在數形結合中感受數學的魅力

胡余芳

摘 要：數形結合是一種非常重要的數學思想，把數與形結合起來解決問題，可使復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。以人教版六年級上冊“數與形（例1）”一課為例，對如何使學生在數形結合下感受數學的魅力進行了實踐與探索，形成了一些收獲與體會。

關鍵詞：數形結合;建構模型;溝通聯(lián)系;拓展思維

數形結合的思想，在小學數學教學實踐應用中由來已久，它既是一種研究、探索數學的思想方法，又是幫助學生理解、解釋數學的教學方式和教學手段，可使復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。

人教版六年級上冊“數與形（例1）”的教學，是通過數形結合，讓學生從1開始的連續(xù)奇數之和與“正方形數”之間的關系。使學生自主探究發(fā)現隱藏在圖形中的數的規(guī)律，并會應用所發(fā)現的規(guī)律去解決一些有關數的問題，體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本的數學思想。如何上好這樣的課？如何使學生在數形結合中感受數學的魅力？筆者對此進行了實踐與探索，現將收獲和感悟分享如下。

一、以“形”代“數”，建構模型

分析教材，我們可以發(fā)現：教材先引導學生觀察正方形圖中的小正方形數的規(guī)律，再把正方形圖與下面的算式對照，尋找它們之間的關系，最后運用規(guī)律解決相應的問題。

教學時，不少老師擔心，無論是先呈現數列，還是先呈現圖形，學生都比較難于想到相對應的數與形，所以不敢放手讓學生自己去構造數列模型。但數與形相結合的例子在小學數學教材與教學中比比皆是，其中，有的圖形中隱含著數的規(guī)律，可利用數的規(guī)律來解決圖形的問題;有的利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數學原理與事實，讓人一目了然;還有的“數”與“形”密不可分，可以用“數”來解決“形”的問題，也可用“形”來解決“數”的問題。

所以，筆者覺得這樣的擔心是多余的，學生是有自己構造奇數列求和直觀模型的能力的。教師不作任何示范，學生能夠根據經驗擺出圖形，只是要擺成例題呈現的形狀，需要一定的引導和梳理。

【教學片段】直觀構造模型

1.引導：出示一個黑色正方形，一個正方形代表1

要求擺出“1+3”，讓人一目了然看明折。

2.反饋：有四種情況

優(yōu)化得到第二種方法，形成算式：1+3=2×2

3.建構：出示：1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9分別該怎么擺？同桌合作

4.反饋：

由于“引導”環(huán)節(jié)的設置，學生憑借已有經驗想到了不少擺法，其中就有我們需要的擺成一個更大正方形的情況。對這種情況進行詳細解說后，學生心中已經對它產生了深厚的興趣，而且對擺成正方形后可以用“平方”的方法來方便計算有了初步的體會。接著再通過“構建”的環(huán)節(jié)，讓學生選擇自己喜歡的方法去畫圖，計算1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9時，擺成正方形的優(yōu)越性就自然而然地體現出來了。就這樣，學生自主構造奇數列之和直觀模型的難點也隨之消失了。

二、以“形”釋“數”，溝通聯(lián)系

筆者以前一直認為“形”的直觀性，有助于學生觀察發(fā)現數的規(guī)律，規(guī)律的解釋則主要依靠“算理”與思維。但實踐卻告訴我們，看數的排列常常比看圖形的變化更加容易發(fā)現，而學生在做練習的時候也不是看圖形來找規(guī)律的。那么數與形結合的意義究竟是什么呢？筆者覺得就是一組有規(guī)律的數可以表現為形，而形的直觀性要起到解釋規(guī)律的作用，也就是當我們要求解釋“其中的道理”的時候，看數、看算式就無濟于事了。所以教學需要有溝通數形聯(lián)系的環(huán)節(jié)。

【教學片段】溝通數形聯(lián)系

1.觀察發(fā)現算式特點

得到：左邊有幾個連續(xù)奇數相加，右邊就是幾乘幾。

即：1=1×1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=321+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52

2.思辨獲得數形溝通

（1）討論：這些加數為什么都是連續(xù)奇數，會不會出現偶數？為什么加數都是從1開始的？

（2）結合課件演示形成知識：

加數是從1開始的連續(xù)奇數，不會出現偶數。（如圖1）

如果沒有從1開始，就會缺少一個角，就不能拼成一個更大的正方形了。（如圖2）

在以上的教學環(huán)節(jié)中，課件的動態(tài)演示起到了舉足輕重的作用：當想要繼續(xù)拼出一個較大的正方形，增加的小正方形要排成“■ ”形拼上去，所以加的數就必須是連續(xù)的奇數;當想要計算出小正方形的個數時，通過計算正方形面積的方法就能很快地獲得結果。原來，圖形的直觀性，在這里起著解釋的作用，這就是幾何直觀的解釋力。數形結合的意義在此得到了充分的發(fā)揮。

三、以“形”擴“數”，拓展思維

就教材例1的內容呈現，各算式的和為1、4、9、16…，這樣的平方數（也就是正方形數），其實這只是冰山的一角，早在2000多年前畢達哥拉斯的團隊就對它作過深入的研究，得到了一些有趣的結論，能對學生的思維起到延伸和拓展的作用。

【教學片段】回顧與拓展

1.回顧聯(lián)系：在以前的學習中經常使用“數形”結合，誰來舉個例子？

例如：線段圖幫助解決問題。學習分數乘法時，用數來表示幾分之幾乘幾分之幾的意思?！?/p>

2.拓展延伸：其實數形結合的魅力還遠不止這一些，就是同一個形我們從不同角度看也會產生不同的數，就拿這些正方形來說，如果我們的角度不同，創(chuàng)造出來的數也會不同。其實這些知識早在2000多年前以數學家畢達哥拉斯為代表的古希臘數學家就對它做過研究，得到了不少有趣的結論。

教學實踐證明，學生對這種變化非常感興趣，更為自己能發(fā)現其中的奧秘感到自豪，數形結合的魅力得到了進一步的展現。

數學家華羅庚曾說：“形使數更直觀，數使形更入微?！边@就是對數學教學中“數形結合”思想的高度概括?！皵敌谓Y合”無論是作用一個數學思想，還是一種教學手段，我們都是在從形對于數的直觀性、數對于形的深刻性這兩個方面，發(fā)揮著數形結合的作用。就讓我們在數形結合中去感受數學的魅力吧！

編輯 魯翠紅