數(shù)形結(jié)合：有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

陳麗英

（福建泉州豐澤區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建泉州 362000）

引 言

“數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！比A羅庚先生在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》中深刻指明了數(shù)形結(jié)合思想的價值[1]。綜觀整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)，始終離不開“數(shù)”與“形”。直觀為“形”的優(yōu)勢，準(zhǔn)確為“數(shù)”的特點(diǎn)，將數(shù)與形聯(lián)系起來，能讓抽象的數(shù)形象化，讓直觀的形凸顯其內(nèi)涵。數(shù)與形的結(jié)合，可以幫助學(xué)生感悟概念、理解算理、掌握數(shù)量關(guān)系，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合，抽象概念完善數(shù)系

心理學(xué)研究表明，7～13歲的孩子是以形象思維為主導(dǎo)的?；谶@樣的思維特點(diǎn)，為了讓小學(xué)生理解抽象的概念，教師需要為他們提供一定的媒介幫助。我們知道，數(shù)的認(rèn)識起源于“形”，發(fā)展于“形”。在教學(xué)中，教師如果能合理利用方格、數(shù)軸等直觀圖形，以圖助數(shù)，必定能幫助學(xué)生深化對數(shù)的認(rèn)識，使其逐漸抽象形成數(shù)的概念。

例如，在學(xué)生初步認(rèn)識小數(shù)的意義后，教師可以利用數(shù)軸，帶領(lǐng)學(xué)生通過“形”感知數(shù)的大小關(guān)系，將小數(shù)納入已有的知識體系中，從而逐步完善數(shù)的體系。

師：大家能找到1.7的位置嗎（見圖1）？

生：找不到，1.7已經(jīng)超過1 了。

師：要找到1.7，該怎么做？

生：把線段向右邊延伸，先找到2（見圖2）。

師：1.7可能在哪兩個整數(shù)之間呢？

生：整數(shù)1和2之間。

師：現(xiàn)在知道怎么找到1.7嗎？

生：把1和2之間的線段平均分成10份。每份是0.1，從0數(shù)到1后，繼續(xù)數(shù)7個0.1，就是1.7（見圖3）。

圖1

學(xué)生在數(shù)軸的直觀支撐下，找到每個小數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上的位置越往后數(shù)越大，越往前數(shù)越小，加深了對小數(shù)的認(rèn)識，感悟到極限的思想。同時，學(xué)生從更宏觀的角度審視數(shù)的集合與排序，進(jìn)一步發(fā)展了數(shù)感。

二、數(shù)形結(jié)合，理解算理融通算法

運(yùn)算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出的學(xué)生應(yīng)具備的十大核心能力之一。《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力的關(guān)鍵首先是幫助學(xué)生理解運(yùn)算算理，其次讓學(xué)生掌握運(yùn)算的計(jì)算方法[2]。算理是學(xué)生形成計(jì)算方法的基石，但學(xué)生的認(rèn)知能力有限，要真正感悟算理存在一定難度。化數(shù)為形，將數(shù)學(xué)運(yùn)算與空間圖形巧妙地結(jié)合，能很好地將算理與計(jì)算方法聯(lián)系起來，幫助學(xué)生深刻地理解算理。

三、數(shù)形結(jié)合，解決問題提升能力

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生理解題中的數(shù)量關(guān)系遇到困難時，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試進(jìn)行畫圖，幫助學(xué)生將相對抽象的思考對象“圖形化”，使形象思維和邏輯思維緊密結(jié)合，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

例題：“一杯牛奶，淘氣喝了半杯后，兌滿了熱水。他又喝了半杯。問淘氣一共喝了多少杯牛奶？多少杯水？”這道題目中，第二次“又喝了半杯”，這半杯中到底有多少水？有多少牛奶？這是學(xué)生難以理解的地方，也是解題的關(guān)鍵。面對這樣比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，筆者為學(xué)生預(yù)留了充分思考的時間和空間，鼓勵他們依據(jù)題意嘗試進(jìn)行畫圖，找準(zhǔn)數(shù)量和圖形的契合點(diǎn)，厘清牛奶和水兩個量之間的關(guān)系，逐步找到解決分?jǐn)?shù)問題的思路。

不同的學(xué)生有了不同的畫圖表達(dá)方式，但可以看出他們的思路基本相似：兌滿水后的杯子里依然只有杯牛奶，也就是第二次喝的是剩下的杯牛奶的一半，即整杯牛奶的這樣，學(xué)生分析題目有圖有據(jù)，思考聯(lián)想有所依托，抽象的數(shù)量關(guān)系便慢慢明朗清晰起來。通過畫圖分析，學(xué)生選取有效信息進(jìn)行破題。這是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行思考的一種能力，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑。

四、數(shù)形結(jié)合，探索規(guī)律發(fā)展思維

探索給定的情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢，這是《課程標(biāo)準(zhǔn)》第二學(xué)段“探索規(guī)律”的教學(xué)要求。數(shù)學(xué)規(guī)律往往是事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，是內(nèi)隱的。數(shù)形結(jié)合正是在內(nèi)隱的規(guī)律與外顯的表達(dá)形式之間搭建了一座“橋”，以數(shù)解形，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的層層拓展，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀和合情推理能力。

例如，在教學(xué)“數(shù)圖形的學(xué)問”一課時，教師利用“鼴鼠鉆洞”的生活情境，在學(xué)生充分探究之后，引導(dǎo)學(xué)生巧妙地利用“數(shù)”的精確性，描述“形”表現(xiàn)出來的規(guī)律，幫助學(xué)生進(jìn)一步概括數(shù)學(xué)規(guī)律，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生經(jīng)歷了從簡單入手到探索復(fù)雜規(guī)律的體驗(yàn)過程，通過觀察、思考、交流、討論等數(shù)學(xué)活動，初步感知點(diǎn)數(shù)、增加的線段數(shù)和總線段數(shù)三者之間的聯(lián)系，找到數(shù)線段的規(guī)律，并嘗試用算式記錄數(shù)圖形的規(guī)律，感悟用“形”來探尋數(shù)學(xué)規(guī)律的直觀性和用“數(shù)”來表達(dá)規(guī)律的簡潔性，體會數(shù)學(xué)規(guī)律之美。這不僅豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力。

結(jié) 語

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特曾談道：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！痹谌粘＝虒W(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生心智發(fā)展水平和數(shù)學(xué)知識本身的特點(diǎn)，適時地滲透數(shù)形結(jié)合思想，直至學(xué)生能自主運(yùn)用這一方法研究數(shù)學(xué)，從而真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。