高三數(shù)學(xué)“微專(zhuān)題”教學(xué)的誤區(qū)舉隅及對(duì)策

江蘇省南京市第九中學(xué)(210018)尤榮勇

1 問(wèn)題提出

“微專(zhuān)題”是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特別是二、三輪復(fù)習(xí)經(jīng)常采用的課型.所謂“微專(zhuān)題”就是指聚焦一個(gè)具體考點(diǎn)如重點(diǎn)、難點(diǎn)或熱點(diǎn),以專(zhuān)題的形式組織教學(xué)活動(dòng),幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí),構(gòu)建結(jié)構(gòu),再進(jìn)行知識(shí)的遷移、整合和運(yùn)用的課堂授課的模式.在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐中,在采用微專(zhuān)題課型時(shí)有部分教師還存在一些誤區(qū),筆者結(jié)合這幾年在高三一線(xiàn)的上課和聽(tīng)課學(xué)習(xí)情況,對(duì)微專(zhuān)題課型中的一些誤區(qū)和同仁們探討.

2 誤區(qū)舉隅及對(duì)策

2.1 只顧題型訓(xùn)練,忽略思維關(guān)聯(lián),“反復(fù)弄小技”,“丹青妙處不可傳”.

有些老師認(rèn)為,高三復(fù)習(xí)微專(zhuān)題教學(xué)的基本模式就是:先梳理這節(jié)微專(zhuān)題知識(shí)點(diǎn)或有關(guān)題型,接著進(jìn)行類(lèi)題訓(xùn)練.這種做法無(wú)可厚非,但只顧套用題型,忽略或縮略題型本身的分析過(guò)程和模式識(shí)別的思維過(guò)程,只是“反復(fù)弄小技”式的就題論題而沒(méi)有變式拓展,不能點(diǎn)破題與題之間關(guān)聯(lián)的那層紙,不去突破“類(lèi)”的束縛進(jìn)入深度的探究學(xué)習(xí),就一直停留在“丹青妙處不可傳”的層面,對(duì)提高解題能力著實(shí)沒(méi)有多大幫助.

對(duì)策對(duì)于微專(zhuān)題教學(xué),指導(dǎo)學(xué)生要從最基本的題型出發(fā),不是追求簡(jiǎn)單“形”上的相似,而是要挖掘思想上的“神似”,解題時(shí)擦亮眼睛、抽絲剝繭,尋找有價(jià)值的解題線(xiàn)索,在拓展、延伸中類(lèi)化方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),努力使學(xué)生從“云深不知處”到“不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層”.

2.2 只顧結(jié)構(gòu)完整,忽略學(xué)生接受能力,“蜀道難,難于上青天”.

教學(xué)實(shí)踐中,有些老師多年任教高三,對(duì)高考的命題耳熟能詳.因?yàn)樽约赫镜幂^高,過(guò)于甚至過(guò)早瞄準(zhǔn)高考要求,力圖使自己的教學(xué)能一步到位,在復(fù)習(xí)工作中不經(jīng)意間就會(huì)定位過(guò)高、選題過(guò)難來(lái)提高教學(xué)的起點(diǎn).特別是在復(fù)習(xí)函數(shù)與數(shù)列等內(nèi)容,老師很容易使微專(zhuān)題走上將教學(xué)難點(diǎn)堆積之路.事實(shí)上,這些曲高和寡的專(zhuān)題是“專(zhuān)”而不“微”,對(duì)大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)都是望塵莫及.這樣做不但不能準(zhǔn)確解答類(lèi)似問(wèn)題,還會(huì)給學(xué)生的心理造成很大的壓力.

筆者曾在一個(gè)中等層次的學(xué)校學(xué)習(xí)觀摩一節(jié)“函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略”微專(zhuān)題復(fù)習(xí)課.教者將一些極值點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi),選擇3 道按照是否含有參數(shù)進(jìn)行一級(jí)分類(lèi),將極值點(diǎn)偏移問(wèn)題分為含有參數(shù)類(lèi)和不含有參數(shù)類(lèi),再進(jìn)行二級(jí)分類(lèi),按照極值點(diǎn)表現(xiàn)形式,將其分為極值點(diǎn)之和、之差、之積、之商幾類(lèi).解決問(wèn)題方法進(jìn)行套路化:構(gòu)造齊次式換元、構(gòu)造新函數(shù)、分離變量、借助對(duì)數(shù)平均不等式等.當(dāng)然函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題無(wú)論是在高考還是模考中,作為熱點(diǎn)題型往往以壓軸題的形式給出,但是此類(lèi)問(wèn)題變化多端,優(yōu)秀學(xué)生掌握都有一定難度,這樣一個(gè)專(zhuān)題在中等層次學(xué)校而且放在一節(jié)課上處理,學(xué)生很難接受,大多數(shù)學(xué)生望題興嘆!

課后我隨機(jī)詢(xún)問(wèn)了該班的同學(xué),問(wèn)是否明白了課堂上老師的講解,結(jié)果大多同學(xué)回答說(shuō),“這個(gè)太難了,考到我也放棄!”教者這種急于求成、好高鶩遠(yuǎn)的現(xiàn)象,往往會(huì)產(chǎn)生兩種結(jié)果:對(duì)于一些喜歡鉆難題的同學(xué),遇到這類(lèi)問(wèn)題會(huì)愛(ài)不釋手、眼高手低而忽視基本題的訓(xùn)練,事實(shí)上高考?jí)狠S題靈活性大,不是通過(guò)這種刷題就能解決的,最終難題不得分、基礎(chǔ)題丟了分;對(duì)于中等生甚至基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生反正聽(tīng)不懂、干脆就不聽(tīng)了,長(zhǎng)期以往極容易使他們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒,打擊他們的信心、喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與愛(ài)好,迷失了數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)方向.事實(shí)上,學(xué)生接受知識(shí)、掌握知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)需要一個(gè)過(guò)程,他們的認(rèn)知水平和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力與我們老師的預(yù)想存在很大差距.

對(duì)策我們的微專(zhuān)題復(fù)習(xí),應(yīng)該研究學(xué)情,根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,在他們的“最近發(fā)展區(qū)”確定微專(zhuān)題的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)難度.對(duì)于過(guò)難非重點(diǎn)的內(nèi)容直接不用講,對(duì)于過(guò)難卻又重要的內(nèi)容可以根據(jù)實(shí)際情況循序漸進(jìn)、各個(gè)擊破、分散進(jìn)行,要從“難于上青天”到“隨風(fēng)潛入夜”.

2.3 只顧特殊技巧,忽略通性通法,“是非成敗轉(zhuǎn)頭空”.

我們都知道,高考試題強(qiáng)調(diào)以能力立意,盡管能力型試題沒(méi)有固定解法,但不會(huì)過(guò)分強(qiáng)調(diào)解題的特殊技巧.通常情況下,技巧性越強(qiáng),適用范圍就越小,只有上升到思想、觀念的層面,才能具有普適性.因此,即使是技巧,也應(yīng)該置于相應(yīng)的思想方法的統(tǒng)領(lǐng)之下,使之成為實(shí)施通性通法的思維策略下的具體手段與方式.有些老師在專(zhuān)題教學(xué)時(shí),會(huì)傾向于應(yīng)用解題技巧,而忽略常規(guī)的解題方法與解題思想,這樣的微專(zhuān)題復(fù)習(xí)課往往變成了教師自我炫技的表演,結(jié)果反而會(huì)弄巧成拙,問(wèn)題變化了學(xué)生便一籌莫展,到頭來(lái)只能是“一場(chǎng)游戲一場(chǎng)夢(mèng)”.

案例2微專(zhuān)題“三角函數(shù)的最值復(fù)習(xí)課”教學(xué)片斷:

已知函數(shù)f(x)=2 sinx+sin 2x.則f(x)的最小值是____.

師:這個(gè)題大家可以研究函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性研究最小值,課上就不再贅述,我們不妨換兩個(gè)角度.

不難看出,方法1 是通過(guò)把函數(shù)最值構(gòu)造為圓的內(nèi)接三角形面積的最值,方法2 是借助三個(gè)正數(shù)的基本不等式,把積的最值轉(zhuǎn)化為和為定值來(lái)處理.應(yīng)該說(shuō),這兩個(gè)解法的確是用時(shí)少、準(zhǔn)確性也高,但這兩個(gè)解法對(duì)解決其他三角函數(shù)最值的借鑒作用可能有限,而且方法2 的知識(shí)點(diǎn)也明顯超出了課程標(biāo)準(zhǔn)要求.我們說(shuō)不掌握通性通法,提高能力也將是一句空話(huà).當(dāng)我們過(guò)分關(guān)注解題技巧時(shí),反而連基本的解題思維都弱化了,非常容易導(dǎo)致學(xué)生遇到基本數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),也無(wú)法利用規(guī)律及普適性的方法加以解決,出現(xiàn)“大道如青天,我獨(dú)不得出”的窘?jīng)r也就不足為怪.

對(duì)策在微專(zhuān)題教學(xué)中,應(yīng)加強(qiáng)基本方法的教學(xué),探求解決問(wèn)題路徑的一般思維方式,注重通性通法,夯實(shí)基礎(chǔ),淡化巧解特法.課堂涉及到的解題方法一定要接地氣,既要能“跳一跳夠得到”,也要能“舊時(shí)王謝堂前燕,飛入尋常百姓家”.

2.4 只顧課前預(yù)設(shè),忽略問(wèn)題生成,“種豆南山下,草盛豆苗稀”.

由于微專(zhuān)題涉及的知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生以前學(xué)過(guò)的,因此許多教師就認(rèn)為:復(fù)習(xí)課不像授課那樣具有較大的探究空間,師生間互動(dòng)的不確定性也較新授課要小,這使得復(fù)習(xí)課教學(xué)過(guò)程往往遵循著教師預(yù)先設(shè)定線(xiàn)路進(jìn)行,把專(zhuān)題的每一個(gè)環(huán)節(jié)都設(shè)想得細(xì)致人微,涉及到哪些知識(shí)點(diǎn),有哪些方法,通過(guò)設(shè)計(jì)好的例題逐個(gè)解決,把教學(xué)內(nèi)容也規(guī)劃得清清楚楚,以期上課時(shí)能一帆風(fēng)順.這些所謂精心的設(shè)計(jì)卻忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要,讓學(xué)生產(chǎn)生一種被教師牽著走的感覺(jué),失去了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性,這也是很多課堂缺乏生命活力的原因之一.

案例3微專(zhuān)題“求曲線(xiàn)的軌跡方程復(fù)習(xí)課”的同課異構(gòu)片斷:

教者1 通過(guò)問(wèn)題串,將求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題一般方法:直譯法、定義法、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)、參數(shù)法、交軌法,通過(guò)例題逐個(gè)對(duì)號(hào)入住.這種把自己構(gòu)建好的“標(biāo)準(zhǔn)”直接“捧給”學(xué)生,要求學(xué)生亦步亦趨地按自己預(yù)想的“科學(xué)程序”進(jìn)行“填空”,當(dāng)學(xué)生“不到位”時(shí),教師想方設(shè)法引其“上位”,當(dāng)學(xué)生“越位”時(shí),教師或強(qiáng)行拉回,或不了了之.

教者2 通過(guò)一個(gè)小題:在ΔABC中,BC=2,頂點(diǎn)A滿(mǎn)足.則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)___.

學(xué)生通過(guò)“直譯”得到方程后,老師突然話(huà)鋒一轉(zhuǎn):你能改變題目中的條件來(lái)提出新的問(wèn)題,并嘗試解答嗎?

學(xué)生2 把B,C看成平面兩個(gè)定點(diǎn),A看成動(dòng)點(diǎn),根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義,把條件“AB=λAC(λ >0)”改為“AB+AC=λ(λ >2)”,頂點(diǎn)A的軌跡方程是去掉與x軸交點(diǎn)的橢圓方程;把條件“AB=λAC(λ >0)”改為“AB?AC=λ(0<λ <2)”,頂點(diǎn)A的軌跡方程去掉與x軸交點(diǎn)的雙曲線(xiàn)一支.

教者2 把該問(wèn)題抽象為動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)距離之和、之差、之比,有沒(méi)有之積呢?

同學(xué)們通過(guò)運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)之積不是熟悉的曲線(xiàn)方程,但有生3 發(fā)現(xiàn)若AB、AC長(zhǎng)度之積改為?→AB·?→AC=λ(λ>0),曲線(xiàn)的方程是去掉與x軸交點(diǎn)的圓的方程.的條件還可以改為哪些?

教者2 若我要求頂點(diǎn)A的軌跡方程是圓或圓弧,這個(gè)θ <π)”.

......

教者2 通過(guò)拋轉(zhuǎn)引玉,一石激起千層浪,學(xué)生在改變題設(shè)條件時(shí)自然的用到了求曲線(xiàn)方程的直譯法、定義法、代入法等方法.這種生成是課堂教學(xué)的寶貴資源,使復(fù)習(xí)課的教學(xué)不是刻板灌輸而是順學(xué)而導(dǎo),體現(xiàn)了教師的教學(xué)智慧.

對(duì)策在運(yùn)用微專(zhuān)題模式教學(xué)時(shí),教師在精心預(yù)設(shè)好問(wèn)題時(shí),要兼顧學(xué)生的生成,要能為學(xué)生提供展示自己的舞臺(tái),使課堂靈動(dòng)充溢,精彩飛揚(yáng).授之以魚(yú)不如授之以漁,我們給學(xué)生一片天地,他們會(huì)還我們一串驚喜!由以往的“草盛豆苗稀”發(fā)展到“忽如一夜春風(fēng)來(lái),千樹(shù)萬(wàn)樹(shù)梨花開(kāi)”.

2.5 只顧糾正錯(cuò)誤,忽略錯(cuò)因破析,“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中”.

在采用微專(zhuān)題教學(xué)中,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),有一些錯(cuò)誤始終是學(xué)生的共性.甚至前面復(fù)習(xí)也已三番五次強(qiáng)調(diào)了,到頭來(lái)仍然“不斷重復(fù)昨天的故事”.不可忽視的一個(gè)原因就是在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)解、在相關(guān)知識(shí)理解與應(yīng)用方面有缺失時(shí),我們漠視了它.

案例4某節(jié)微專(zhuān)題“函數(shù)的最值與極值復(fù)習(xí)課”片斷:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1 處有極值10,則a+b=____.

教師投影了某位學(xué)生的解法:f′(x)=3x2+2ax+b,因?yàn)閤=1 時(shí)函數(shù)有極值10,所以有

得

教者發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的錯(cuò)誤,于是反問(wèn)學(xué)生,兩組解是否都可以嗎?學(xué)生便通過(guò)回代檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)a=3,b=?3 是增根.于是教者提醒學(xué)生以后碰到兩組解要注意檢驗(yàn).學(xué)生求解過(guò)程中出現(xiàn)這種函數(shù)極值點(diǎn)即為導(dǎo)數(shù)為0 時(shí)的解的外現(xiàn)錯(cuò)誤,教者沒(méi)有進(jìn)行深層次挖掘.

筆者認(rèn)為,以后再碰到類(lèi)似問(wèn)題,學(xué)生恐怕還是會(huì)出問(wèn)題.顯然,上述錯(cuò)解產(chǎn)生的根源在于對(duì)函數(shù)極值的定義認(rèn)識(shí)還不全面:導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)只是函數(shù)的駐點(diǎn),它只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件而非充要條件.那么,如何借助上述錯(cuò)解,不僅要加深學(xué)生對(duì)函數(shù)極值點(diǎn)這一知識(shí)的理解與掌握,還要完善學(xué)生在解決函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題的相關(guān)思維呢?教者不妨繼續(xù)追問(wèn):

(1)a=3,b=?3 為什么是增根?一定需要檢驗(yàn)回代嗎?有無(wú)其它途徑?

(2)函數(shù)f(x)在x=1 處有極值10 的充要條件除了f(1)=10 之外,究竟還需要什么?

(3)如何保證x=1 是f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)?

(4)對(duì)于常見(jiàn)三次函數(shù)y=f(x)有極值點(diǎn)x0,還有什么特殊的處理辦法?

通過(guò)這樣系列問(wèn)題串,讓學(xué)生真正理解函數(shù)f(x)在x=x0處有極值的充要條件為x=x0是f′(x)=0 的解,且這個(gè)解是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號(hào)零點(diǎn),若f(x)是三次函數(shù)還有f′(x)=0 中的Δ>0 這種個(gè)性化的處理方法.為了鞏固函數(shù)極值點(diǎn)這個(gè)難點(diǎn),不妨再借題發(fā)揮一下,增加兩個(gè)變式:

變式1f(x)=x3+2x2?ax+1 在區(qū)間(?1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2已知函數(shù)f(x)=(x2?2ax+a2)lnx,若f(x)不存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這種通過(guò)錯(cuò)解剖析、以錯(cuò)糾錯(cuò)來(lái)、變式拓展,有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解、訓(xùn)練學(xué)生思維批判性來(lái)改善其思維品質(zhì),反之,如果學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)解我們只是一味強(qiáng)行拉回,并把正確的解法拋給他們,盡管暫時(shí)學(xué)生會(huì)理解它,但時(shí)間一長(zhǎng),往往又所剩無(wú)幾.若能在數(shù)學(xué)微專(zhuān)題教學(xué)中,從根本上尋找錯(cuò)解的原因,認(rèn)清什么是錯(cuò)誤的,錯(cuò)在何處,為何產(chǎn)生這種錯(cuò)誤,從而探索避免錯(cuò)誤發(fā)生的對(duì)策以及解決問(wèn)題的正確思路、提高解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)確性.

對(duì)策微專(zhuān)題教學(xué)時(shí),對(duì)于易錯(cuò)題,在課堂上要舍得花時(shí)間,給予學(xué)生充分展示的機(jī)會(huì),盡可能暴露其完整的思維過(guò)程,甚至讓全班同學(xué)共享“錯(cuò)解資源”,讓出錯(cuò)的同學(xué)經(jīng)歷由“誤”到“悟”的蛻變,從源頭上防范錯(cuò)誤的再次發(fā)生,真正做到“不識(shí)廬山真面目”到“君自故鄉(xiāng)來(lái),應(yīng)知故鄉(xiāng)事”.

2.6 只顧一題多解,忽略題之源頭,“岸勢(shì)犬牙差互,不可知其源”.

微專(zhuān)題教學(xué)中注重一題多解可以開(kāi)闊學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維,使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,其好處毋庸置疑.但我們?cè)谖?zhuān)題教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),有些老師采用一題多解的訓(xùn)練中存在著一些問(wèn)題:對(duì)各種解法的聯(lián)系和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想挖掘不夠,多解之后沒(méi)有反思總結(jié),沒(méi)有發(fā)現(xiàn)規(guī)律、找出問(wèn)題本質(zhì),對(duì)問(wèn)題本身的源流不清,僅僅使多解成為解法的羅列,一題多解正面臨著諸多偏離初心的問(wèn)題,使得教學(xué)效益大打折扣.

案例5一節(jié)微專(zhuān)題“圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題”的教學(xué)片段:

已知圓C:(x?3)2+(y?4)2=4.過(guò)定點(diǎn)A(1,0)的直線(xiàn)若l1與圓相交于P,Q兩點(diǎn),線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M,又l1與l2:x+2y+2=0 的交點(diǎn)為N,判斷是否為定值?若是求出其定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明其理由.

對(duì)策在微專(zhuān)題教學(xué)中采用一題多解時(shí),不僅要關(guān)注多種解法的獲取,還要善于尋求多解之“源頭”在哪里,挖掘出知識(shí)的聯(lián)系性、系統(tǒng)性,題目哪些條件改變會(huì)導(dǎo)致哪些方法不適用,而哪些方法又會(huì)顯得更容易求解.只有這樣正本清源,才能有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)深刻理解、掌握,改善思維品質(zhì),促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),“問(wèn)渠那得清如許,為有源頭活水來(lái)”.

3 結(jié)語(yǔ)

微專(zhuān)題復(fù)習(xí)不是對(duì)傳統(tǒng)課堂的顛覆與否定,而是對(duì)傳統(tǒng)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式的有益補(bǔ)充和完善,同時(shí)對(duì)教師提出了更高的要求,促使教師去研究、思考、總結(jié),這也是促進(jìn)教師更快成長(zhǎng)的一種有效途徑.只要我們?cè)谑褂眠^(guò)程中能夠揚(yáng)長(zhǎng)避短,就會(huì)改變?cè)究菰?、乏味、重?fù)的高三復(fù)習(xí)模式,提高復(fù)習(xí)課效益.