巧用放縮法證明不等式

桂洪彬

放縮法是利用不等式的同向傳遞性，對(duì)所要求證的目標(biāo)進(jìn)行合理的放大或縮小，以達(dá)到證明不等式成立的方法.采用放縮法證明不等式，要充分挖掘題設(shè)中的條件信息，把條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化、放縮，同時(shí)結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)、形式等特征，使條件與結(jié)論建立聯(lián)系，從而解題.其中合理、適當(dāng)?shù)姆趴s代數(shù)式是能否順利解題的關(guān)鍵，那么如何進(jìn)行放縮呢？

一、添項(xiàng)或減項(xiàng)

我們可在不等式的左右添加或去掉某一項(xiàng)或部分項(xiàng)，從而將不等式放縮.這是一種比較常用的解題思路.

二、換元放縮

對(duì)不等式的某一部分進(jìn)行換元處理，可使問(wèn)題的本質(zhì)顯露出來(lái)，然后再進(jìn)行放縮變換，就能達(dá)到證明不等式的目的.

四、裂項(xiàng)放縮

若目標(biāo)不等式是與自然數(shù)n有關(guān)的前n項(xiàng)和，則可采用數(shù)列中的裂項(xiàng)求和的方法來(lái)求出數(shù)列的和，然后將和式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，便可順利證明結(jié)論.運(yùn)用該方法證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式問(wèn)題非常有效.

可見(jiàn)，在使用放縮法證明不等式時(shí)，要注意放和縮的“度”，否則就不能實(shí)現(xiàn)同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法的一個(gè)重要步驟.

（作者單位：河南省駐馬店市西平縣高級(jí)中學(xué)）