論三角函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位

楊永強(qiáng)

摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)是素質(zhì)教育改革中重點(diǎn)關(guān)注的學(xué)科，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是時(shí)代發(fā)展的要求，并且也是開發(fā)學(xué)習(xí)者思維、增強(qiáng)學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵因素。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中包括了諸多方面的知識(shí)，其中以三角函數(shù)為主的數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與考試的難點(diǎn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中三角函數(shù)是其最為主要的內(nèi)容，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)不僅可以促使高中階段對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行延伸，并且三角函數(shù)的概念不僅僅是簡(jiǎn)單的銳角函數(shù)，而是逐漸發(fā)展到角與角之間的運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；地位；概念；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-120X（2016）23-0043-02 收稿日期：2016-07-12

近幾年，伴隨著素質(zhì)教育的深入與推進(jìn)，初中作為素質(zhì)教育發(fā)展中最為關(guān)鍵的階段，是培訓(xùn)學(xué)習(xí)者樹立學(xué)習(xí)興趣、掌握數(shù)學(xué)規(guī)律、獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵階段。三角函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，并且也是考試的主要內(nèi)容，只有全面掌握三角函數(shù)，才能對(duì)周期的變化現(xiàn)象有所了解，對(duì)函數(shù)模式有所認(rèn)識(shí)，才能正確利用正弦定理與余弦定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。因此，本文僅對(duì)三角函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位進(jìn)行了分析與探究。

一、三角函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的地位

從整體角度分析，三角函數(shù)這部分內(nèi)容為什么會(huì)發(fā)生變化？筆者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)三角函數(shù)與其他內(nèi)容之間的關(guān)系制作了相應(yīng)的框圖（如下圖所示）。

1.從歷史發(fā)展的角度分析

眾所周知，數(shù)學(xué)發(fā)展歷程歷經(jīng)千年，在16世紀(jì)外國(guó)數(shù)學(xué)家便對(duì)三角進(jìn)行分析，并形成了比較系統(tǒng)的理論體系，其中主要的研究?jī)?nèi)容包括了平面三角形的特點(diǎn)與性質(zhì)、三角形的面積等。在17世紀(jì)，在常量數(shù)學(xué)的發(fā)展與研究中，三角仍然是其主要的內(nèi)容。近年來(lái)，伴隨著我國(guó)數(shù)學(xué)體系的發(fā)展與進(jìn)步，微積分與解析幾何的創(chuàng)立從本質(zhì)上確定了變量數(shù)學(xué)的重要地位，人們逐漸從函數(shù)的角度對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行研究，數(shù)學(xué)界對(duì)三角函數(shù)的討論更加激烈，三角函數(shù)逐漸成為數(shù)學(xué)學(xué)科中的獨(dú)立分析?？偠灾?，三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)合進(jìn)一步提升了其自身的作用，并且在中學(xué)數(shù)學(xué)中發(fā)揮出了極其重要的作用。

2.從課程的角度分析

根據(jù)筆者所制的框架圖，可以得知在中學(xué)數(shù)學(xué)中三角函數(shù)有著極其重要的作用，并且與其他學(xué)科形成統(tǒng)一、和諧的發(fā)展模式。從課程角度分析，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象的主要模型，并且與向量之間存在著密切的聯(lián)系。此外，從整體角度分析，三角函數(shù)與三角運(yùn)算之間也存在一定的聯(lián)系，能夠?qū)崿F(xiàn)與數(shù)學(xué)的運(yùn)算，不管是多項(xiàng)式運(yùn)算還是非線性運(yùn)算，三角函數(shù)都發(fā)揮著非常重要的作用。與此同時(shí)，三角函數(shù)的解法牽涉到正弦定理與余弦定理，能夠進(jìn)一步求證出三角形的角、面積，是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)體系中不可或缺的內(nèi)容。

二、三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵因素

筆者認(rèn)為需要從以下兩個(gè)方面對(duì)三角函數(shù)與數(shù)形結(jié)合之間的關(guān)系進(jìn)行分析與探討。

一方面，三角函數(shù)的出現(xiàn)從根本上促使平面幾何的研究發(fā)生本質(zhì)的改變，實(shí)現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)變。比如，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中每一位學(xué)生都能夠明白“兩邊之和大于第三邊”的重要結(jié)論，并且還能了解到“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的定性結(jié)論，再經(jīng)過(guò)正弦定理與余弦定理的驗(yàn)證，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。其中在近幾年中有關(guān)三角函數(shù)的理論分析中著重對(duì)這一要點(diǎn)進(jìn)行了定量的描述。

在數(shù)學(xué)家歐拉早年所提出的“三角形外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比小于2”的理論研究中可以得知，不管是 “拿破侖三角形”還是“莫雷定理”，如果不借助三角形工具，在進(jìn)行求解的過(guò)程中是非常困難的。但是，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及各個(gè)向量之間的變化規(guī)律，在將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中，能夠?qū)崿F(xiàn)坐標(biāo)化，促使向量、坐標(biāo)以及復(fù)數(shù)之間形成統(tǒng)一整體，從而實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)在數(shù)形方面的結(jié)合。其中，值得注意的一點(diǎn)是一維向量、二維向量、三維向量的基本定理在轉(zhuǎn)化為直線坐標(biāo)系的時(shí)候，要遵循三角函數(shù)的基本定理，這不僅是對(duì)幾何進(jìn)行揭破的一種實(shí)質(zhì)現(xiàn)象，并且在一定程度上促進(jìn)了坐標(biāo)在三角函數(shù)中的應(yīng)用。其中，從余弦函數(shù)的內(nèi)涵中能夠?qū)⑾蛄康纳溆岸ɡ磉M(jìn)行推導(dǎo)。

另一方面，利用三角函數(shù)可以將距離、斜率以及比例進(jìn)行推導(dǎo)，能夠?qū)缀伟l(fā)明的本源進(jìn)行分析與探究。

此外，在從平面直角坐標(biāo)系的基本定理推導(dǎo)中，可以對(duì)空間直角坐標(biāo)系的基本定理有所認(rèn)識(shí)，并且能夠?qū)⒅T多幾何公式進(jìn)行解析與推導(dǎo)。在進(jìn)行解析的過(guò)程中，能夠?qū)⒆鴺?biāo)系的基本定理進(jìn)行分析與探究，并且能夠進(jìn)一步分析出三角函數(shù)中數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的重要地位。

三、三角函數(shù)與周期性的思考分析

所謂的正弦結(jié)構(gòu)是將轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)換積極轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)直線運(yùn)動(dòng)的一種機(jī)構(gòu)，也被人們稱為偏心驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。從功能角度分析，正弦機(jī)構(gòu)主要是一種傳遞動(dòng)力的模式，在積極完成運(yùn)動(dòng)形態(tài)轉(zhuǎn)化中，能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)直線運(yùn)動(dòng)。

如果缺乏三角函數(shù)對(duì)周期變化進(jìn)行描述，則無(wú)法建立起具備周期性的數(shù)學(xué)模式。從而得知，三角函數(shù)在現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位。

四、三角函數(shù)與極限變化的思考與分析

相對(duì)于三角函數(shù)sinx與x，如果x得到無(wú)限變小的時(shí)候，那么兩者的關(guān)系則比較近，并且在sinx≈x的猜想中，可以將其設(shè)定為limsinxx=1。其中，要想對(duì)這一公式進(jìn)行驗(yàn)證，可以采取兩面夾的方式，這不僅符合sinx的導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，并且是該項(xiàng)三角函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占有重要地位的主要依據(jù)。

通過(guò)對(duì)三角函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析，可以得知三角函數(shù)所涉及的內(nèi)容非常廣泛，其思維認(rèn)證的方法也比較豐富。我國(guó)數(shù)學(xué)研究已經(jīng)取得了非常多的成果，其中有關(guān)三角函數(shù)的理論成果數(shù)不勝數(shù)，筆者對(duì)前人的研究成果進(jìn)行了分析，以供參考。

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