含積分式方程的解的研究

李 高

(大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037007)

當(dāng)遇到含積分式的方程求解時(shí)，求解者似乎感到很棘手。其實(shí)含積分式的方程中的積分不外乎兩類：一類是定積分，另一類為變限函數(shù)[1]。下面逐一探求其解法。

1 積分式為定積分

1.1 傳統(tǒng)的代入法求解

由于定積分是一個(gè)數(shù)值，所以這類積分亦可采用代入法確定定積分的值，便可求得解。

f(x)=x+2A

代入原方程，得

f(x)=x+1+4A

則

故

f(x)=x-1

1.2 取積分法求解

由定積分概念知：定積分是一個(gè)數(shù)值，因此關(guān)于這類方程的求解方法一般是方程兩邊同時(shí)取該積分區(qū)間的定積分，求出該定積分即得方程的解[5-9]。

例2 對(duì)例1利用取積分法求解。

解法二 原方程等式兩端取積分得

代入原方程，得

f(x)=x-1

即

所以

故

1.3 求導(dǎo)數(shù)法求解

定積分的導(dǎo)數(shù)為零。因此，關(guān)于這類方程的求解方法一般是方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，可得關(guān)于所求函數(shù)的微分方程，再解微分方程，即得所求解。

例4 對(duì)例1利用求導(dǎo)法求解。

解法三 原方程等式兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

f′(x)=1

則

f(x)=x+c

將其代入原方程，得

c=-1

故

f(x)=x-1

2 積分式為變限函數(shù)

由于積分變限函數(shù)都可以利用定積分的概念轉(zhuǎn)化為積分變上限函數(shù)，并有下面定理。

因此，求這類方程的解一般是方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，去掉積分變限函數(shù)，可得關(guān)于所求函數(shù)的微分方程，再通過(guò)求解微分方程得所求解。

解 因?yàn)榉匠?/p>

變形為

對(duì)上式求導(dǎo)，得

再求導(dǎo)得二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

φ″(x)=ex-φ(x)

即

φ″(x)+φ(x)=ex

特征方程為

λ2+1=0

特征根為

λ=±i

故