guān)鍵是要正確識別結(jié)論(m-p)2+(n-q)2的幾何表征，即點(m,n)與點(p,q)之間的距離的平方，那么兩個點又滿足什么樣的規(guī)律呢？自然就想到題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為兩條曲線上的兩個動點之間的距離問題，這樣不但有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，組織信息，更有助于擬定解題計劃，簡化學(xué)生的思維過程，在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和數(shù)學(xué)抽象思維能力.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵是積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗以及抽象思維材料的定位和選擇；數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落實的載體是創(chuàng)設(shè)提升學(xué)生思維能力的情景，依托學(xué)生熟悉的、關(guān)聯(lián)的以及符合考試要求的情境下以問題表征為背景設(shè)計問題，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法等，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生歸納和提煉“問題表征”的模式和方法，讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

立足學(xué)情，精準(zhǔn)定位，注重聯(lián)系，通過關(guān)聯(lián)、類比、聯(lián)想、創(chuàng)造等思維方式，將抽象思維材料化為可視化的具體材料，不斷拓展學(xué)生的抽象思維視域，探究學(xué)生的思維生長點.分析試題的結(jié)構(gòu)，還原解題思路，讓學(xué)生了解命題的背景和意圖，更有針對性地引導(dǎo)學(xué)生解題，增強解題的時效性.在培育學(xué)生抽象思維的過程中，提高學(xué)生的理性思維能力，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力，從而實現(xiàn)教學(xué)知識的遷移和整合，真正起到培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的目的.