合理進(jìn)行變量代換，讓解題更加高效

周亞 馮長煥

很多高中數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜，直接求解較為困難，這就要求同學(xué)們熟練掌握一些變換問題的方法，如變量代換法、轉(zhuǎn)化法等.其中，變量代換法在解答數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用非常廣泛.常用的變量代換方法有局部代換法、整體代換法、三角代換法、增量代換法以及復(fù)變量代換法.運用變量代換法能使一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量較多的數(shù)學(xué)問題變?yōu)楹唵巍⒁子谇蠼獾膯栴}，從而達(dá)到化難為易的效果.

一、局部代換法

局部代換法是指將代數(shù)式中的局部用某個新元替換.當(dāng)所求問題中含有多個未知數(shù)時，可以考慮使用局部代換法，將未知數(shù)的個數(shù)減少，從而達(dá)到解題的目的.通過局部代換，便可使復(fù)雜的問題簡單化，有助于提高解題的效率.

我們根據(jù)題目中的變量與不變量，找到解題的突破口，采用三角代換法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，這樣不僅降低了解題的難度，還提高了解題的效率.

我們根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，求出各點、向量的坐標(biāo)，并設(shè)出PQ與x軸之間的夾角，借助三角換元法與向量的數(shù)乘運算法則求得目標(biāo)式，再將問題視為求三角函數(shù)最值問題，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

四、增量代換法

變量代換法是一種重要的解題方法，同學(xué)們掌握了常用的變量代換法，在解題的過程中根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、特點，合理進(jìn)行局部代換、整體代換、三角代換、增量代換、復(fù)變量代換，便可將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化熟悉的、簡單的問題來求解，這樣能有效提高解題的效率.

（作者單位：西華師范大學(xué)）