例談二次曲線(xiàn)系方程在解析幾何中的應(yīng)用*

福建省晉江市毓英中學(xué)(362251)陳俊藝

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí),也是高考的必考點(diǎn).可以很好的考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.但由于其綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大,學(xué)生遇到題目往往望而生畏.下面主要介紹利用二次曲線(xiàn)系方程來(lái)解決解析幾何中的一些問(wèn)題.

1 知識(shí)準(zhǔn)備

具有某種共同性質(zhì)的曲線(xiàn)的集合叫做曲線(xiàn)系.一般地,設(shè)兩條二次曲線(xiàn)的方程為C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0,那么過(guò)這兩條二次曲線(xiàn)交點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系方程為:λf1(x,y)+μf2(x,y)=0,其中λ,μ為參數(shù).

如果所求的二次曲線(xiàn)不是C2自身,也可以把曲線(xiàn)系方程表示為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.高中常見(jiàn)的二次曲線(xiàn)有:圓,橢圓,雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn).已知兩相交直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則二次方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 可以表示直線(xiàn)l1,l2,我們把兩相交直線(xiàn)稱(chēng)為退化的二次曲線(xiàn).

2 應(yīng)用舉例

2.1 求曲線(xiàn)方程

例1(2018年高考全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k >0)的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.

(I)求l的方程;

(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程.

分析可以從二次曲線(xiàn)系的角度考慮第(Ⅱ)問(wèn).但由于直線(xiàn)不是二次曲線(xiàn),因此需要作稍微變形把二次曲線(xiàn)系方程假設(shè)為(x?y?1)(x+y+m)+λ(y2?4x)=0.

解析(I)l的方程為:x?y?1=0.(過(guò)程略)

(Ⅱ)設(shè)所求的圓的方程為:(x?y?1)(x+y+m)+λ(y2?4x)=0,對(duì)比x2項(xiàng),y2項(xiàng)的系數(shù)得:λ?1=1,λ=2.拋物線(xiàn)C:y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為:x=?1,把x=?1 代入圓的方程得:y2?(m+1)y+10?2m=0,則Δ=(m+1)2?4(10?2m)=0,解得m=3 或?13,因此所求圓的方程為:x2+y2?6x?4y?3=0 或x2+y2?22x?12y+13=0.

注曲線(xiàn)λf1(x,y)+μf2(x,y)=0 可以表示經(jīng)過(guò)兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的所有二次曲線(xiàn),但前提是f1(x,y)=0,f2(x,y)=0必須為二次曲線(xiàn),因此在利用二次曲線(xiàn)系方程求解要觀察方程的特征.

2.2 定點(diǎn)問(wèn)題

注利用二次曲線(xiàn)系方程求解定點(diǎn)問(wèn)題,沒(méi)有復(fù)雜的聯(lián)立方程并借助韋達(dá)定理的解答過(guò)程.通過(guò)對(duì)比相同項(xiàng)的系數(shù),簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

2.3 定值問(wèn)題

2.4 四點(diǎn)共圓問(wèn)題

3 總結(jié)提升

上述的幾個(gè)例題都有涉及幾條曲線(xiàn)相交,在解答的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)利用二次曲線(xiàn)系解題,實(shí)質(zhì)上就是利用二次曲線(xiàn)方程的一些特征,比如圓的方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的系數(shù)相等,沒(méi)有xy項(xiàng)等.來(lái)找到引入的參數(shù)的關(guān)系.或者是比較兩個(gè)二次多項(xiàng)式的系數(shù)來(lái)達(dá)到解題的目的.這樣避免了聯(lián)立方程和韋達(dá)定理.是突破解析幾何問(wèn)題的一種有效策略.