海峽兩岸教材中分?jǐn)?shù)內(nèi)容的對比與教學(xué)建議

李玲玲

摘要：在平時的教學(xué)中，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)這一內(nèi)容時，容易“掉到分?jǐn)?shù)里”。如何幫助學(xué)生走出困境？長期以來并沒有較好的解決策略。對比人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材和我國臺灣地區(qū)康軒版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中，通過實(shí)施理解學(xué)習(xí)困難而改組教材，通過豐富測量意義而深化概念理解，通過重視數(shù)線表征而豐富概念理解等教學(xué)策略，能夠較好地解決這個問題。

關(guān)鍵詞：海峽兩岸;教材;分?jǐn)?shù);改進(jìn)

三千多年前，古埃及為了在不能分得整數(shù)的情況下表示數(shù)，用特殊符號表示分子為1的數(shù)。分?jǐn)?shù)是度量和數(shù)學(xué)本身的需要——除法計(jì)算的需要而產(chǎn)生的，分?jǐn)?shù)內(nèi)容歷來就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)。德國諺語“掉到分?jǐn)?shù)里去了”就用來形容一個人陷入困境。在實(shí)際的教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)“掉到分?jǐn)?shù)里”的學(xué)生也為數(shù)不少。比如，我在教學(xué)教研過程中記錄下這樣三個教學(xué)事例。

事例1：有一位五年級的學(xué)生，在學(xué)完“分?jǐn)?shù)的意義”后，作業(yè)中有一道題目要求寫出分?jǐn)?shù)各部分名稱時，她抬頭詢問：“中間那條線叫什么？”

事例2：“把3米長的繩子平均分成7段，每段占這條繩子的[1/7]，每段長（）米?！痹谶@個空格中，不少學(xué)生直接填上了循環(huán)小數(shù)。

事例3：五年級下學(xué)期“假分?jǐn)?shù)”一課，在認(rèn)識了假分?jǐn)?shù)后，有學(xué)生舉手表示有問題：“老師，這個假分?jǐn)?shù)也太‘假了！”（其他學(xué)生笑了起來）教師讓學(xué)生說想法?！拔覀冎?，[2/5]是表示把一個物體平均分成5份，取其中的2份，那[6/5]就是表示把一個物體平均分成5份，取其中的6份，明明只有5份，怎么能取其中的6份呢？”這位學(xué)生的質(zhì)疑得到很多其他學(xué)生的支持。

這些問題在教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，長期以來沒有比較好的解決策略。近期，我閱讀了我國臺灣地區(qū)康軒版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，并與我們當(dāng)前使用的人教版教材中的分?jǐn)?shù)內(nèi)容編排進(jìn)行了對比分析研究，得到了一些教學(xué)建議。

一、對比教材編排，理解學(xué)習(xí)困難

通過閱讀這兩種版本的教材，我認(rèn)為，在“分?jǐn)?shù)”這部分內(nèi)容的編排中，兩種版本教材的呈現(xiàn)方式各有特點(diǎn)，同時也存在著較大的區(qū)別，我對兩種版本教材關(guān)于分?jǐn)?shù)內(nèi)容的編排進(jìn)行了梳理，如表1所示。

從表1中可以看出，兩個版本教材關(guān)于分?jǐn)?shù)編排有很大的區(qū)別，主要體現(xiàn)在兩個方面：一是例題與習(xí)題數(shù)量。在題目總數(shù)相差不大的情況下，人教版教材的例題數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于習(xí)題數(shù)量，康軒版教材的例題比習(xí)題數(shù)量略多。二是各年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容分布情況。兩種版本都是在三年級上冊開始接觸分?jǐn)?shù)，到六年級下冊結(jié)束小學(xué)部分的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)。但不同的是，人教版教材從三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一單元，到再次正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)內(nèi)容要到五年級下冊。康軒版教材則從三年級上冊開始，每一冊均有編排相關(guān)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，體現(xiàn)了小步子螺旋上升的特點(diǎn)。

因?yàn)閷W(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)中比較少接觸到分?jǐn)?shù)，對于他們來說屬于比較抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從三年級上學(xué)期到五年級下學(xué)期，中間隔了四個學(xué)期沒有正式學(xué)習(xí)與分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生普遍對分?jǐn)?shù)比較生疏。因此，上文事例1中出現(xiàn)的學(xué)生產(chǎn)生對分?jǐn)?shù)線不認(rèn)識的現(xiàn)象，屬于正常情況。教材編排是個系統(tǒng)工程，對于一線教師來說，教材是最重要的教學(xué)載體，大幅度改造教材不現(xiàn)實(shí)，但基于學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，筆者認(rèn)為，可以在原教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)母慕M，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

二、拓展測量意義，豐富概念理解

在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)有多種定義，如部分與整體關(guān)系、商定義、運(yùn)算定義、測量定義、比定義。這五種定義可以歸為兩類，也就是常說的“量”和“率”含義。分?jǐn)?shù)的“率”含義表示部分與整體的關(guān)系，是一個比率;分?jǐn)?shù)的“量”含義表示一個具體的量，和整數(shù)一樣是數(shù)量的抽象。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排中，“率”含義受到重視，而“量”含義顯然被忽視的。人教版與康軒版教材對“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的編排，都是以分餅為情境（如例題1）。

【例題1】把一個酥餅平分成2份，其中的1份是二分之一個酥餅。二分之一記成[1/2]。

人教版教材“每份是它的二分之一”表示的是部分與整體的關(guān)系，是“率”含義，相應(yīng)的練習(xí)都均已“率”含義出現(xiàn);而康軒版“其中的1份是二分之一個酥餅”表示的是具體的數(shù)量，并且在相應(yīng)配套的課后習(xí)題中（如例題2），不斷強(qiáng)化學(xué)生對“分?jǐn)?shù)是一個具體的量”的認(rèn)識。

【例題2】涂色的部分是多少？填填看。

著名特級教師俞正強(qiáng)曾在“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”一課中，只教學(xué)“量”的含義，他認(rèn)為，“解決之道是讓學(xué)生先深刻地經(jīng)歷關(guān)于量的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，記熟之后，再經(jīng)歷關(guān)于分率的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上比較兩個認(rèn)識的差別，以此解決量與分率的混淆問題”。而他建議“量”的含義學(xué)習(xí)完，一年后再學(xué)習(xí)“比率”含義，這樣，學(xué)生可以加深對“量”含義的認(rèn)識。可以說，俞老師的設(shè)計(jì)跟康軒版教材的編排有相通之處，給我們提供了改造教材的啟發(fā)。

無獨(dú)有偶，著名特級華應(yīng)龍?jiān)凇胺謹(jǐn)?shù)：先分后數(shù)”一文介紹了關(guān)于分?jǐn)?shù)的意義的教學(xué)片斷。華老師首先讓學(xué)生回顧要量教室、粉筆、米粒的長分別用什么做單位，然后指出：“單位不同，尺子就不一樣。創(chuàng)造一把尺子，其實(shí)就是創(chuàng)造了一個新的單位。所以大頭兒子在家中沒有找到尺子，用領(lǐng)帶創(chuàng)造了一個單位。請回頭看，剛才我們說沙發(fā)是[7/8]個領(lǐng)帶長，[7/8]里有7個[1/8]。”從這里我們可以看出，華老師也是從“量”的含義引出分?jǐn)?shù)的意義。把分?jǐn)?shù)看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”不僅延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識，又為進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。前文提到的事例2學(xué)生不認(rèn)為分?jǐn)?shù)可用來表示具體的量，事例3中的學(xué)生認(rèn)為“假分?jǐn)?shù)很‘假”的問題，與教師在教學(xué)單方面強(qiáng)調(diào)“率”的含義是有相關(guān)性的。如何處理“量”與“比率”含義的理解呢？兩位名師的做法給了我們很大的啟示。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級下冊“認(rèn)識小數(shù)”里的表述“1分米是[1/10]米，還可以寫成0.1米?！保ㄈ缋}3）這里借助分?jǐn)?shù)引出小數(shù)。但借助的分?jǐn)?shù)是“量”含義的表示，而在此之前，教材沒有出現(xiàn)過正式的用“量”表示的分?jǐn)?shù)，造成的結(jié)果是學(xué)生能理解“1分米是0.1米”，而不能理解“1分米是[1/10]米”，從分?jǐn)?shù)引出小數(shù)的編排意圖成了一種擺設(shè)。因此，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”后補(bǔ)充分?jǐn)?shù)“量”含義的相關(guān)教學(xué)，既是豐富對分?jǐn)?shù)概念的理解，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

【例題3】把1米平均分成10份，每份是1分米。

作為一名普通的一線教師，完全推翻教材另組教材不現(xiàn)實(shí)也沒必要，但可以適當(dāng)進(jìn)行拓展，比如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課教學(xué)中，引出“每份是它的二分之一”后，可以再加“也可以說是‘二分之一塊月餅”，在相應(yīng)的鞏固練習(xí)中，也借鑒康軒版做法增加一些用“量”含義寫分?jǐn)?shù)的練習(xí)。

本單元的練習(xí)題（三年級下冊教材第95頁）有一道出現(xiàn)一家三口分月餅的情境，我認(rèn)為可以直接改變題目，在分?jǐn)?shù)后面加上“塊”，引導(dǎo)學(xué)生直接表述為“爸爸吃了[3/8]塊，媽媽吃了[2/8]塊，我吃了[1/8]塊，還剩下[2/8]塊?！边@樣的表述，既跟生活語言比較接近，又讓學(xué)生加強(qiáng)對分?jǐn)?shù)“量”含義的理解，從而豐富對分?jǐn)?shù)的全面認(rèn)識。

三、重視數(shù)線表征，培養(yǎng)幾何直觀

“把3米長的繩子平均分成7段，每段占這條繩子的[1/7]，每段長（）米?！边@是一道小學(xué)數(shù)學(xué)試卷經(jīng)常出現(xiàn)的題目，不少學(xué)生直接填上循環(huán)小數(shù)。之所以產(chǎn)生這樣的現(xiàn)象，是因?yàn)樵趯W(xué)生的心目中并不承認(rèn)分?jǐn)?shù)是個“數(shù)”，不能接受分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣可以表示“結(jié)果”，總感覺填分?jǐn)?shù)心里“不踏實(shí)”。出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因多方面，一個很重要的原因是分?jǐn)?shù)跟學(xué)生熟悉的整數(shù)、小數(shù)的“十進(jìn)制位值制”差異性比較大。另一個重要因素，是因?yàn)榻處熃虒W(xué)時，“分?jǐn)?shù)”更多是以“率”的含義出現(xiàn)，是用來刻畫“部分與整體”或者是“部分與部分”的“倍比”關(guān)系。因此，在教學(xué)分?jǐn)?shù)時，讓學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)是“數(shù)”大家庭里的一員，顯得非常必要，而借助數(shù)線進(jìn)行教學(xué)是個好素材。學(xué)生會在進(jìn)入中學(xué)正式學(xué)習(xí)“數(shù)軸”，因此小學(xué)可以暫用“數(shù)線”作為名稱?？弟幇嫘W(xué)數(shù)學(xué)教材在四年級下冊專門安排了“分?jǐn)?shù)數(shù)線”的教學(xué)內(nèi)容。（如例題4）

【例題4】分?jǐn)?shù)數(shù)線。

（1）上圖是1公升的量杯。用分?jǐn)?shù)說說看，由下往上數(shù)，第1刻度表示多少公升？第2個刻度呢？……

（2）這是一條整數(shù)數(shù)線。

（3）把每一段都分成3等分，每一個刻度各表示什么數(shù)？用分?jǐn)?shù)記記看

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從一年級開始，在認(rèn)識整數(shù)時就出現(xiàn)了讓學(xué)生在數(shù)線寫數(shù)，在三年級下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”單元練習(xí)題中，也出現(xiàn)了在數(shù)線上填小數(shù)的題目，但在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識單元中卻沒有出現(xiàn)。原因主要是因?yàn)樵诖藛卧蟹謹(jǐn)?shù)是主要以“率”的含義出現(xiàn)的，不便于在數(shù)線上呈現(xiàn)。因此，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識時，除了拓展分?jǐn)?shù)的“量”含義，還可以借助數(shù)線進(jìn)行表征。我校一位教師在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課時就引入了數(shù)線，以下是教學(xué)片斷。

【片斷一】情境引入

師：想一想，1個月餅用什么數(shù)表示？2個月餅用什么數(shù)表示？3個月餅?zāi)兀繘]有月餅用什么數(shù)表示？（學(xué)生逐一回答1、2、3、0）

師：我現(xiàn)在要將這些數(shù)請到這條線上來。0應(yīng)該安頓在這條線的什么地方？

生：放在1的前面。

師：孩子們，像0、1、2、3……這些數(shù)都是同學(xué)們學(xué)過的數(shù)。

師：我這兒有半個月餅，我該把它放在哪兒呢？

生：放在0和1之間。

（師放于數(shù)線上，如下圖）

師：想一想，“一半”可以用一個什么樣的數(shù)來表示呢？

生：二分之一。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的新數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)，讓我們一起來認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

【片斷二】拓展提升

師：結(jié)合以上三個圖形，你能試著比較[1/2]、[1/4]、[1/8]的大小嗎？

生：[1/2]>[1/4]>[1/8]。

師：試著說說你的理由。

生：比較圖上的陰影部分的大小可以發(fā)現(xiàn)。

師：試著在線上找到他們的位置。誰上來寫一寫。

生：我是這樣寫的。

師：試著說說比[1/8]還小的分?jǐn)?shù)有哪些？

生：[1/100]，[1/1000]。

師：你為什么盡量把分母說大？

生：因?yàn)榉帜冈酱螅@個分?jǐn)?shù)就越小。

師：是的，分?jǐn)?shù)比較大小，分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)就越小。

師：你能試著比一比[1/100]在這條線上的位置嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)就越小，在這條線上就越靠近0。

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)的概念的一次擴(kuò)展，這個學(xué)習(xí)過程對于學(xué)生來說并不輕松。從學(xué)生的思維特點(diǎn)來看，他們對分?jǐn)?shù)概念的理解，幾何直觀發(fā)揮了重要的作用。在以上兩個片斷中，這位教師將整數(shù)和分?jǐn)?shù)分布在數(shù)線上，并引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上進(jìn)行分?jǐn)?shù)大小比較，不僅豐富了對分?jǐn)?shù)概念的理解，也在數(shù)形結(jié)合的過程中培養(yǎng)了幾何直觀能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張文宇，張守波.海峽兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)教材分?jǐn)?shù)內(nèi)容例題的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（3）.

[2]華應(yīng)龍.分?jǐn)?shù)：先分后數(shù)——“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)新路徑[J].人民教育，2011（6）.

[3]劉加霞.通過“分”與“數(shù)（shǔ）”，分?jǐn)?shù)是個“數(shù)（shù）”？——兼評華應(yīng)龍老師執(zhí)教的“分?jǐn)?shù)意義”[J].人民教育，2011（6）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）