一種基于矩陣重組的功率倒置改進(jìn)算法*

吳文浩，賴鵬輝，王 昊，王世練，張 煒

(國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

自適應(yīng)天線通過(guò)控制陣列中各陣元的增益和相位，使陣列方向圖在干擾方向形成零陷，達(dá)到抑制干擾的效果[1]，是一種有效的抗干擾方法。經(jīng)典的陣列加權(quán)準(zhǔn)則包括最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)準(zhǔn)則[2]、最小方差無(wú)失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)準(zhǔn)則[3]、最大信干噪比(Maximum Signal to Interference and Noise Ratio,MSINR)準(zhǔn)則。功率倒置(Power Inversion,PI)自適應(yīng)算法[4-6]是基于線性約束最小方差準(zhǔn)則建立的，屬于盲抗干擾準(zhǔn)則，具有“強(qiáng)干擾強(qiáng)抑制，弱干擾弱抑制”特點(diǎn)，不需要先驗(yàn)信息輔助，可采用直接協(xié)方差矩陣求逆(Sample Matrix Inverse,SMI)、最小均方誤差(Least Mean Square,LMS)和遞推最小二乘法(Recursive Least Squares,RLS)等算法。

功率倒置廣泛應(yīng)用在抗干擾接收機(jī)中，如定位導(dǎo)航系統(tǒng)、遙測(cè)系統(tǒng)、衛(wèi)星通信等。文獻(xiàn)[1]通過(guò)監(jiān)測(cè)干擾數(shù)目或功率的突變，復(fù)位處理權(quán)值矢量，提高PI陣的收斂速度。文獻(xiàn)[6]采用RLS算法實(shí)現(xiàn)PI陣列，解決收斂性與穩(wěn)態(tài)失調(diào)矛盾，但運(yùn)算量大，對(duì)硬件運(yùn)算要求高。文獻(xiàn)[7]采用指數(shù)函數(shù)的歸一化變步長(zhǎng)LMS算法，兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，增大算法的輸入功率。文獻(xiàn)[8]通過(guò)將信號(hào)投影到噪聲空間，提高PI算法在弱干擾下的抗干擾性。上述算法從收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差、抗干擾范圍方面提升PI陣性能，各有優(yōu)點(diǎn)，但存在共同問(wèn)題——信噪比惡化現(xiàn)象。

本文針對(duì)信噪比惡化問(wèn)題，利用信號(hào)子空間正交性來(lái)改進(jìn)PI算法，改善信噪比惡化問(wèn)題，提高信干噪比增益，改善算法有效性。

1 功率倒置算法

y(n)=wHx(n) 。

(1)

圖1 M元天線陣結(jié)構(gòu)

算法滿足如下約束準(zhǔn)則，使其輸出功率最?。?/p>

(2)

式中：RXX為接收信號(hào)協(xié)方差矩陣，s0為約束條件。為防止w全為零而沒(méi)有意義，取s0=[1，0，…，0]T。構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，可得最優(yōu)權(quán)矢量

(3)

針對(duì)觀測(cè)信號(hào)的協(xié)方差估計(jì)可采用塊自適應(yīng)算法和連續(xù)自適應(yīng)算法。假設(shè)系統(tǒng)接收信號(hào)包括擴(kuò)頻信號(hào)s(t)、干擾信號(hào)i(t)、噪聲n(t)，其中噪聲服從高斯分布，與擴(kuò)頻信號(hào)、干擾信號(hào)互不相關(guān)，干擾信號(hào)與擴(kuò)頻信號(hào)相關(guān)系數(shù)為ρ(θ)，θ為信號(hào)與干擾的夾角。對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，接收信號(hào)的協(xié)方差估計(jì)是正Hermitian矩陣，

(4)

(5)

式中：ηs是期望信號(hào)對(duì)應(yīng)特征向量。則對(duì)應(yīng)的逆矩陣

(6)

(7)

圖2(a)、(b)分別是信干比SJR為-50、-20 dB時(shí),SMI法和EVD-1法的方向圖。對(duì)于SMI法，其方向圖在不同干擾強(qiáng)度形成不同深度零陷，干擾越強(qiáng)，零陷越深；干擾越弱，零陷較淺，(b)中零陷約為-13.5 dB。對(duì)于EVD-1法，其方向圖在強(qiáng)干擾下形成零陷較深，與SMI法相近；在弱干擾下，EVD-1法形成零陷遠(yuǎn)深于SMI法，(b)中零陷約為-64 dB。當(dāng)SJR為-50 dB時(shí)，兩種算法信噪比惡化約為-0.879 3 dB；當(dāng)SJR為-20 dB時(shí)，信噪比惡化約為-0.986 1 dB。

(a)SJR為-50 dB

(b)SJR為-20 dB圖2 SMI和EVD-1算法對(duì)比圖

2 基于特征分解的塊自適應(yīng)算法改進(jìn)

由上述仿真可知，傳統(tǒng)PI算法和EVD-1算法在干擾來(lái)向形成零陷的同時(shí)在期望方向存在小幅度抑制，有信噪比惡化現(xiàn)象。由式(7)可知，傳統(tǒng)PI算法最優(yōu)權(quán)值矢量是樣本協(xié)方差矩陣中干擾信號(hào)、擴(kuò)頻信號(hào)(期望信號(hào))、噪聲對(duì)應(yīng)特征向量的線性組合，分別對(duì)應(yīng)等式右邊第一、二、三項(xiàng)。由于擴(kuò)頻信號(hào)(期望信號(hào))一般淹沒(méi)在熱噪聲中(信噪比小于-20 dB)，一般情況下可將后兩項(xiàng)看作一項(xiàng)。干擾特征向量與干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量wopt張成同一子空間，則干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量為干擾信號(hào)特征向量的線性組合。強(qiáng)干擾環(huán)境下，干擾特征值遠(yuǎn)大于噪聲對(duì)應(yīng)的特征值，對(duì)wopt的影響反而小，即wopt是噪聲特征向量的線性組合，因此wopt與干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量正交，在干擾方向上形成較深的零陷；而弱干擾環(huán)境下干擾特征值較小，與噪聲特征值接近，wopt是兩者特征向量線性組合，因此在干擾方向上無(wú)法形成較深零陷。EVD-1算法中將式(7)中干擾項(xiàng)舍去，實(shí)質(zhì)上等同干擾功率無(wú)窮大，由上面分析可知，在弱干擾環(huán)境下可形成較深零陷。

下面從信噪比增益角度分析惡化原因。首先給出信噪比增益表達(dá)式：

(8)

(9)

本文提出一種基于矩陣重組的功率倒置改進(jìn)算法EVD-NN(Eigenvalue Decomposition with No Noise),在不含先驗(yàn)信息條件下，對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣做特征分解，根據(jù)特征值分布對(duì)噪聲進(jìn)行估計(jì)，舍去噪聲特征向量，保留主特征向量和期望信號(hào)特征向量(信源數(shù)為1)，重組得到新協(xié)方差矩陣逆矩陣，進(jìn)而求得最優(yōu)權(quán)值矢量。新的協(xié)方差矩陣逆矩陣、權(quán)值矢量和方向增益表達(dá)式如下：

(10)

(11)

(12)

由式(11)可知，新權(quán)值矢量?jī)H由干擾和期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征向量組成，新的干擾子空間與非干擾子空間正交。當(dāng)期望方向與干擾來(lái)向夾角較大(兩者相關(guān)性更小)時(shí)，在干擾方向，式(12)右邊第一項(xiàng)取值隨著干擾功率增大而減小，第二項(xiàng)為零；在期望方向，右邊第一項(xiàng)近乎為零(期望信號(hào)與干擾不相關(guān))，第二項(xiàng)不為零且取值較大(期望信號(hào)功率較小)，此時(shí)取得方向增益最大值；對(duì)于其他入射角，其導(dǎo)向矢量由干擾、期望信號(hào)、噪聲三者的特征向量組成，式(12)右邊有不定取值，與期望信號(hào)和干擾功率大小有關(guān)，此處不作研究。

本文算法流程下：

(1)由M個(gè)天線陣元接收信號(hào)計(jì)算得協(xié)方差矩陣Rxx特征值分解得到從小到大排列的特征值λk和對(duì)應(yīng)特征向量ηk,k=1,2,…,M。

(2)對(duì)信道噪聲功率和期望信號(hào)功率進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)特征值分布特點(diǎn)確定噪聲的最大特征值λnoiseMax，其中λk>λnoiseMax的特征向量判作非噪聲特征向量(干擾特征向量ηi和期望信號(hào)特征向量ηn)，數(shù)目為Num1,剩余的特征向量判作噪聲特征向量ηn，數(shù)目為Num2。

相關(guān)性能主要考察以下幾個(gè)方面：

(1)零陷情況。通過(guò)方向圖評(píng)估零陷是否對(duì)準(zhǔn)干擾以及形成零陷的深度。

(2)信干噪比增益和信噪比增益。處理增益是下一步解調(diào)的關(guān)鍵，具體考慮不同干擾數(shù)目和強(qiáng)度、噪聲強(qiáng)度、陣元數(shù)目，相關(guān)指標(biāo)如下：

(13)

(14)

(3)誤碼率(Symbol Error Rate，SER)。誤碼率是衡量數(shù)據(jù)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)傳輸精確性的指標(biāo)，公式如下：

誤碼率=傳輸中的誤碼/所傳輸?shù)目偞a數(shù)×100%。

3 仿真分析

仿真采用8元均勻線陣，以線陣法線方向?yàn)閰⒖挤较颍ぷ黝l率為2 GHz，陣元間隔為0.5個(gè)波長(zhǎng)，各信號(hào)參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

圖3 實(shí)驗(yàn)1中三種算法方向圖對(duì)比

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

圖4 實(shí)驗(yàn)2中三種算法方向圖對(duì)比

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)3

圖5 實(shí)驗(yàn)3中三種算法方向圖對(duì)比

3.4 仿真實(shí)驗(yàn)4

參數(shù)與實(shí)驗(yàn)1相同，天線陣元N=32，仿真結(jié)果如圖6所示。與實(shí)驗(yàn)1相比，圖6中三種算法形成零陷更深，角度分辨率更高。在期望方向，EVD-NN算法的主瓣寬度變小，為3.2°，增益比SMI算法和EVD-1算法高出約3 dB；同時(shí)，EVD-NN算法有較低的增益，第一旁瓣約-13 dB，方向圖指向性更強(qiáng)。

圖6 實(shí)驗(yàn)4中三種算法方向圖對(duì)比

3.5 三種算法在不同環(huán)境下的抗干擾性能

下面以信干噪比增益GSJNR和信噪比增益GSNR為評(píng)價(jià)指標(biāo)，詳細(xì)分析三種算法在不同環(huán)境下的抗干擾性能。

圖7～9分別為三種算法的抗干擾性能仿真圖,其中圖7(a)、圖8(a)和圖9(a)信噪比增益指標(biāo)中X軸按降序排列。由仿真結(jié)果可知，三種算法的GSNR不隨信噪比變化，其中，SMI法和EVD-1法的GSNR恒小于0，EVD-NN法的GSNR比較穩(wěn)定，當(dāng)干信比小于等于56 dB時(shí)，EVD-NN法的GSNR均值為8.74，比前兩者均值高出約9.6 dB；當(dāng)干信比大于56 dB時(shí)，EVD-NN法的GSNR不穩(wěn)定，但仍優(yōu)于前兩種算法。另外，從信干噪比增益看，圖7(b)中，SMI法的GSJNR隨信噪比、干信比增加而增加；圖8(b)中，EVD-1法在低干擾下的GSJNR與SMI法接近，當(dāng)干信比大于57 dB，算法失效；圖9(b)中，EVD-NN法在同一信噪比下GSJNR比前兩種算法高出約9.3 dB。信噪比為-15 dB時(shí)，GSJNR從38.3 dB增至51.8 dB；信噪比為-10 dB時(shí)，GSJNR從49.2 dB增至62.5 dB；當(dāng)干信比大于60 dB，GSJNR變得不穩(wěn)定，增長(zhǎng)不明顯。

(a) 信噪比增益

(b)信干噪比增益圖7 SMI法抗干擾性能

(a)信噪比增益

(b)信干噪比增益圖8 EVD-1法抗干擾性能

(a)信噪比增益

(b)信干噪比增益圖9 EVD-NN法抗干擾性能

圖10是不同信干比時(shí)系統(tǒng)誤碼率仿真圖，其中實(shí)線代表信干比為-25 dB，虛線代表信干比為-55 dB。當(dāng)信干比為-55 dB時(shí)，原始信號(hào)誤碼率約為0.75，SMI法誤碼率從0.58降到5×10-3，EVD-NN法誤碼率從0.42快速降到1×10-4;當(dāng)信干比為-25 dB，原始信號(hào)誤碼率從0.59降到約0.21，SMI法誤碼率從0.58降到1.1×10-3，EVD-NN法誤碼率從0.51快速降到2×10-4。

圖10 不同信干比時(shí)誤碼率

從零陷情況、處理增益(信干噪比增益GSJNR和信噪比增益GSNR)、誤碼率三個(gè)方面對(duì)三種算法進(jìn)行的分析可知，較之于傳統(tǒng)算法，EVD-NN法有明顯優(yōu)點(diǎn)，但從算法流程可知，以下兩點(diǎn)是算法性能的關(guān)鍵，也是局限之處：

(1)獲取準(zhǔn)確的協(xié)方差估計(jì)，完成特征分解?？炫臄?shù)少時(shí)，協(xié)方差估計(jì)不準(zhǔn)確，算法性能顯著下降，快拍數(shù)增多，算法實(shí)時(shí)性下降，同時(shí)對(duì)工程實(shí)現(xiàn)的硬件要求也變高。經(jīng)仿真可知，算法所需快拍數(shù)與具體的天線陣元數(shù)、信號(hào)(期望信號(hào)與干擾)總數(shù)目、信號(hào)功率有關(guān)。

3.6 仿真實(shí)驗(yàn)5

圖11 快拍數(shù)不同時(shí)各特征值(從小到大排序)的收斂情況

圖12 快拍數(shù)不同時(shí)信道估計(jì)下各特征值的方差變化

圖13中第1條曲線即為傳統(tǒng)PI算法，第2、3、4條曲線分別代表假設(shè)期望信號(hào)對(duì)應(yīng)特征值λ5、λ6、λ7時(shí)的方向圖，可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)零陷基本對(duì)準(zhǔn)強(qiáng)干擾，最大增益指向偏離期望方向0.2°～0.4°，具體處理增益見(jiàn)表2。

圖13 EVD-NN法對(duì)舍去的噪聲特征向量個(gè)數(shù)的敏感性

表2 仿真實(shí)驗(yàn)5相關(guān)數(shù)據(jù)

由表2可知，Num等于4、5、6、7時(shí)，EVD-NN算法的GSJNR和GSNR比傳統(tǒng)PI算法(Num等于0)高，Num等于6、7時(shí)性能最佳，小于6時(shí)開(kāi)始下降，Num等于5、4時(shí)，處理增益分別下降1.2 dB和2.7 dB。

綜合上述分析可得，EVD-NN算法改善了信噪比惡化現(xiàn)象，能較穩(wěn)定地提升信干噪比增益和信噪比增益，其提升效果隨著天線陣元、干擾功率、輸入信噪比增加而提高，有利于降低誤碼率，在強(qiáng)干擾來(lái)向形成較深零陷；SMI算法存在信噪比惡化現(xiàn)象，在強(qiáng)干擾來(lái)向形成較深零陷，信干噪比有所改善；EVD-1算法存在信噪比惡化現(xiàn)象，在弱干擾來(lái)向也準(zhǔn)確形成較深零陷，整體性能與SMI法相近，但EVD-NN算法的性能依賴于高準(zhǔn)確度的協(xié)方差估計(jì)以及能否正確區(qū)分噪聲、非噪聲特征向量，不便于工程實(shí)現(xiàn)。綜上，本文提出的EVD-NN算法工作范圍更廣，具有穩(wěn)定的、更高的信干噪比增益和信噪比增益，方向圖具有指向性，有較低的旁瓣，性能更好。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)功率倒置陣存在信噪比惡化的問(wèn)題，本文分析了MMSE準(zhǔn)則下最優(yōu)權(quán)值矢量與協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)特征值的關(guān)系，從公式推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)噪聲特征向量是信噪比惡化的主要原因。在此基礎(chǔ)上提出一種基于矩陣重組的功率倒置改進(jìn)算法，通過(guò)特征值分布特點(diǎn)，舍去噪聲特征向量求得新的最佳權(quán)值矢量。仿真實(shí)驗(yàn)表明，與傳統(tǒng)SMI法和相關(guān)改進(jìn)算法相比，本文算法對(duì)干擾強(qiáng)度和噪聲強(qiáng)度適應(yīng)范圍更廣，具有更高信號(hào)處理增益，在干信比為50 dB時(shí)，獲得信干噪比和信噪比增益比前兩種算法均高出約9.6 dB。同時(shí)，方向圖主瓣指向期望信號(hào)，有較低的旁瓣，抗干擾性更強(qiáng)。

但是，本文提出的EVD-NN算法有局限性，要求樣本協(xié)方差估計(jì)準(zhǔn)確度較高。如何更有效可靠地區(qū)分噪聲、非噪聲向量，避免算法性能下降，可結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)等方法進(jìn)一步研究。