數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“三角函數(shù)”教材內(nèi)容變革①

張定強(qiáng) 梁會(huì)芳 楊 怡

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院 730070)

1 研究背景

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的重要抓手，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)教材.新一輪的教材修訂是在貫徹《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》基本理念與要求的基礎(chǔ)上，秉持繼承創(chuàng)新的原則，通過(guò)對(duì)已有教材的分析思考、調(diào)研論證，重新建構(gòu)了教材的編寫思路與表征方式，力求充分地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).三角函數(shù)作為一類典型的周期函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中占據(jù)著重要地位.本文基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的視角，通過(guò)對(duì)比人教社2004年出版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4(A版)》[1](簡(jiǎn)稱2004年版)與2019年出版的《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)(A版)》[2](簡(jiǎn)稱2019年版)的“三角函數(shù)”內(nèi)容的變革，以期為數(shù)學(xué)課程改革中新教材的使用提供一定的參考素材.

2 教材內(nèi)容變革的對(duì)比分析

教材是學(xué)生獲取知識(shí)的重要來(lái)源，也是教師開(kāi)展有效教學(xué)的重要依據(jù).數(shù)學(xué)教材的編寫必須全面落實(shí)立德樹(shù)人的基本要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，下面結(jié)合兩版教材的結(jié)構(gòu)表征與內(nèi)容特征，從順序安排、欄目設(shè)置、圖表設(shè)置、例習(xí)題設(shè)置、知識(shí)要素、素養(yǎng)要素等幾個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行對(duì)比分析[3]，解讀兩版教材在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的重要變革.

2.1 教材結(jié)構(gòu)表征分析

2.1.1 編排順序

對(duì)新舊兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行比較分析，其分布情況如表1所示.

表1 新舊教材三角函數(shù)部分內(nèi)容分布情況

2004年版將其安排在必修4，并分兩章呈現(xiàn)，中間間隔一章；2019年版圍繞函數(shù)主線對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)重構(gòu)，將所涉及的內(nèi)容調(diào)整到必修第一冊(cè)的第五章，與函數(shù)的概念、性質(zhì)、基本初等函數(shù)等構(gòu)成一個(gè)整體，更加凸顯了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯連貫性以及思想方法的前后一致性，有助于教師進(jìn)行“三角函數(shù)”主題單元教學(xué)設(shè)計(jì).

2.1.2 欄目設(shè)置

教材中的欄目是表征知識(shí)的一種方式，也是體現(xiàn)教材建構(gòu)特色的一種形式，蘊(yùn)含著豐富的教育教學(xué)價(jià)值.對(duì)新舊兩版教材欄目設(shè)置進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表2所示.

表2 新舊教材欄目設(shè)置

由表2可知，新舊兩版教材的欄目設(shè)置類型豐富，使教材更具趣味性、拓展性與應(yīng)用性.2019年版新增的“歸納”、“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”、“數(shù)學(xué)建?！?、“數(shù)學(xué)探究”等欄目，使數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)據(jù)此落到實(shí)處；統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，2019年版在三角函數(shù)這一內(nèi)容新增10個(gè)“探究”欄目，是2004年版的近2倍，足見(jiàn)2019年版十分注重?cái)?shù)學(xué)探究思想的滲透，以強(qiáng)化學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神；就欄目的編排順序而言，2019年版對(duì)舊版部分欄目的順序進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，如“振幅、周期、頻率、相位”這一閱讀與思考欄目，在修訂的過(guò)程中將其后移至“三角函數(shù)的應(yīng)用”一節(jié)習(xí)題后，更符合學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣；就欄目的內(nèi)容結(jié)構(gòu)來(lái)看，2019年版在吸收、繼承舊版經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)性地穿插了一些開(kāi)放性的問(wèn)題，以引發(fā)學(xué)生思考，揭示知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，從而拓展學(xué)生的思維方式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.1.3 圖表設(shè)置

圖表作為表征數(shù)學(xué)知識(shí)的重要工具，可以使學(xué)生直觀、形象地理解抽象的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì).對(duì)新舊兩版教材中圖表的設(shè)置情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3所示.其中解釋圖是指除函數(shù)圖象之外教材中文字描述時(shí)作為例子相應(yīng)出現(xiàn)的圖以及例習(xí)題所對(duì)應(yīng)圖形[3].

表3 新舊教材三角函數(shù)部分圖表設(shè)置

三角函數(shù)作為一類典型的周期函數(shù)，借助單位圓及其圖象可以更直觀地探究其概念、性質(zhì)與應(yīng)用，由表3可以看出，兩版教材在編排的過(guò)程中其解釋圖與函數(shù)圖占比較大.此外，兩版教材圖表的使用頻率存在一定的差異，2004年版這部分內(nèi)容分兩章，共96頁(yè)，其中課文插圖、習(xí)題配圖共81幅，平均圖文比為0.84；而2019年版僅一章，共91頁(yè)，其中課文插圖、習(xí)題配圖共90幅，平均圖文比高達(dá)0.99，2019年版的圖表使用頻率高于舊版，更有助于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

2.1.4 例習(xí)題設(shè)置

例習(xí)題是教材體系的重要組成部分，承擔(dān)著鞏固新知與訓(xùn)練思維的作用.現(xiàn)就新舊教材中的例習(xí)題從數(shù)量、類型兩個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析.

(1)例習(xí)題的數(shù)量

對(duì)新舊兩版教材三角函數(shù)部分例、習(xí)題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如圖1所示.

圖1 新舊教材三角函數(shù)部分習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)情況

如圖1表明，2019年版三角函數(shù)部分的例習(xí)題總量略低于2004年版，是在2004年版例習(xí)題的基礎(chǔ)上重新審視與篩選，保留原有習(xí)題190道，刪除部分重復(fù)、繁瑣、過(guò)難、超標(biāo)的題目68道，新增49道，有效地提高了例習(xí)題的針對(duì)性與有效性.具體而言，例題作為數(shù)學(xué)思維的示范引領(lǐng)，在2019年版中，保留原有例題33道，新增7道，刪減7道，并依據(jù)實(shí)際背景及前后銜接，部分保留題目的數(shù)據(jù)及內(nèi)容做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整；練習(xí)題承擔(dān)著鞏固知識(shí)、反饋教學(xué)的功能與作用，2019年版保留原有練習(xí)題63道，新增19道，刪減13道，2處合并，并根據(jù)這部分內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求，部分題目的小題數(shù)量有所增減；習(xí)題承擔(dān)著深化理解、拓展知識(shí)、學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的功能，在此次修訂中，保留原有習(xí)題94道，新增23道，刪減48道，18處合并，且習(xí)題的層次劃分由原先的“A組”、“B組”變?yōu)椤皬?fù)習(xí)鞏固”、“綜合運(yùn)用”、“拓廣探索”三部分，由淺入深，使學(xué)生在鞏固練習(xí)、綜合應(yīng)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)基本思想.總體而言，2019年版例習(xí)題系統(tǒng)的容量更加科學(xué)、準(zhǔn)確，針對(duì)性更強(qiáng).

(2)例習(xí)題的類型

教材中多樣的例習(xí)題類型不僅可以促進(jìn)學(xué)生鞏固和掌握知識(shí)點(diǎn)，而且可以提高學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).對(duì)新舊兩版教材三角函數(shù)部分習(xí)題的類型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表4所示.

表4 新舊教材三角函數(shù)部分習(xí)題類型分布

總體上看，兩版教材題型基本相同，都以傳統(tǒng)題型為主.由于三角函數(shù)部分涉及公式較多，且變化靈活，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)要求較高，因此2019年版教材在建構(gòu)中，延續(xù)舊版計(jì)算題居多的特點(diǎn)，通過(guò)反復(fù)的計(jì)算練習(xí)，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解和記憶；此外，選擇題的比例有所上升且簡(jiǎn)答題的比例下降，由于選擇題是各類考試常見(jiàn)的題型，增加其比例有助于彌補(bǔ)以往學(xué)考不協(xié)調(diào)的弊端；探究題與作圖題是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力的主要載體，基本保持原有的建構(gòu)體例，事實(shí)上還可適當(dāng)增加題類的開(kāi)放度與占比，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和直觀想象等素養(yǎng).

2.2 教材內(nèi)容特征分析

2.2.1 知識(shí)要素分析

(1)知識(shí)比重

所謂知識(shí)的比重，是指各知識(shí)點(diǎn)占教材編排體系的比重.由表1可知，新舊教材除了編排體系有所不同之外，所包含的知識(shí)內(nèi)容基本一致.對(duì)新舊教材三角函數(shù)部分各知識(shí)所占比重進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表5所示.

表5 新舊教材三角函數(shù)部分各知識(shí)所占比重

由表5可得，在“三角函數(shù)概念”部分，通過(guò)對(duì)“三角函數(shù)線”這一知識(shí)點(diǎn)的刪減，知識(shí)比重雖有所下降，但2019年版在修訂的過(guò)程中，以簡(jiǎn)馭繁，通過(guò)利用單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律引入概念，更有利于學(xué)生把握知識(shí)的本質(zhì).此外，三角函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)模型，2019年版中“圖象與性質(zhì)”所占知識(shí)比重在2004年版的基礎(chǔ)上，上升了4.1個(gè)百分點(diǎn)，占比高達(dá)37.9%，強(qiáng)化了這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí).另外，三角函數(shù)部分總共包含22個(gè)公式，且變化靈活，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)要求較高，2019年版注重借助單位圓的性質(zhì)直觀明了地導(dǎo)出公式，更有助于學(xué)生的理解與掌握.而三角函數(shù)的模型應(yīng)用是學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)的價(jià)值與作用、增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)的重要載體，但新舊兩版教材“三角函數(shù)的應(yīng)用”占比相對(duì)都比較小，有待提高.

(2)學(xué)科知識(shí)聯(lián)系

隨著跨學(xué)科知識(shí)融合的STEM教育的不斷推進(jìn)，學(xué)科知識(shí)的整合取向成為學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)新的載體.教材通過(guò)尋找不同學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)與整合點(diǎn)，使各學(xué)科知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)化，更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)建立完整的認(rèn)知.通過(guò)對(duì)新舊教材三角函數(shù)部分所融入的各學(xué)科知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如表6所示.

表6 新舊教材學(xué)科知識(shí)聯(lián)系對(duì)比分析

表6顯示，新舊兩版教材三角函數(shù)部分學(xué)科知識(shí)的融入從類型上來(lái)說(shuō)基本一致，都涉及了物理、信息技術(shù)、地理、天文、歷史等多個(gè)學(xué)科.其中，物理與信息技術(shù)方面融入最多，地理、天文方面次之，物理當(dāng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及交變電流都是研究三角函數(shù)的理想模型.但從融合方式及融合深度上來(lái)說(shuō)，兩版教材存在一定的差異.如在信息技術(shù)的應(yīng)用方面，2004年版與信息技術(shù)的融合停留在表層，應(yīng)用形式單一，大多是利用計(jì)算器進(jìn)行繁瑣計(jì)算，未能真正有效發(fā)揮信息技術(shù)的價(jià)值和作用.而2019年版充分落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的信息技術(shù)與課程深度融合的理念，注重信息技術(shù)應(yīng)用的多樣化，如利用信息技術(shù)工具進(jìn)行角度制與弧度制的單位互換、探究三角函數(shù)圖象以及借助信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，將信息技術(shù)由計(jì)算工具演變成數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究工具與認(rèn)知工具，以此形象化地說(shuō)明周期變化現(xiàn)象，增強(qiáng)了教材的直觀性.

2.2.2 素養(yǎng)要素分析

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)，同時(shí)也是教材編寫的根本宗旨[4].數(shù)學(xué)教材內(nèi)容素材的選取與編排、學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與創(chuàng)新以及習(xí)題系統(tǒng)的構(gòu)建與形成都必須以培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo).

(1)概念引入中的素養(yǎng)

三角函數(shù)作為一類最典型的周期函數(shù)，在章節(jié)起始，教材就通過(guò)學(xué)生所熟悉的周而復(fù)始的自然現(xiàn)象引入研究對(duì)象，使其研究問(wèn)題顯性化，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.此外，概念的建構(gòu)過(guò)程實(shí)則是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)完函數(shù)的相關(guān)概念之后的“下位學(xué)習(xí)”，2019年版編寫者充分利用學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)當(dāng)中圓的性質(zhì)、相似形的知識(shí)以及研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)等，從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，使學(xué)生從以“代數(shù)運(yùn)算”為對(duì)應(yīng)關(guān)系過(guò)渡到以“幾何元素”為媒介的函數(shù)定義方式，以此破除學(xué)生已有思維體系當(dāng)中研究函數(shù)模型的思維定勢(shì)[5]，不僅有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的整體性以及研究問(wèn)題方法的多樣性，同時(shí)借助單位圓直觀特點(diǎn)，有助于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

(2)知識(shí)建構(gòu)中的素養(yǎng)

2019年版“三角函數(shù)”內(nèi)容的編排，充分依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，遵循章建躍教授所提出的研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路：背景—概念—性質(zhì)—特殊性質(zhì)—應(yīng)用，通過(guò)對(duì)具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容加以分析與重組，構(gòu)建了一個(gè)研究三角函數(shù)模型的具體路徑：從周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象出發(fā)，通過(guò)任意角與弧度制等預(yù)備知識(shí)的學(xué)習(xí)，利用單位圓上點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)給出三角函數(shù)的概念，進(jìn)而通過(guò)圖象探究其性質(zhì)，并加以應(yīng)用.通過(guò)這種嚴(yán)密的邏輯建構(gòu)，使學(xué)生建立整體理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，在研究問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)與素養(yǎng)的融合.教師在教學(xué)過(guò)程中，要注重教材和教學(xué)主題思想的一致性，在整體研究思路的指導(dǎo)下，將知識(shí)局部系統(tǒng)化，加強(qiáng)主題單元教學(xué)的設(shè)計(jì)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

(3)思想方法中的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體.2019年版十分注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的顯性化，如通過(guò)“探究”、“思考”、“歸納”等欄目的設(shè)置，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中掌握類比、歸納、推理等數(shù)學(xué)思想；通過(guò)借助單位圓的直觀特點(diǎn)及性質(zhì)對(duì)三角函數(shù)的整章進(jìn)行研究，使數(shù)形結(jié)合的思想貫穿始終.此外，教材從章引言提供的情景出發(fā)，使學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度審視三角函數(shù)的意識(shí)，并通過(guò)學(xué)科背景之間的聯(lián)系，使學(xué)生螺旋上升抽象出三角函數(shù)模型，在反復(fù)理解與應(yīng)用的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)教材為數(shù)學(xué)教學(xué)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，也是承載數(shù)學(xué)思想、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)資源.基于以上新舊兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容的對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)2019年版不斷地凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，無(wú)論是教材的結(jié)構(gòu)表征，還是內(nèi)容特征都著力于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透.因此教師在解讀和運(yùn)用教材時(shí)，要在注重?cái)?shù)學(xué)思想方法滲透的基礎(chǔ)上著力于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；在注重知識(shí)系統(tǒng)化理解的基礎(chǔ)上強(qiáng)化單元教學(xué)設(shè)計(jì)；在強(qiáng)化信息技術(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)上重視學(xué)科間的縱橫聯(lián)系.