LDPC編碼MC-LDS系統(tǒng)聯(lián)合因子圖的改進(jìn)PEG設(shè)計(jì)*

劉 田，張 毅，余 湋，夏 斌，王 瀚，高 航

(1.中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036;2.上海交通大學(xué) 電子工程系 上海 200240)

0 引 言

天基物聯(lián)網(wǎng)利用天基信息傳感設(shè)備，把世界上地面網(wǎng)絡(luò)不能連接的物品與國際物聯(lián)網(wǎng)/專用網(wǎng)絡(luò)連接起來，實(shí)現(xiàn)對(duì)物品的智能化識(shí)別、定位、跟蹤監(jiān)控和管理，實(shí)現(xiàn)物與物、人與物、人與人之間“無處不在，無時(shí)不通”的通信。

在天基物聯(lián)網(wǎng)覆蓋的小區(qū)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地面小區(qū)的前提下，一方面會(huì)面臨更嚴(yán)峻的時(shí)頻資源受限，同時(shí)接入用戶受限的問題格外嚴(yán)重。因此，相較于正交接入方案，非正交多址技術(shù)由于可以在相同的資源上接入更多的用戶，近年來受到了廣泛關(guān)注[1-2]。作為基于碼域復(fù)用的非正交多址接入(Non-orthogonal Multiple Access，NOMA)技術(shù)，多載波低密度序列(Multi-carrier Low-density Signature,MC-LDS)技術(shù)在解決海量連接的問題方面提供了思路。在MC-LDS系統(tǒng)中，利用發(fā)射機(jī)處精心設(shè)計(jì)的低密度序列(Low Density Signature,LDS)矩陣，已編碼的比特信息在多個(gè)子載波資源上進(jìn)行擴(kuò)頻[2]。在接收機(jī)處，稀疏因子圖上的消息傳遞算法(Message Passing Algorithm，MPA)或置信度傳播(Belief Propagation,BP)算法以迭代的方式為MC-LDS 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)近乎最佳的多用戶檢測(cè)(Multiuser detection，MUD)[2]。

得益于發(fā)送端的資源復(fù)用和接收機(jī)的非線性檢測(cè)算法，MC-LDS 系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)更高的吞吐量和更多的連接數(shù)量。但是，在實(shí)際系統(tǒng)中，多用戶共用資源引入的多用戶干擾是一個(gè)嚴(yán)重的問題，對(duì)傳輸可靠性造成了極大的影響。在通信系統(tǒng)中，信道編碼作為一種抵抗信道干擾噪聲的技術(shù)。因此，將MUD 和前向糾錯(cuò)(Forward Error Correction，F(xiàn)EC)碼結(jié)合起來設(shè)計(jì)是解決多用戶干擾問題的一種可行途徑。

低密度奇偶校驗(yàn)碼(Low Density Parity Check Codes，LDPC)是一類稀疏的FEC，其性能接近香農(nóng)容量[3]。LDPC碼的解碼利用基于稀疏校驗(yàn)矩陣的BP算法來實(shí)現(xiàn)，該矩陣可以用一個(gè)稀疏因子圖等效表示[3]。與傳統(tǒng)的串行接收機(jī)先進(jìn)行MUD再進(jìn)行LDPC譯碼不同，聯(lián)合檢測(cè)譯碼接收機(jī)基于聯(lián)合稀疏因子圖上的MPA[4]，該聯(lián)合稀疏因子圖可以將MC-LDS技術(shù)的因子圖和LDPC碼的稀疏因子圖結(jié)合在一起。聯(lián)合檢測(cè)譯碼接收機(jī)在每次迭代中完全交互MC-LDS與LDPC的檢測(cè)軟信息和解碼信息，顯示出比分別單獨(dú)譯碼的方案具有更好的性能。

然而，在目前關(guān)于LDPC 碼和MC-LDS矩陣構(gòu)造問題的相關(guān)研究中，MC-LDS和LDPC 的構(gòu)造通常分開進(jìn)行研究，得到的結(jié)果在聯(lián)合編碼調(diào)制系統(tǒng)中往往不是最優(yōu)的[5-7]。在這些方法中，代表因子圖中短環(huán)長(zhǎng)度的圍長(zhǎng)是特別重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，因?yàn)楫?dāng)周長(zhǎng)較小時(shí)，系統(tǒng)的誤碼性能會(huì)變差。但是，MC-LDS 技術(shù)與LDPC 碼的聯(lián)合稀疏因子圖不僅具有MC-LDS 部分和LDPC 部分的各個(gè)環(huán)，而且在兩個(gè)部分之間有交叉的環(huán)，這使得較短的環(huán)在MC-LDS與LDPC 碼的聯(lián)合稀疏因子圖更容易出現(xiàn)。因此，如何在MC-LDS 技術(shù)與LDPC碼的聯(lián)合稀疏因子圖中找出所有可能的短環(huán)情況并優(yōu)化得到?jīng)]有較小短環(huán)的稀疏因子圖的問題也需要解決。

因此，本文基于聯(lián)合稀疏因子圖的度分布，提出了一種改進(jìn)的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法來構(gòu)造特定的聯(lián)合稀疏因子圖。與單獨(dú)構(gòu)造MC-LDS或LDPC 的稀疏因子圖不同，聯(lián)合稀疏因子圖中有三種不同的節(jié)點(diǎn)可以完成軟信息的交互，導(dǎo)致在聯(lián)合稀疏因子圖中有三種可能的短環(huán)情況。因此，在改進(jìn)的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法中，通過聯(lián)合構(gòu)造MC-LDS和LDPC 共同組成的聯(lián)合稀疏因子圖，最終獲得性能良好的沒有短環(huán)的聯(lián)合稀疏因子圖。

1 LDPC編碼MC-LDS調(diào)制系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)模型

如圖1所示，考慮一個(gè)有K個(gè)用戶和N個(gè)資源的上行多用戶通信系統(tǒng)。此時(shí)，系統(tǒng)的過載率為β=K/N。假設(shè)每個(gè)用戶都只有一個(gè)發(fā)射天線，同時(shí)接收端也只配置一根接收天線。

圖1 上行LDPC編碼MC-LDS調(diào)制系統(tǒng)

(1)

式中：將rk,n=Aksk,n定義為第k個(gè)用戶的第m個(gè)符號(hào)在第n個(gè)資源上的擴(kuò)頻增益，同時(shí)wm,n～CN(0,N0)表示加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise,AWGN)。

1.2 聯(lián)合稀疏因子圖表示

基于MPA 方案，MC-LDS的檢測(cè)和LDPC 的譯碼可以用如圖2所示的聯(lián)合稀疏因子圖表示。

圖2 LDPC與MC-LDS的聯(lián)合稀疏因子圖表示

圖2中有三種節(jié)點(diǎn)，即功能節(jié)點(diǎn)(Function Nodes，F(xiàn)Ns)、聯(lián)合變量節(jié)點(diǎn)(Joint Variable Nodes，JVNs)與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)(Parity-check Nodes，PNs)。其中，JVNs在LDPC碼因子圖中變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)為每一個(gè)比特，而在MC-LDS因子圖中變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)為每一個(gè)用戶。具體地，對(duì)于LDS而言，高階調(diào)制后通過低密度擴(kuò)頻序列來映射資源塊，低密度擴(kuò)頻序列組成的MC-LDS因子圖和LDPC的因子圖共同組成聯(lián)合因子圖，因子圖中的變量節(jié)點(diǎn)就是JVNs。 FNs 和PNs 分別表示MC-LDS矩陣S和LDPC校驗(yàn)矩陣Hk的行，而JVNs 表示這些矩陣的列。這些節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系通過S和Hk中的非零值來確定，而且將S中的非零值用1代替就可以獲得MC-LDS矩陣的指示矩陣F，利用指示矩陣可以更加直觀表明系統(tǒng)的資源占用情況。圖2對(duì)應(yīng)的指示矩陣表示為

(2)

在稀疏因子圖中，連接到節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)稱為節(jié)點(diǎn)的度。不規(guī)則LDPC 碼的度分布由一對(duì)生成函數(shù)表示[8]:

(3)

式中：λi表示度為i的LDPC 碼變量節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)在LDPC因子圖中的總邊數(shù)中占的比例,dv,LDPC表示LDPC碼變量節(jié)點(diǎn)的度的最大值，ρi表示度為i的LDPC碼校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)在LDPC 碼因子圖中的總邊數(shù)之中占的比例，同時(shí)dp表示LDPC 碼校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度的最大值。

類似地，對(duì)于MC-LDS矩陣S，它的度分布的定義可以參考文獻(xiàn)[9]中的方法。令γ(x)和ω(x)分別表示MC-LDS矩陣對(duì)應(yīng)的因子圖中的功能節(jié)點(diǎn)和變量節(jié)點(diǎn)的度分布的生成函數(shù)，可以表示為

(4)

式中：γi表示度為i的MC-LDS矩陣變量節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)在MC-LDS的因子圖中的總邊數(shù)中占的比例,df表示MC-LDS矩陣變量節(jié)點(diǎn)的度的最大值，ωi表示度為i的MC-LDS矩陣功能節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)在MC-LDS的因子圖中的總邊數(shù)之中占的比例，同時(shí)dv,LDS表示MC-LDS矩陣功能節(jié)點(diǎn)的度的最大值。

2 聯(lián)合稀疏因子圖的構(gòu)造

當(dāng)給定度分布后，具體的聯(lián)合稀疏因子圖可以利用改進(jìn)的漸進(jìn)邊增長(zhǎng)方法進(jìn)行構(gòu)造。原始的漸進(jìn)邊增長(zhǎng)方法被用來構(gòu)造LDPC碼的稀疏因子圖[6]。此構(gòu)造方法在變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間連續(xù)建立起連接，使得每次連接后的圖的圍長(zhǎng)最大。每次邊的生成都會(huì)通過多次搜索，最終構(gòu)造的因子圖滿足圍長(zhǎng)最大的要求。但是，用這種方法構(gòu)造的因子圖只能保證變量節(jié)點(diǎn)的度分布和設(shè)定的一致，而校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布是隨機(jī)生成的。為了解決這個(gè)問題，在文獻(xiàn)[10]的啟發(fā)下，我們改進(jìn)了漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法來保證節(jié)點(diǎn)(所有的節(jié)點(diǎn))的度分布嚴(yán)格集中在所需值，并使得該方法適合于聯(lián)合稀疏因子圖的構(gòu)建。具體地，改進(jìn)的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法利用節(jié)點(diǎn)的自由度而不是節(jié)點(diǎn)度來選擇用于增加邊的節(jié)點(diǎn)。該改進(jìn)的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法可用于構(gòu)建MC-LDS矩陣和LDPC 矩陣共同組成的聯(lián)合稀疏因子圖。以構(gòu)造聯(lián)合稀疏因子圖中的MC-LDS部分為例，圖中FNfni的自由度dfree(fni)定義為

dfree(fni)=dmax(fni)-d(fni),i=1,2,…,N。

(5)

對(duì)于具體的聯(lián)合稀疏因子圖，圖的圍長(zhǎng)是另一個(gè)非常重要的參數(shù)，這在設(shè)計(jì)實(shí)際可用的因子圖時(shí)需要著重考慮。在我們構(gòu)造的聯(lián)合稀疏因子圖中，小圍長(zhǎng)被認(rèn)為是因子圖中g(shù)irth=4的短環(huán)。這些較小的圍長(zhǎng)降低了節(jié)點(diǎn)之間傳遞的軟信息的獨(dú)立性，并降低了系統(tǒng)的檢測(cè)譯碼性能。Gallager[11]的分析表明，在采用基于稀疏因子圖的消息傳遞譯碼算法時(shí)，具有較大圍長(zhǎng)的LDPC編碼系統(tǒng)的性能更加出色。而在LDPC編碼的LDS系統(tǒng)中，可以采用基于聯(lián)合LDPC與LDS因子圖的消息傳遞算法。因此，在聯(lián)合檢測(cè)譯碼結(jié)構(gòu)中，為了獲得大圍長(zhǎng)的聯(lián)合稀疏因子圖，應(yīng)將設(shè)計(jì)MC-LDS的矩陣和LDPC 矩陣聯(lián)合起來構(gòu)造，使得最終的聯(lián)合稀疏因子圖中沒有小圍長(zhǎng)的短環(huán)。對(duì)于聯(lián)合稀疏因子圖，如果沒有經(jīng)過仔細(xì)構(gòu)造，小圍長(zhǎng)在聯(lián)合稀疏因子圖中有三種可能的存在狀況，如圖3所示。

圖3 聯(lián)合稀疏因子圖中g(shù)irth=4的短環(huán)

情況A：短環(huán)僅出現(xiàn)在LDPC部分中，在LDPC 矩陣的構(gòu)造中可以避免。

情況B：短環(huán)僅出現(xiàn)在MC-LDS部分，在構(gòu)建MC-LDS矩陣時(shí)也可以避免。

情況C：短環(huán)包含LDPC部分和MC-LDS部分，需要聯(lián)合考慮LDPC 矩陣和MC-LDS矩陣的構(gòu)造才能消除。

對(duì)于上述三種情況，在單獨(dú)考慮LDPC或MC-LDS因子圖的構(gòu)造時(shí)，非規(guī)則的LDPC碼度分布優(yōu)化會(huì)避免情況B短環(huán)的出現(xiàn)，MC-LDS的因子圖在設(shè)計(jì)時(shí)同樣也會(huì)考慮避免情況A短環(huán)的出現(xiàn)。因此，構(gòu)建聯(lián)合稀疏因子圖的思路就是在此基礎(chǔ)上避免情況C短環(huán)的出現(xiàn)。首先利用改進(jìn)的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法獲得滿足最優(yōu)度分布和圍長(zhǎng)要求的MC-LDS因子圖。在這種構(gòu)造方法下，聯(lián)合稀疏因子圖中消除了情況B 的小圍長(zhǎng)的短環(huán)。然后，根據(jù)圖3，利用構(gòu)造的MC-LDS因子圖來創(chuàng)建聯(lián)合稀疏因子圖的MC-LDS部分，而LDPC 部分的構(gòu)造是基于當(dāng)前未完成的聯(lián)合稀疏因子圖。MC-LDS部分已經(jīng)連接好的這些FN 作為特殊PN 參與LDPC 部分的構(gòu)建，也就是說，它們僅作為中間節(jié)點(diǎn)參與JVN 的擴(kuò)展，從而保證了情況C 的小周長(zhǎng)不會(huì)出現(xiàn)在聯(lián)合稀疏因子圖中。同樣，這里構(gòu)造LDPC 的方法是修改后的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法，它避免了聯(lián)合稀疏因子圖中情況B的小圍長(zhǎng)的出現(xiàn)。在構(gòu)建了聯(lián)合稀疏因子圖之后，根據(jù)指示矩陣F構(gòu)建MC-LDS矩陣S。

聯(lián)合稀疏因子圖的構(gòu)造算法的偽代碼如下：

1 輸入：

J,M,N,K,λ2,…,λdv,LDPC,ρ2,…,ρdp,γ2,…,γdf

/*初始化

2 基于λ2,…,λdv,LDPC和M計(jì)算JVNs的度：d(jvn1)≤…≤d(jvnM);

3 基于γ2,…,γdf和N隨機(jī)生成FNfni的dmax(fni)；

4 基于ρ2,…,ρdp和J隨機(jī)生成PNpni的dmax(pni)；

5 設(shè)置dfree(fni)=dmax(fni)對(duì)于所有的FN；

6 forj=1:Ndo

7 fork=0:d(jvnj)-1 do

8 ifk==0 then

9 在jvnj和fni之間建立邊，其中fni是在當(dāng)前MC-LDS因子圖中具有最大自由度的FN；

10dfree(fni)=dfree(fni)-1;

11 else

14dfree(fni)=dfree(fni)-1

15 end if

16 end for

17 通過構(gòu)造的MC-LDS因子圖創(chuàng)建聯(lián)合因子圖的MC-LDS部分；

18 基于未完成的聯(lián)合稀疏因子圖和類似的漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)方法(步驟 6～14)構(gòu)造剩下的LDPC部分，其中FN替換為PN。

19 輸出：F和Hk。

根據(jù)上述算法，在已知其度分布的情況下，可構(gòu)造對(duì)應(yīng)的LDPC校驗(yàn)矩陣與LDS矩陣。具體地，需要先以MC-LDS的功能節(jié)點(diǎn)為根，基于改進(jìn)的PEG算法構(gòu)造聯(lián)合稀疏因子圖的MC-LDS部分，然后以聯(lián)合變量節(jié)點(diǎn)為根，展開包含MC-LDS功能節(jié)點(diǎn)的樹，進(jìn)而構(gòu)造聯(lián)合稀疏因子圖的LDPC部分。在聯(lián)合構(gòu)造過程中涉及兩個(gè)步驟：第一，以功能節(jié)點(diǎn)或聯(lián)合變量節(jié)點(diǎn)展開樹；第二，基于樹建立新的邊。對(duì)于所有的用戶采用相同的LDPC碼。此外，由于在LDS系統(tǒng)中，需要保證每個(gè)用戶所使用資源的公平性，公式(4)中的ωi對(duì)于不同的用戶是固定的，因此在構(gòu)造算法中未將其作為可變的輸入?yún)?shù)。

圖4 基于因子圖的樹的展開示意圖

根據(jù)以上算法，得到的聯(lián)合稀疏因子圖中可以避免圖3中第三種短環(huán)的出現(xiàn)，進(jìn)而提升系統(tǒng)性能。

3 性能仿真分析

3.1 仿真條件

在蒙特卡洛仿真中，信道編碼采用不規(guī)則LDPC碼，譯碼方式采用聯(lián)合迭代譯碼。LDPC碼長(zhǎng)設(shè)置為12 096與1 008，碼率為1/2。

對(duì)于MC-LDS系統(tǒng)，仿真中使用的LDS矩陣的大小設(shè)置為8×12。對(duì)應(yīng)的LDS指示矩陣為

(7)

仿真中所使用的LDS矩陣為

(8)

此外，其他的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果與分析

當(dāng)構(gòu)建一個(gè)具體的聯(lián)合稀疏因子圖時(shí)，短環(huán)對(duì)BER性能的影響如圖5所示。其中，因子獨(dú)立優(yōu)化時(shí)，LDS與LDPC各自的girth均大于4，而聯(lián)合LDS-LDPC則存在girth為4的情況(見圖3)；而在因子圖聯(lián)合優(yōu)化時(shí)，每個(gè)部分的girth均大于4，消除了如圖3中所示的girth為4的短環(huán)。此外，所有用戶采用相同的LDPC碼校驗(yàn)矩陣。從圖5中可以看出，沒有圖3中g(shù)irth=4的短環(huán)時(shí)，對(duì)于LDPC碼長(zhǎng)為12 096與1 008時(shí)，系統(tǒng)在BER為10-5時(shí)能分別帶來大約0.5 dB與0.6 dB的性能增益,表明消除聯(lián)合稀疏因子圖中的短環(huán)可以進(jìn)一步提高性能。因此，很有必要利用算法所描述的聯(lián)合漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)的方法來構(gòu)造聯(lián)合稀疏因子圖。

圖5 聯(lián)合稀疏因子圖構(gòu)造算法BER性能仿真

4 結(jié)束語

本文針對(duì)聯(lián)合稀疏因子圖中信息的充分耦合特性，提出了一種將LDPC碼與MC-LDS進(jìn)行聯(lián)合分析設(shè)計(jì)的方法，通過利用改進(jìn)的漸進(jìn)邊增長(zhǎng)方法構(gòu)建性能良好的聯(lián)合稀疏因子圖，優(yōu)化設(shè)計(jì)了聯(lián)合稀疏因子圖的連接結(jié)構(gòu)。所提方案在BER為10-5時(shí)具有0.5～0.6 dB的性能提升。本文基于傳統(tǒng)的MPA聯(lián)合迭代算法研究了聯(lián)合稀疏因子圖的構(gòu)造，而在未來的工作中，將接收端的聯(lián)合譯碼算法設(shè)計(jì)和聯(lián)合稀疏因子圖的構(gòu)造結(jié)合起來，也可以用來減小編譯碼復(fù)雜度與提升性能。因此，聯(lián)合接收機(jī)算法與稀疏因子圖設(shè)計(jì)是后續(xù)考慮的一個(gè)研究方向。