“黃金比例”的神奇之處

王春曉

黃金比例是一個神奇的常數(shù)，我們通常用希臘字母φ來表示它.它經常出現(xiàn)在很多文學和藝術作品中.如列奧納多·達·芬奇的《蒙娜麗莎》、薩爾瓦多·達利的《最后的晚餐》.

一維的黃金比例還可以延伸為黃金矩形，我們可以根據(jù)以下步驟畫出一個黃金矩形：

1.首先畫一個邊長為a的正方形；

2.然后取正方形的一條邊（比如底邊）的中點，以該中點為圓心，以中點到與對邊相連的一個頂點的距離為半徑畫圓；

3.延長底邊，讓它與圓弧相交，得到的交點便是黃金矩形的一個角的頂點，如圖1.

除了黃金矩形之外，黃金比例φ還有另一個幾何表達，那就是它是一個邊長為1的正五邊形的對角線的長度.如圖2所示.由對角線和底邊形成的邊長為1、φ、φ的等腰三角形BAD，被稱為黃金三角形，它在五重對稱的研究中頻繁出現(xiàn)，例如五角星就是由五個黃金三角形構成的.

黃金比例與斐波那契數(shù)列密切相關.13世紀的意大利數(shù)學家斐波那契曾對這個數(shù)列作出描述.該數(shù)列的前兩項為1，后面的每一項都等于前兩項之和.斐波那契數(shù)列有無數(shù)個項，前十五項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610.

隨著斐波那契數(shù)列項的不斷增多，后一項與前一項之比越來越逼近黃金比例.

而這個數(shù)列最終會收斂到一個熟悉的數(shù)字——1.618…，這個數(shù)列的極限正是黃金比例.只需無限地取越來越小的黃金矩形中的圓弧，就能得到這樣如圖3所示的圖案.

而斐波那契序列在自然界中是真實存在的，比如鸚鵡螺的形狀、星系的形狀、颶風的形狀、甚至玫瑰花瓣的形狀，如圖4、5、6、7.

如圖8，葵花籽以順時針和逆時針方向排列，形成螺線.如果數(shù)一下兩個方向上的螺線，如圖9，就會得到兩個再平常不過的數(shù)字21和34.這兩個數(shù)字在斐波那契數(shù)列中出現(xiàn)過.

毫無疑問，黃金比例是一個非常奇妙的數(shù)字，而真正讓它有別于其他數(shù)字的一個重要屬性是它的無理性.φ是一個無理數(shù)，也就是說它無法被表示成任何分數(shù)，然而更令人驚訝的是，它是無理性最強的一個無理數(shù).這意味著它不僅不能被精確地表示為分數(shù)，甚至很難用分數(shù)來近似表示.這是一個非常特殊的性質.

相比之下，π的連分數(shù)是這樣的：

可以看到它的分母中的數(shù)字都很大，比如7、15、292等.這些大的數(shù)字會使連分數(shù)的誤差小得多.然而，這種用分數(shù)對φ進行近似的困難程度，也使它成為了數(shù)學家和計算機學家在研究同步過程時的一個非常有用的數(shù)字.可以說，雖然黃金比例不同于公眾所想象的那般神奇，但當你了解了它真實的樣子之后，或許會更加驚嘆于數(shù)學的真正魅力！