“同心協(xié)力”策略研究

徐嘉怡，聶思宇，王 璐

(天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387)

“同心協(xié)力”(又名同心鼓)是一項團隊協(xié)作能力的拓展項目。要求在保證安全的情況下，盡可能創(chuàng)造更多的顛球記錄。該游戲需要隊員之間的密切配合，過程中每個人的用力方向、發(fā)力時機、力度等因素，均會影響游戲結(jié)果。要確定并討論鼓面傾斜度與每個人發(fā)力時間和力度大小的關(guān)系，保持鼓面水平，使球自動下落，自動彈起，完成比賽。為使得連續(xù)顛球的次數(shù)達到最多，主要研究以下兩個問題。

問題一：在理想狀態(tài)下，且每個人都可以精準控制用力方向，制定一個最佳的協(xié)作策略，并求出顛球的高度。

問題二：在現(xiàn)實情形下，鼓面會出現(xiàn)傾斜，出現(xiàn)傾斜角度這個量，需要建立模型描述隊員的發(fā)力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。已知隊員人數(shù)8人，繩長1.7 m,鼓面的初始時刻是水平靜止，初始位置較繩子水平下降11 m,設(shè)定不同的發(fā)力時機和力度，求偏差0.1 s的鼓面不同的傾斜角度。

1 問題分析

問題一的條件是在理想狀態(tài)下，忽略空氣阻力，由于球與鼓之間發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，所以沒有能量的損失，同心鼓是一個質(zhì)量均勻的鼓體，需要分別分析鼓、球的受力情況，球與鼓的碰撞時刻的受力分析，分別建立滿足各種狀態(tài)下的力學(xué)模型。分析球與鼓的運動狀態(tài)，建立坐標系?？梢愿鶕?jù)數(shù)據(jù)信息，利用牛頓第二定律、動能守恒、能量守恒、二階微分方程，求出該策略的顛球高度，制定團隊的最佳協(xié)作策略。

問題二相對于問題一復(fù)雜一點，因為在現(xiàn)實情況下涵蓋事件的不確定性，隊員的發(fā)力時機和力度都不能得到有效控制。從現(xiàn)實情況出發(fā)，在顛球過程中，鼓面由于受力不均會出現(xiàn)傾斜，需要建立較理想的模型，描述隊員的發(fā)力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。根據(jù)已知條件：鼓面的初始時刻是水平靜止，因為受力不均衡或者發(fā)力時機偏差0.1 s時,鼓面傾斜，我們利用動能定理、沖量、受力情況求解。

2 模型假設(shè)

A.同心鼓的人數(shù)有偶數(shù)個人，且不少于8人。B.忽略空氣阻力。C.每個人可以精確控制發(fā)力方向、力度與時機。D.球與鼓的碰撞為彈性碰撞。E.人圍著鼓均勻站立。

3 模型的建立與求解

同心鼓拓展項目問題需要討論每個人的發(fā)力時機及力度，使得游戲在團隊協(xié)作下能夠使連續(xù)顛球次數(shù)盡可能更多。根據(jù)題目所給信息和要求，建立以下數(shù)學(xué)模型和算法。

問題一：

假設(shè)人數(shù)為n，在理想狀態(tài)下，每個人繞著鼓均勻站立，每個人用力均為F，方向取向上為正，隊員將鼓從靜止的初始位置拉至水平，與球發(fā)生碰撞。鼓的重量為M，球的重量為m。

對鼓的運動過程進行分析：以繩水平的高度建立坐標系，可以得到鼓受力為Fx=Fcosθ1(水平方向所受力)Fy=Fsinθ1(豎直方向所受力)，設(shè)繩長為l，繩與水平方向的夾角θ1，則鼓的初始位置為(0,0,z0)，z0=-l·sinθ1，由分析得所有隊員水平拉力和為0，合力方向豎直向上。根據(jù)牛頓第二定律，z(t)滿足微分方程

mv1+Mv2=mv1′+Mv2′

解得：

若球從h落下，若想再一次彈到h高度，則v1′=-v1，v=v1，解得：

問題二：

同心鼓在受力過程中，由于每個人發(fā)力時機及發(fā)力大小的不同，會導(dǎo)致同心鼓轉(zhuǎn)動，這時鼓在做剛體轉(zhuǎn)動。

4 模型評價

問題一中為了方便計算，受力分析過程忽略空氣阻力，但由于排球的體積較大，空氣阻力影響也較大。

問題二中在計算鼓的傾斜角度時，將在鼓面所處同一直徑上的兩個人對的鼓抽象為一個木棍模型，實際中鼓是一個整體存在，不能將其分割進行單獨分析。且在受力分析中假設(shè)鼓的中心存在一個軸，進行上下旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生傾斜角，實際中鼓的兩端由于受力都會同時向上進行運動。