兩種工作模式下2K-H型行星齒輪傳動系統(tǒng)固有特性分析

林 何，屈 琨，胥光申

(西安工程大學機電工程學院，陜西 西安 710048)

行星齒輪傳動系統(tǒng)結構緊湊，承載力強，傳動比大，可滿足高速大載荷工況要求，作為一種可靠的齒輪傳動機構，其在直升機主減速器、大型艦船動力傳動系統(tǒng)、風力發(fā)電裝置中得到廣泛應用[1-4]。由于其結構復雜，轉速較高，工作環(huán)境惡劣，導致行星齒輪傳動系統(tǒng)振動問題突出。固有特性分析是研究振動問題的基礎，基于此，國內外學者圍繞齒輪固有特性做了深入、廣泛的研究。Kahraman等[5]建立了行星齒輪彎扭耦合模型，獲得了模型固有特性的解析表達式并將模態(tài)振型歸納為3種典型的振動模式。宋軼民等[6]基于集中參數(shù)法建立了考慮行星輪軸承支承剛度的行星齒輪系統(tǒng)修正扭轉模型,研究了系統(tǒng)的固有頻率與振動模式。段福海[7]建立了行星齒輪純扭轉動力學模型，研究了嚙合相位對固有特性的影響，并給出了3種嚙合相位差求解公式。王世宇等[8]研究了行星齒輪基本參數(shù)對固有特性的影響，發(fā)現(xiàn)了振動模式不清晰現(xiàn)象，研究表明固有頻率密集時不再有3種典型的振動模式劃分。李軍等[9]綜合考慮了時變嚙合剛度、側隙、齒輪綜合傳動誤差、嚙合阻尼以及行星輪軸承支承剛度等因素, 建立了改進的匯流行星傳動系統(tǒng)純扭轉動力學模型，對模型的振型進行歸納分類。李國彥等[10]研究了裂紋對系統(tǒng)固有頻率的影響，結果表明裂紋對低階固有頻率影響較小，對某些高階固有頻率影響較大，隨著裂紋增大，固有頻率呈下降趨勢但系統(tǒng)的二重根數(shù)沒有發(fā)生變化。其他學者還從動力學建模、模擬仿真、靈敏度分析等方面對齒輪傳動系統(tǒng)固有特性做了相關研究[11-12]，取得了豐碩的研究成果。但前期研究成果主要是在某種特定工作模式下總結的，缺少在不同工作模式下對系統(tǒng)固有特性進行分析，而在某些應用場合行星齒輪機構需要不斷切換工作模式且在不同工作模式下行星齒輪系統(tǒng)會表現(xiàn)出不同的動力學特性。

本文針對行星齒輪系統(tǒng)傳動中存在的上述問題建立了2K-H型直齒行星齒輪純扭動力學模型，分別對無中心構件固定和內齒圈固定兩種工作模式下的模態(tài)進行了分析，歸納了振動模式，指出了各構件的振動特征。

1 純扭轉動力學模型

2K-H型直齒行星齒輪純扭轉動力學模型如圖1所示，整個傳動系統(tǒng)由系桿、內齒圈、太陽輪以及N個行星輪組成，N=3。根據(jù)實際工作需求，可以將系桿、內齒圈或太陽輪調整為固定構件，使系統(tǒng)具備多種工作模式。常見工作模式為內齒圈固定于變速器箱體上保持不動，功率由太陽輪輸入，通過行星輪將功率分流經系桿輸出。圖1中各符號的含義分別為:下標c代表系桿，r代表內齒圈，s代表太陽輪，n代表系統(tǒng)中行星輪個數(shù)，n=1,2,3，…；θi(i=c,r,s)為中心構件扭轉角位移，θn(n=1,2,3)為行星輪n的扭轉角位移，krn,ksn分別表示行星輪n與內齒圈及太陽輪的嚙合剛度，kct,krt,kst分別表示系桿、內齒圈、太陽輪支撐剛度。

圖1 2K-H型直齒行星齒輪純扭轉動力學模型

行星齒輪傳動系統(tǒng)的零部件較多，運動副關系復雜，為更符合物理實際，在建立動力學模型時對系統(tǒng)做如下假設和簡化：1)將行星齒輪傳動系統(tǒng)簡化為集中參數(shù)系統(tǒng)，且3個行星輪的質量和轉動慣量均相等；2)在系統(tǒng)的支撐、各嚙合副等處引入彈簧符號，將齒輪輪體、系桿看作剛體；3)僅考慮各構件的扭轉振動；4)將時變嚙合剛度進行線性處理等效為平均剛度，忽略輸入轉矩、側隙及阻尼的影響。

1.1 構件間相對位移關系

嚙合狀態(tài)下各構件之間的相對位置如圖2所示，將構件在各坐標方向的位移向嚙合線方向投影，規(guī)定壓縮彈簧的方向為正方向，分析各構件之間的相對位移關系，推導位移協(xié)調方程。

行星輪與系桿的相對角位移θnc：

θnc=θn-θc

(1)

太陽輪與行星輪n之間嚙合線上的相對位移δsn：

δsn=(θs-θc)rs+(θn-θc)rn

(2)

內齒圈與行星輪n之間沿嚙合線上的相對位移δrn：

δrn=(θr-θc)rr-(θn-θc)rn

(3)

式中：ri(i=r,s,n)為內齒圈、太陽輪、行星輪n的基圓半徑。

圖2 嚙合副相對位移分析

1.2 系統(tǒng)動力學方程

根據(jù)牛頓第二定律建立系統(tǒng)的運動微分方程。

系桿運動微分方程：

(4)

內齒圈運動微分方程：

(5)

太陽輪運動微分方程：

(6)

行星輪1運動微分方程：

(7)

行星輪2運動微分方程：

(8)

行星輪3運動微分方程：

(9)

式中：Ji(i=c,r,s,1,2,3)為構件i的轉動慣量；mn為行星輪n的質量。

將6個運動微方程統(tǒng)一表述為矩陣形式有：

(10)

式中：M為質量矩陣；q為位移向量；Kb為支撐剛度矩陣；Km為嚙合剛度矩陣。

系統(tǒng)中嚙合剛度為3×108N/m，其他的基本物理參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)表

2 固有特性分析

2.1 振型方程

通過求解特征值和特征向量問題可以得到行星齒輪傳動系統(tǒng)的固有頻率和相對應的振型，依據(jù)動力學方程式推導出系統(tǒng)的特征方程：

(11)

式中：ωj為系統(tǒng)第j階固有頻率；Aj為系統(tǒng)相對應的第j階振型。

特征方程存在非零解的條件：

(12)

2.2 模態(tài)振型歸一化

某些狀況下行星齒輪傳動系統(tǒng)中6個構件的振動位移差別很大，如果使用原始位移數(shù)據(jù)進行振型描述，振動量較大的構件在振型圖中表現(xiàn)得比較明顯，導致振動量微小的構件容易被忽略，難以全面反映系統(tǒng)的振動特性。為提高數(shù)據(jù)的精準性，更直觀地反映系統(tǒng)中各構件的振動狀態(tài)，通過方程(13)將構件的振動量歸一化處理，使各構件的相對振動位移量取值范圍為[-1,1]。

Yj=Aj/max|Aj|j=1,…,6

(13)

式中:Yj為歸一化處理后系統(tǒng)的第j階振型矢量。

2.3 模態(tài)振型

規(guī)定行星輪傳動系統(tǒng)中所有中心構件均不固定的情況為工作模式一；內齒圈固定、太陽輪為動力輸入構件、系桿為輸出構件為工作模式二。當系統(tǒng)處在工作模式一時，有6個自由度；當系統(tǒng)處在工作模式二時，有5個自由度。

綜合式(11)、(12)、(13)，可得到歸一化處理后系統(tǒng)各階振型，如圖3，4所示。圖3中橫坐標編號1～6分別對應系桿、內齒圈、太陽輪、行星輪1～3，縱坐標為系統(tǒng)量綱歸一化后的各構件對應的相對位移，圖4中橫坐標編號1～5分別對應系桿、太陽輪、行星輪1～3，縱坐標與圖3相同。

2.3.1工作模式一下模態(tài)

分析圖3可知，系統(tǒng)對應的第1，2，3，6階振型圖中3個中心構件及行星輪均產生振動，且3個行星輪的相對位移量相同，此振動模式稱之為扭轉振動模式，設yi(i=c,r,s,1,2,3)為系統(tǒng)量綱歸一化后的各構件振動量，振動特征可歸納為：

Yj=[yc,yr,ys,y1,y2,y3]j=1,2,3,6

(14)

y1=y2=y3

(15)

在第4，5階振型圖中3個中心構件未發(fā)生振動，僅有3個行星輪產生振動，且位移量之和為0。此振動模式為行星輪振動模式。

Yj=[yc,yr,ys,y1,y2,y3]j=4,5

(16)

yc=yr=ys=0

(17)

(18)

因此可得系統(tǒng)中心固件均未固定的狀況下系統(tǒng)存在兩種典型的振動模式，即扭轉振動模式和行星輪振動模式。

圖3 工作模式一下振型圖

2.3.2工作模式二下模態(tài)

當內齒圈固定時，系統(tǒng)的自由度減少至5個。分析圖4可知，系統(tǒng)仍然存在兩種振動模式，其中第1，2，5階為扭轉振動模式，第3，4階為行星輪振動模式，各構件振動量之間的數(shù)值關系與系統(tǒng)在工作模式一時的數(shù)值關系相同，此處不再贅述。

圖4 工作模式二下振型圖

3 結束語

本文對2K-H型直齒行星齒輪傳動系統(tǒng)建立其純扭轉動力學模型，研究了中心構件均不固定和單一中心構件固定兩種工作模式下系統(tǒng)中存在的振動模式和各階次振型變化規(guī)律。研究結果表明：兩種工作模式下，系統(tǒng)中均存在兩種典型的振動模式，即純扭轉振動模式和行星輪振動模式，且系統(tǒng)中振動模式的數(shù)量不會因系統(tǒng)中心構件固定狀況的改變而增減。