復(fù)質(zhì)心體的性質(zhì)

金 天, 冷崗松

(上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444)

Busemann-Petty 質(zhì)心體不等式是一個(gè)非常重要的仿射等周不等式[1-2], 其應(yīng)用正被廣泛研究[3-5].下面給出Busemann-Petty 質(zhì)心體不等式研究的質(zhì)心體的定義.

給定一個(gè)內(nèi)部非空的凸體K ?Rn,它的質(zhì)心體ΓK的支撐函數(shù)為[6]

式中: 積分是關(guān)于Lebesgue 測度;“·” 表示標(biāo)準(zhǔn)的歐氏內(nèi)積;u、x表示變量.

令K0(Cn)表示包含原點(diǎn)在內(nèi)部的復(fù)凸體所構(gòu)成的集合, 下面給出質(zhì)心體的定義.

定義1[7]關(guān)于K ∈K0(Cn)的復(fù)質(zhì)心體ΓCK的支撐函數(shù)定義為

式中: 積分是關(guān)于Lebesgue 測度在關(guān)于R2n和Cn標(biāo)準(zhǔn)同胚下的拉回;Cu:={cu:c ∈C},C為復(fù)平面上的凸體.注意到|u·x|=h[?1,1]u(x),這說明了復(fù)質(zhì)心體是經(jīng)典質(zhì)心體的推廣.

1 預(yù)備知識(shí)

Rn表示n維歐氏空間,Kn是Rn中凸體(非空緊凸集)的集合.表示Rn中所有原點(diǎn)在內(nèi)部的凸體的集合.Cn表示n維復(fù)空間,K(Cn)定義為Cn中所有凸體的集合,K0(Cn)定義為Cn中所有原點(diǎn)在內(nèi)部的凸體的集合.復(fù)凸體K的體積記為|K|[8].

若K ∈Kn, u ∈Sn?1,則凸體K的支撐函數(shù)為[9]

并記h(K,u)=hK(u).

若ιK是R2n中的一個(gè)凸體,那么集合K ?Cn可以被稱為一個(gè)復(fù)凸體.記ι: Cn →R2n為標(biāo)準(zhǔn)同構(gòu)[6,10-11], 即有

式中:R、S分別是實(shí)部和虛部.不難驗(yàn)證

式中: “·”表示R2n中的標(biāo)準(zhǔn)歐氏內(nèi)積.

下面給出復(fù)凸體的支撐函數(shù).

一個(gè)凸體K是被它的支撐函數(shù)hK:Cn →R 唯一確定的, 即有

對于一個(gè)復(fù)數(shù)c ∈C,記為其共軛,|c|為其模長.用“·”表示Cn內(nèi)積, 即x·y=x ?y,?x,y ∈Cn.B表示{c ∈Cn:c·c≤1}的單位球,Sn表示單位球面{c ∈Cn:c·c=1}.

對?K,L ∈K(Cn), α,β≥0(α、β不同時(shí)等于0),則其Minkowski 線性組合為[8]

式(5)等價(jià)于

根據(jù)復(fù)凸體支撐函數(shù)的定義,對于K,L ∈K(Cn),顯然有

由上可知, 一個(gè)凸體與其支撐函數(shù)是一一對應(yīng)的.

2 性 質(zhì)

下面研究復(fù)質(zhì)心體的基本性質(zhì),探究復(fù)質(zhì)心體在復(fù)平面上是否滿足線性性, 以及凸體和的復(fù)質(zhì)心體與復(fù)質(zhì)心體和的某種包含關(guān)系, 并進(jìn)一步推廣到若干個(gè)凸體的情況.

定理1對λ1,λ2>0,若K ∈K0(Cn), C1,C2∈K(C),則有

證明 根據(jù)式(2)可知,ΓC1+C2K的支撐函數(shù)為

結(jié)合式(5)和(6), 由支撐函數(shù)的線性性可得

因?yàn)橥贵w與其支撐函數(shù)是一一對應(yīng)的,故有

因此,ΓCK的線性性得證.

定理2對λ≥0,若C ∈K(C),K ∈K0(Cn), 則有

證明 根據(jù)式(2)可以寫出ΓC(λK)的支撐函數(shù),并結(jié)合式(5)和(6)有

故有

故定理2 得證.

定理3對K,L ∈K0(Cn),C ∈K(C),則有

證明 根據(jù)復(fù)質(zhì)心體支撐函數(shù)的定義, 可得

故有

故定理3 得證.

顯然根據(jù)上面的研究, 可以推廣到n個(gè)凸體的情況.

推論1令C ∈K(C),K1,K2,··· ,Kn ∈K0(Cn),則有

證明略.