波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的自振特性分析?

冀 偉， 羅 奎， 閆林君

（蘭州交通大學土木工程學院 蘭州，730070）

1 問題的引出

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋是由混凝土頂板、波形鋼腹板以及鋼底板組成的新型組合結構，是對傳統(tǒng)的波形鋼腹板組合梁進行的改進。圖1 為波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋截面圖。該橋型具有以下4 個優(yōu)點：①外形美觀、造型新穎、梁體制作方便、便于汽車運輸和安裝；②橋梁結構自重輕，跨越能力大，有效解決了傳統(tǒng)混凝土腹板和底板易開裂的問題［1］；③降低截面的附加應力，提高了預應力導入度，使橋面板拉應力滿足預應力A 類構件的要求，達到材料的優(yōu)質組合；④利用壓型鋼板和預制板實現(xiàn)無模板施工，具有良好的發(fā)展前景。

圖1 波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋截面圖Fig.1 Section diagram of steel box-concrete compositegirder with corrugated steel web

目前，眾多學者已對波形鋼腹板組合梁橋的屈曲性能、扭轉性能、疲勞性能、抗彎性能以及長期效應等開展了大量的研究工作。John 等［2］推導了梯形波形鋼腹板梁抗剪承載的計算公式，給出了波形鋼腹板局部剪切屈曲系數。Shen 等［3］采用試驗并結合有限元仿真模擬對單箱多室波形鋼腹板組合箱梁橋的扭轉性能進行了研究。Yuan 等［4］通過試驗手段對波形鋼腹板組合梁疲勞性能進行了研究，試驗結果表明，最終的破壞模式為混凝土底板的剪切破壞以及波形鋼腹板和混凝土底板連接處的層間滑移破壞。K?esdi 等［5］研究了彎曲變形和剪切變形的相互作用對波形鋼腹板組合梁的力學性能的影響。Chen 等［6］研究了預應力對波形鋼腹板組合梁橋力學性能的影響。羅奎等［7-9］考慮剪力滯和剪切變形效應的影響，對簡支和連續(xù)波形鋼腹板組合箱梁自振頻率和撓度進行了研究。劉保東等［10］對波形鋼腹板連續(xù)箱梁的彎剪受力性能和破壞機理進行了試驗研究。李立峰等［11］推導了變截面波形鋼腹板組合箱梁在偏心荷載作用下的畸變正應力的理論計算公式。周聰等［12］采用理論分析結合試驗，對波形鋼腹板組合箱梁橋的扭轉性能進行了全過程分析。桂水榮等［13］研究了箱梁截面形式、橫隔板的布置方式以及支座的橫向約束方式對大跨波形鋼腹板組合梁橋自振特性的影響。鄭尚敏等［14］對單箱多室波形鋼腹板組合箱梁的扭轉性能進行了研究。冀偉等［15］在綜合考慮波形鋼腹板的剪切變形和箱梁的剪力滯的基礎上，運用能量變分原理和Hamilton 原理，推導出波形鋼腹板簡支箱梁橋的自振頻率計算公式，結合三彎矩方程推導出波形鋼腹板連續(xù)箱梁橋的自振頻率計算公式［16-17］。文獻［15-17］的解析式只適用于特定的荷載和邊界條件，需要建立ANSYS 空間有限元實體模型進行比較。因此，尋求一種波形鋼腹板組合箱梁自振頻率計算的簡化分析方法具有重要的研究意義。

筆者在文獻［15-17］的基礎上，運用勢能駐值原理，推導出波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的單元剛度矩陣和單元質量矩陣。采用Matlab 有限元軟件編寫了計算波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋自振頻率和振型的求解程序，為實際工程中波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋自振特性的計算提供了一種簡化的計算方法。

2 單元剛度矩陣和單元質量矩陣建立

2.1 基本假定

建立單元剛度矩陣和單元質量矩陣的基本假定如下：

1）只考慮波形鋼腹板的剪切應變能，將其彎曲應變能忽略不計；

2）忽略混凝土頂板和鋼底板平面外的切應變γxz和γyz以及正應變εy，僅考慮混凝土頂板和鋼底板平面內的切應變γxy和εx；

3）不考慮波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的混凝土頂板和波形鋼腹板交界處的滑移效應；

4）將鋼筋的影響忽略不計。

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的橫截面構造形式如圖2 所示。分析其自由振動時，根據文獻［18］，該橋型的位移模式可用梁的豎向撓曲位移w和橋梁的縱向位移u進行描述，如式（1）和式（2）所示。

其中：b和ξb分別為波形腹板鋼箱-混凝土組合梁混凝土頂板箱中部分長度的一半和懸臂板的長度；hi為箱梁整體截面的形心到頂底板形心的距離；α(x，t)和φ(x，t)為波形腹板鋼箱-混凝土組合梁在發(fā)生自由振動時，彎曲變形引起的轉角函數和剪切轉角的最大差值函數。

圖2 橫截面構造形式Fig.2 Structural form of the cross section of the boxgirder

根據文獻［18］，g(y)的計算式為

2.2 總勢能的建立

根據基本假設，得到波形腹板鋼箱-混凝土組合梁各部分的應變能如式（4）～（7）所示。

其中：α'(x，t)和φ'(x，t)分別為α(x，t)和φ(x，t)關于x的一階導數。

波形鋼腹板產生的剪切變形為

其中：w(x，t)為波形腹板鋼箱-混凝土組合梁發(fā)生自由振動時，橫截面的角位移函數；γω(x，t)為波形鋼腹板的剪切變形。

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的混凝土頂板、波形鋼腹板以及鋼底板的應變能分別為

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的外力勢能為

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的總勢能Π為

結合式（12）～（14），得到波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的總勢能為

其 中：κ0=EcIc+EsIs；χ0=GcIc+GsIs；χ1=GωAω；Ic，Is分別為箱梁的混凝土頂板和鋼底板對箱梁整體截面形心軸的慣性矩；Aω為鋼腹板的橫截面面積。

2.3 單元剛度矩陣的建立

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的梁單元結點位移模式如圖3所示。

圖3 有限元節(jié)點位移模式Fig.3 Node displacement mode of finite element

經計算得到滿足工程精度的形函數N（x），根據形函數進行插值，有限元分析的結點位移模式如式（16）～（18）所示。

梁單元的平衡方程為

其中：

[F100]T；Ke，δe和Fe分別為波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的單元剛度矩陣、單元位移矢量以及單元荷載列陣。

形函數取為線性函數，即

將梁單元的結點位移代入總勢能，得到波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的總勢能

波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的總勢能Π 取駐值的充分必要條件為

對式（22）的計算結果進行整理，寫成矩陣的形式為

根據式（23），得到波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的單元剛度矩陣Ke為

將波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋單元剛度矩陣Ke分解為2 部分：彎曲項和波形鋼腹板的剪切變形與箱梁剪力滯效應引起的耦合項

2.4 單元質量矩陣的建立

根據文獻［19］，采用有限元分析波形腹板鋼箱-混凝土組合梁時，單元質量矩陣為

其中：M為梁單元的單元質量矩陣；ρ為梁單元的質量密度；A為梁單元的截面面積；l為梁單元的長度。

根據筆者所推導的單元剛度矩陣和單元質量矩陣，采用Matlab 軟件編制了計算波形腹板鋼箱-混凝土組合梁振動特性的SFBOX 程序。限于篇幅，編程步驟不具體進行列舉。

3 模型試驗和有限元模型對比分析

3.1 波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的動力試驗

選取我國正在建設的第1 座波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋（即景中高速機場連接線主匝道高架橋）進行振動模態(tài)的實測，該橋的簡支梁計算跨徑為29.22 m，橋梁布置形式為單箱四室截面，景中高速機場連接線主匝道高架橋的單箱截面構造如圖4所示。

圖4 單箱截面構造圖（單位:mm）Fig.4 Cross-section structure diagram of a single box（unit：mm）

景中高速機場連接線主匝道高架橋的材料屬性如表1 所示。波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的混凝土頂板的厚度為250 mm，波形鋼腹板采用1200 型，波形鋼腹板和鋼底板的厚度分別為10 mm 和16 mm。箱中共設置6 道橫隔板，鋼底板上設置兩道高度為180 mm 的縱向加勁肋。

表1 高架橋材料屬性Tab.1 Material properties of viaduct birdge

采用東方所的INV3060S 型24位動態(tài)信號采集儀對波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的振動頻率和振型進行實測，數據采集如圖5 所示。箱梁頂板上采集器的平面布置圖如6 所示。采樣頻率為256 Hz，通過試驗測得橋梁結構的功率譜圖如圖7 所示，隨后根據實測信號識別出各階振動頻率和振型。

3.2 ANSYS 模型的建立

采用ANSYS 18.0 三維有限元軟件建立了景中高速機場連接線主匝道高架橋的空間有限元模型。由于波形鋼腹板、鋼橫隔板和鋼底板的厚度很薄，采用殼單元Shell 63 進行建模，混凝土頂板采用實體單元Solid 45 進行建模。鋼底板和波形鋼腹板的連接處采用共節(jié)點的形式，混凝土頂板和波形鋼腹板的連接處采用剛性連接。ANSYS 三維有限元模型的邊界條件按簡支梁設置，建立的景中高速機場連接線的主匝道高架橋空間有限元模型如圖8 所示。

圖5 數據的采集Fig.5 Data collection

圖6 箱梁頂板上采集器的平面布置圖（單位:cm）Fig.6 Plan view of the collector on the top of the box girder（unit：cm）

圖7 實測頻率功率譜Fig.7 Measured frequency power spectrum

3.3 有限元模型分析結果和實測結果對比

利用筆者編寫的SFBOX 程序計算波形腹板鋼箱-混凝土組合梁的振動頻率和模態(tài)時，將簡支梁沿跨徑方向劃分為50 個等長的梁單元，共51 個結點。1 號 結 點 為 固 定 鉸 支 座，將 其位 移Ux，Uy和Uz全 部進行約束，51 號結點為活動鉸支座，將位移Uy，Uz進行約束。表2 為將SFBOX 程序計算的振動頻率與景中高速機場連接線主匝道高架橋的實測結果以及ANSYS 空間有限元結果進行比較。其中：η為ANSYS 有限元值與SFBOX 計算值之差與SFBOX 計算值的比值；ξ為實測值與SFBOX 計算值之差與SFBOX 計算值的比值。

圖8 主匝道高架橋空間有限元模型Fig.83D finite element model of main ramp viaduct birdge

表2 不同方法下的振動頻率比較Tab. 2 Comparison of vibrating frequencies of different methods Hz

從表1 可以看出：采用筆者編寫的SFBOX 程序計算得到的波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的振動頻率與ANSYS 空間有限元結果和實測結果的誤差在5%以內，滿足工程精度要求。這說明所提出的方法計算正確，結果可靠，具有較高的計算精度，使分析不同邊界和荷載條件下的該橋型剪切剪滯問題變得簡單易行，只需將復雜橋梁結構進行單元劃分，輸入截面參數，運行SFBOX 程序，即可得到結構的振動頻率和振型，計算過程大大簡化，避免了建立ANSYS 空間有限元模型的復雜性?？梢?，該方法具有廣泛的工程實用性。

4 收斂速度分析

為了進一步研究筆者提出方法的收斂速度，將該波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋分別劃分為10，20，30，40 和50 個等長度的梁單元，采用筆者編寫的SFBOX 程序對波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的振動頻率進行了分析，不同單元數下的前6 階振動頻率如3 所示。

表3 不同單元數下的前6 階振動頻率Tab.3 Comparisons of vibrating frequencies of different number of element Hz

從表3 可以看出，筆者提出方法的收斂速度很快，說明編寫的SFBOX 程序具有較高的計算精度，只需要較少的單元數，即可得到滿意結果。

如表4 所示，為了進一步研究提出方法的計算效率，將所編寫的SFBOX 程序與ANSYS 空間有限元模型求解景中高速機場連接線主匝道高架橋的振動頻率所需的求解時間進行比較。其中，?為SFBOX 程序結果與ANSYS 有限元結果的比值。

表4 不同方法計算振動頻率所需時間的比較Tab. 4 Comparisons of the time required for calculating the vibrating frequencies by different methods

從表4 可以看出，筆者所提方法的計算速度很快，采用筆者所編寫的SFBOX 程序求解景中高速機場連接線主匝道高架橋的振動頻率所需的計算時間僅為用ANSYS 空間有限元模型求解用時的1.04%，大大縮短了計算時間，提高了計算效率。

5 結 論

1）采用筆者編寫的SFBOX 程序計算得到的波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的振動頻率與ANSYS空間有限元結果和實測結果的誤差在5%以內，驗證了筆者所編寫的波形腹板鋼箱-混凝土組合梁振動頻率求解程序的可靠性。

2）通過對波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋振動頻率的分析，驗證了SFBOX 程序具有較高的計算精度。在分析波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的動力特性時，只需要較少的單元數量，即可達到較高的計算精度。

3）SFBOX 程序的計算速度很快，故采用SFBOX 程序求解波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋的振動頻率，計算簡便，大大縮短了振動特性求解的計算時間，提高了計算效率。

4）研究成果適用于不同邊界條件和荷載條件下箱梁的剪切剪滯問題，只需將復雜結構進行單元劃分，輸入截面參數，運行SFBOX 程序，即可得到結構的動力特性，使得計算大大簡化，避免了ANSYS 有限元模型建立和求解的復雜性，該方法具有廣泛的工程實用性。