高中立體幾何中多面體外接球的多維理論

鐘景明

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，而外接球問題不僅涉及到了球本身的性質(zhì)，而且側(cè)重考查學(xué)生對于內(nèi)部幾何體的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的理解與掌握，有力地考查了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).因此，近年來，該問題常常受到全國卷與省地區(qū)的命題者的青睞.針對該類問題的復(fù)雜性，筆者將從理論與題型這兩個方面重點研究，提出一套完整的理論與相關(guān)的方法，促使理論與實踐、經(jīng)驗與手段、題型與解法均可相互融合與促進，以達到教與學(xué)、學(xué)與用均可相得益彰.

關(guān)鍵詞：多面體;外接球;多維理論;方法

研究高中立體幾何，自然離不開平面幾何的相關(guān)概念.平面多邊形的外接圓，顧名思義，就是指“與多邊形各頂點都相交的圓”。對于一個多邊形，若其外接圓存在，則就只有一個，其圓心與半徑是確定的，而外接圓的圓心自然到每個頂點的距離均相等。據(jù)此，我們對于立體幾何中，外接球的定義就非常明朗。

一、立體幾何中外接球的定義

定義 ?若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。

顯然，要解決外接球的問題關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的各頂點的距離均等于球的半徑。

二、外接球問題的多維理論

解決外接球問題，關(guān)鍵需要借助以下的相關(guān)結(jié)論：

結(jié)論一：數(shù)軸上，到兩點A、B的距離相等的點就是線段AB的中點。

結(jié)論二：平面內(nèi)，到兩點A、B的距離相等的點的軌跡就是線段AB的垂直平分線（過AB的中點），簡稱為中垂線。

結(jié)論三：平面內(nèi)，到不共線的三點A、B、C的距離相等的點就是△ABC的外心。

結(jié)論四：空間中，到兩點A、B的距離相等的點的軌跡就是過其中垂線且垂直AB的一個平面，簡稱為中垂面。

結(jié)論五：空間中，到不共線的三點A、B、C的距離相等的點的軌跡就是過△ABC的外心且垂直于平面ABC的一條直線，簡稱為外垂線。

結(jié)論六：對于一般的三棱錐，其中兩個三角形的外垂線的交點就是該三棱錐外接球的球心。

根據(jù)以上六個結(jié)論，不難看出，尋找外接球球心的關(guān)鍵核心就是弄清楚維度的變化與點數(shù)之間的遞進關(guān)系.另外，確定球心位置后，所有求外接球半徑最初或最終幾乎都歸結(jié)到三角形中的勾股定理.因此，我們需要熟知以下特殊三角形外心的若干題型與規(guī)律。

1.等邊三角形的外心為其中心（四心合一）。

2.直角三角形的外心為斜邊的中點。

3.銳角等腰三角形的外心在三角形內(nèi)部，且在頂角的角平分線上，可由關(guān)系式：求出外接圓的半徑r，其中L為底邊長，h為底邊上的高。

4.鈍角等腰三角形的外心在三角形外部，且在頂角的角平分線上，可由關(guān)系式：求出外接圓的半徑r，其中L為底邊長，h為底邊上的高。

5.對于給定任一邊邊長及其對角的三角形，則可由正弦定理求出外接圓的半徑rv

6.針對結(jié)論六，對于一般的三棱錐，其外接球的半徑可由以下公式（*）求出：

其中，l1、l2分別是三棱錐其中兩個三角形的外接圓圓心到其交線的距離，L為交線長，α為該兩個三角形所在半平面所形成的二面角的平面角大小。

特別地，若三棱錐有兩個三角形互相垂直時，公式（*）則變?yōu)?，其中，r1、r2分別是兩個垂直的三角形的外接圓半徑。

三、外接球問題的若干題型與解決方法

例1 （正方體或長方體的外接球問題）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為3、4、5，求該球的體積。

分析：易知，正方體或長方體的外接球的球心位于其體對角線的中點，

則半徑，故該球的體積為.

思路二：根據(jù)思路一的分析，結(jié)合若干題型與規(guī)律6中的公式（*）易得，

同樣地，最后得到該外接球的表面積為。

事實上，思路二只是對思路一的高度概括與提煉，兩者并沒有明顯的差異，都繞不開正余弦定理的應(yīng)用。

解決該問題，關(guān)鍵核心還是“定心”，包括確定三角形的外心，或其他多邊形的中心等，借助多維理論，不難確定出“球心”，最后往往利用勾股定理、正余弦定理求半徑。該多維理論能夠促使學(xué)生深刻而嚴謹?shù)乩斫馄矫鎺缀闻c立體幾何之間本質(zhì)上的聯(lián)系，從而系統(tǒng)性、科學(xué)性、有效性地去掌握外接球問題。

參考文獻：

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