基于改進(jìn)蟻群算法的二維MUSIC多譜峰搜索研究

陳 宇，王 彪

(江蘇科技大學(xué)，江蘇鎮(zhèn)江212003)

0 引 言

空間信號(hào)到達(dá)方向(Direction of Arrival, DOA)作為聲吶陣列信號(hào)處理的一個(gè)重點(diǎn)，其作用在于確定搜索空間信號(hào)源的位置。Schmidt[1]在 1979年提出的基于特征分解的多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classificaion, MUSIC)算法真正突破了瑞利限，實(shí)現(xiàn)了超分辨DOA估計(jì)，以MUSIC算法為代表的基于特征分解的子空間算法得到了研究者的認(rèn)可，該類算法一般需要在算法所對(duì)應(yīng)的空間譜函數(shù)上進(jìn)行譜峰搜索，計(jì)算量巨大。如何進(jìn)行快速有效的譜峰搜索一直是研究的熱點(diǎn)，可將譜峰搜索算法分為兩類：無策略搜索算法和策略搜索算法。無策略搜索方法是指這類算法遵循固定的搜索方法來進(jìn)行譜峰搜索，代表算法為傳統(tǒng)的均勻遍歷法，該算法根據(jù)預(yù)設(shè)的精度要求來對(duì)解空間進(jìn)行遍歷搜索，計(jì)算量大，且計(jì)算量隨著精度要求的提高而增大。策略搜索算法中，有一類算法是采用分步搜索的辦法，這類算法的特點(diǎn)是先進(jìn)行粗搜索，再對(duì)部分區(qū)域進(jìn)行細(xì)搜素，如文獻(xiàn)[2]提出的算法，該算法將噪聲子空間進(jìn)行分塊，逐步收斂到譜峰附近，再進(jìn)行細(xì)搜素，但是空間中的信號(hào)并不能保證服從某一分布，所以分塊的依據(jù)有待商榷；如果分塊不合理，會(huì)在無信號(hào)空間進(jìn)行搜索從而造成計(jì)算資源的浪費(fèi)。文獻(xiàn)[3-4]提出設(shè)置一個(gè)門限，然后通過大步進(jìn)搜索，尋找出高于門限的譜峰所在的一個(gè)大致范圍，再在該范圍內(nèi)進(jìn)行小步進(jìn)搜索，尋找出準(zhǔn)確的譜峰。但是文中也表示，門限設(shè)置的好壞直接影響了算法的成功率。與上述策略算法不同，群智能算法充分利用了空間譜函數(shù)的形狀[5-6]，確定相應(yīng)的搜索策略從而快速收斂到譜峰附近；同時(shí)，群智能算法并不需要對(duì)空間進(jìn)行分塊，這大大加強(qiáng)了算法的魯棒性。如文獻(xiàn)[7]提出的基于遺傳算法的MUSIC譜峰搜索技術(shù)，文獻(xiàn)[8]提出的基于雞群優(yōu)化算法的譜峰搜索，都取得了很好的效果，但是由于群智能算法屬于全局優(yōu)化算法，所以鮮有文章考慮空間中存在多個(gè)信號(hào)源的情況，也即多譜峰搜索問題。

在實(shí)際應(yīng)用中，水下或者水面經(jīng)常存在多個(gè)信號(hào)源，同時(shí)有些信號(hào)源相距很近，例如海戰(zhàn)中的航母編隊(duì)。在該實(shí)際背景下如何快速準(zhǔn)確地估計(jì)出所有信號(hào)源的波達(dá)方向是本文的研究重點(diǎn)。蟻群算法作為群智能算法中的典型算法，已有非常完善的應(yīng)用背景與數(shù)學(xué)理論依據(jù)，本文利用蟻群算法來進(jìn)行DOA估計(jì)的研究，并且針對(duì)傳統(tǒng)蟻群算法的一些缺陷，提出了更加適合多譜峰搜索的改進(jìn)蟻群算法，并利用仿真實(shí)驗(yàn)，證明了本文算法的有效性。

1 二維MUSIC算法

1.1 接收信號(hào)模型[9]

1.2 MUSIC推導(dǎo)[9]

通過特征分解可以將陣列協(xié)方差矩陣R劃分為信號(hào)子空間與噪聲子空間兩個(gè)空間，即：

2 蟻群算法改進(jìn)

2.1 蟻群算法介紹[10]

螞蟻在尋找食物時(shí)，會(huì)在其經(jīng)過的路徑上釋放一種可以稱之為“信息素”的物質(zhì)，蟻群內(nèi)的螞蟻對(duì)“信息素”具有感知能力，它們會(huì)沿著“信息素”濃度較高的路徑行走，而每只路過的螞蟻都會(huì)在路上留下“信息素”，這就形成一種類似正反饋的機(jī)制，通過這種機(jī)制可以快速找到食物源。而蟻群算法正是利用了這種特性來進(jìn)行全局優(yōu)化。

2.2 蟻群算法的改進(jìn)

2.2.1 聚類分析思想

蟻群算法為全局優(yōu)化算法，在迭代過程中會(huì)不斷收斂到最優(yōu)解附近。但是DOA估計(jì)為多譜峰搜索問題(當(dāng)存在多個(gè)信號(hào)源的情況下)，每個(gè)譜峰的幅值不一樣，所以蟻群往往聚集到幅值最高的譜峰附近，從而使得其他譜峰處螞蟻較少，影響了估計(jì)的精度，也容易造成估計(jì)失敗。針對(duì)該問題，本文創(chuàng)新地將機(jī)器學(xué)習(xí)中的聚類思想與傳統(tǒng)的蟻群算法相結(jié)合，將每個(gè)譜峰周圍距離該譜峰最近的螞蟻歸為一類，通過這種方式，使得蟻群可以互不干擾地分開搜索不同的譜峰。該改進(jìn)的步驟為：假設(shè)蟻群規(guī)模為，在蟻群迭代開始之前利用信源數(shù)K，根據(jù)信息素最大且距離較遠(yuǎn)的原則從蟻群中找出K個(gè)聚類質(zhì)心點(diǎn)[9-11]{C1,C2,… ,CK}，然后根據(jù)誤差平方和最小準(zhǔn)則將所有的螞蟻進(jìn)行聚類。則在第t次迭代中，誤差平方和函數(shù)為

聚類完成后再進(jìn)行算法的剩余部分，一次迭代完成之后再進(jìn)行重新聚類，重新選取信息素更高的點(diǎn)作為質(zhì)心點(diǎn)，所以本文提出的算法既是蟻群算法，同時(shí)也是完整的聚類算法。通過引入聚類思想，讓屬于不同族的螞蟻去尋找不同的譜峰，從而避免了最高譜峰對(duì)蟻群算法性能的影響。

2.2.2 動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索范圍

本文的蟻群算法采用了局部搜索和全局搜索兩種搜索模式。在一次迭代中，螞蟻采取哪一種搜索方式是由轉(zhuǎn)移概率決定的；在第t次迭代中，第i個(gè)螞蟻的轉(zhuǎn)移概率公式為[7]

式中：T(…)表示信息素，Ci表示第i個(gè)螞蟻所屬族的質(zhì)心點(diǎn)。則當(dāng)該螞蟻距離所在質(zhì)心點(diǎn)較近也即Pi,t較小時(shí)，采用局部搜索，其搜索譜峰公式為

當(dāng)該螞蟻距離所在質(zhì)心較遠(yuǎn)也即Pi,t較大時(shí)，采用全局搜索，其搜索公式為

式(11)～(12)中，co,t為第t次迭代后第i個(gè)螞蟻的坐標(biāo)，rnd為0～1之間的隨機(jī)數(shù)，λt為第t次迭代的步長(zhǎng)。dt-1為上次迭代后的搜索范圍的上下邊界差，轉(zhuǎn)移概率Pi,t的大小往往用一個(gè)轉(zhuǎn)移概率常數(shù)來衡量，本文取概率轉(zhuǎn)移常數(shù)為0.05。設(shè)置上下邊界可以防止螞蟻跑出搜索范圍，在傳統(tǒng)的蟻群算法中，上下邊界是固定不動(dòng)的，比如需要搜索 -90°～90°范圍的 DOA，則上界設(shè)置為 90°，下界設(shè)置為-90°。本文創(chuàng)新地隨著蟻群算法的迭代調(diào)整搜索的邊界，從而達(dá)到動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索范圍的效果，調(diào)整的準(zhǔn)則如下：

在同等仿真條件下，利用Matlab軟件繪制出未使用和使用動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索范圍的最終螞蟻分布的投影圖，其中圖1(a)未采用動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索范圍，可以看出蟻群可以分別收斂到三個(gè)譜峰附近，但是并不集中，這會(huì)造成雖然估計(jì)成功，但是收斂速度較慢、誤差較大的問題，而圖1(b)采用了動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索范圍，可以看出蟻群不僅可以找到三個(gè)譜峰，而且收斂得非常緊密，通過這兩張圖的對(duì)比，可以看成該改進(jìn)方法的有效性。

圖1 采用與不采用動(dòng)態(tài)搜索策略蟻群投影圖Fig.1 Ant colony projection diagrams with and without dynamic search strategy

2.3 算法流程

結(jié)合了上述兩個(gè)改進(jìn)方法后，蟻群算法流程可以描述為：

(1) 設(shè)置最大迭代次數(shù)T，蟻群規(guī)模為A，目標(biāo)誤差為ET，信息素?fù)]發(fā)常數(shù)Rau，轉(zhuǎn)移概率常數(shù)p0，初始化迭代次數(shù)T為1，上邊界為Ru,1，下邊界為RL,1。

(2) 隨機(jī)設(shè)置螞蟻的初始位置，設(shè)置每只螞蟻的初始信息素為其空間譜函數(shù)上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

(3) 運(yùn)用聚類分析的思想在蟻群中找出K個(gè)質(zhì)心點(diǎn)，將其余螞蟻分成K個(gè)族。

(4) 計(jì)算每只螞蟻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pi,t。

(5) 更新每個(gè)族的上邊界和下邊界為Ru,k,t(x)，Ru,k,t(y)，Rl,k,t(x)，Rl,k,t(y)。

(6) 通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率選擇搜索模式。

(7) 對(duì)超出搜索范圍的螞蟻進(jìn)行越界處理。

(8) 更新信息素，更新公式為

式中Tau,i,t為第i個(gè)螞蟻在第t次迭代中的信息素，由兩部分組成，加號(hào)前為經(jīng)過揮發(fā)后殘余的信息素，加號(hào)后為該次迭代中新留下的信息素。

(9) 得出本次迭代估計(jì)的譜峰值，即為各個(gè)族的質(zhì)心點(diǎn)Ck,t，計(jì)算誤差Et；如果誤差Et小于目標(biāo)誤差ET，則結(jié)束；如果誤差大于目標(biāo)誤差則轉(zhuǎn)到步驟(3)，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)或者誤差小于目標(biāo)誤差。定義均方誤差為

式中：DOAk表示與Ck,t相對(duì)應(yīng)的實(shí)際波達(dá)方向。通過對(duì)誤差取對(duì)數(shù)可以更好地繪制誤差曲線圖。

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

主要參數(shù)如下：陣元數(shù)為M=N=8，為 8×8的均勻面陣；快拍數(shù)為500；蟻群規(guī)模為400。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

設(shè)置信噪比為10 dB，迭代次數(shù)為100次，空間存在三個(gè)信號(hào)源，其波達(dá)方向分別為(10°, 15°)、(20°, 35°)和(30°, 55°)，繪制出空間譜函數(shù)與迭代前后蟻群分布圖如圖2所示。

圖2(a)為迭代前的蟻群分布圖，可以看出螞蟻隨機(jī)地分布在空間譜函數(shù)上，圖2(b)經(jīng)過50 次迭代后，所有的螞蟻被分成了三個(gè)族，分別用紅、黃、綠這三種顏色來區(qū)分不同的族，并且都收斂到了每個(gè)族對(duì)應(yīng)的譜峰上，直觀地說明了算法的有效性。實(shí)際DOA估計(jì)結(jié)果如表1所示。

圖2 迭代前后蟻群分布圖Fig.2 Ant colony distribution maps before and after iteration

表1 DOA估計(jì)結(jié)果Table 1 DOA estimation results

設(shè)置信噪比為20 dB，迭代次數(shù)為100次，空間存在三個(gè)信號(hào)源，其波達(dá)方向?yàn)?10°, 15°)、(20°, 35°)和(30°, 55°)。本文提出的蟻群算法與傳統(tǒng)蟻群算法的誤差對(duì)比如圖3所示，其中紅色為傳統(tǒng)的蟻群算法，藍(lán)色為本文改進(jìn)后的蟻群算法。從圖3可以看出，迭代開始時(shí)，兩種算法的誤差大約都為25 dB，經(jīng)過大約10次迭代后，本文算法的誤差下降到0 dB，快于傳統(tǒng)蟻群算法，經(jīng)過大約40次迭代后，本文算法的誤差下降到了大約-18 dB，體現(xiàn)出了該算法很高的估計(jì)精度。此后，由于受MUSIC算法分辨率限制，誤差基本不再下降。而此時(shí)傳統(tǒng)蟻群算法誤差大約為6 dB，在接下來的迭代中，傳統(tǒng)蟻群算法不能保持誤差持續(xù)下降的趨勢(shì)，最終誤差為3 dB左右，精度明顯低于本文提出的算法。這說明傳統(tǒng)的蟻群算法并不能穩(wěn)定且快速地進(jìn)行多譜峰估計(jì)，而改進(jìn)后的蟻群算法能夠很好地完成任務(wù)。

圖3 算法改進(jìn)前后誤差對(duì)比圖Fig.3 Comparison of DOA error before and after the algorithm being improved

為了探究信噪比與算法性能的關(guān)系，對(duì)本文在不同信噪比下多譜峰搜索進(jìn)行了100次蒙特卡洛仿真，設(shè)置波達(dá)方向?yàn)?個(gè)，設(shè)置目標(biāo)誤差為5 dB，最大迭代數(shù)為 500。如果在最大迭代數(shù)之前達(dá)到目標(biāo)誤差，則認(rèn)定該次實(shí)驗(yàn)成功，反之認(rèn)為該次實(shí)驗(yàn)失敗。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 不同信噪比下本文算法性能Table 2 Algorithm performance table under different SNRs

從表2可以看出，本文提出的算法在不同信噪比下迭代次數(shù)相差并不大，保證了不同信噪比下快速估計(jì)DOA的需求，且在高信噪比的情況下成功率均為100%，體現(xiàn)出本文算法具有較高的魯棒性。但是在低信噪比情況下估計(jì)成功率較低，主要原因是低信噪比情況下二維MUSIC算法性能下降較快，有時(shí)甚至不會(huì)出現(xiàn)明顯的譜峰。在這種情況下，本文的算法往往不能正確找到所有的波達(dá)方向，但可以找到空間譜函數(shù)中較為明顯的譜峰所對(duì)應(yīng)的波達(dá)方向。

為了探究在兩個(gè)相近信號(hào)源情況下本文算法的性能，設(shè)置空間信號(hào)源的數(shù)量為 2，信噪比為20 dB，假設(shè)其波達(dá)方向分別為，則兩信號(hào)源角度距離D定義為

設(shè)置單次實(shí)驗(yàn)最大迭代次數(shù)為 100，進(jìn)行 100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。譜峰靠近時(shí)搜索結(jié)果如圖 4所示。從圖4可以直觀地看出，兩個(gè)信號(hào)源非?？拷渥V峰重疊部分非常大，僅可依稀分辨出兩個(gè)峰尖。但是利用本文的算法依然可以準(zhǔn)確地找到這兩個(gè)信號(hào)源的波達(dá)方向。

圖4 譜峰靠近時(shí)搜索結(jié)果Fig.4 Search result graph when the peaks are close to each other

信號(hào)源靠近情況下，DOA估計(jì)的結(jié)果如表 3所示。

通過計(jì)算可以得出，表 3所示的估計(jì)誤差為-1.3 dB，表明本文的算法可以正確估計(jì)出兩個(gè)相近信號(hào)源的波達(dá)方向。

表3 信號(hào)源靠近情況下DOA估計(jì)結(jié)果Table 3 DOA estimation results when the signal sources are close

進(jìn)一步探究多個(gè)空間信號(hào)源與信號(hào)源之間的角度距離對(duì)于算法性能的影響，設(shè)置空間信號(hào)源數(shù)量為2，改變兩個(gè)信號(hào)源之間的角度距離，進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表4所示。

表4 不同角度距離下算法性能表Table 4 Algorithm performance table at different angle distances

從表4的結(jié)果可以看出，本文改進(jìn)后的算法的估計(jì)成功率不受信號(hào)源之間角度距離的影響，可以應(yīng)對(duì)不同的實(shí)際情況。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)二維MUSIC算法多譜峰搜索存在的計(jì)算量大、容易失敗等問題，提出了將蟻群算法與二維MUSIC相結(jié)合的解決辦法，并針對(duì)多譜峰搜索的問題對(duì)傳統(tǒng)蟻群算法進(jìn)行了改進(jìn)，包括與機(jī)器學(xué)習(xí)中的聚類分析相結(jié)合以及動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索范圍。通過仿真可以看出，本文的改進(jìn)蟻群算法可以很好地按照改進(jìn)思路進(jìn)行正確的聚類，并且可以在空間中存在多個(gè)信號(hào)源以及信號(hào)源比較靠近時(shí)正確地估計(jì)出他們的波達(dá)方向。與傳統(tǒng)蟻群算法相比，改進(jìn)后的蟻群算法可以完成多譜峰搜索且具有更高的估計(jì)精度，并且在較高信噪比環(huán)境下具有較高的魯棒性。下一步的工作是改進(jìn)該算法在低信噪比情況下的估計(jì)成功率。