例談解答零點問題的兩個技巧

張舒

零點問題在函數(shù)中比較常見，側重于考查函數(shù)的圖象和性質、導數(shù)的性質、方程的判別式、根與系數(shù)的關系、不等式的性質以及零點存在性定理等.在解答零點問題時，同學們要先明確函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點之間的等價關系，將三者進行等價轉換，然后靈活運用導數(shù)、函數(shù)、不等式、方程等相關知識來解題.下面重點介紹解答零點問題的兩個技巧，以幫助同學們拓寬解題的思路.

一、多次求導

對函數(shù)進行多次求導的目的是為了明確零點的所在區(qū)間，這就需用到零點存在性定理，或根據(jù)函數(shù)的單調性確定函數(shù)的大致圖象.因此在解題時，同學們一定要明確解題的思路和求解的目標.

二、構造函數(shù)

當遇到含有參數(shù)的函數(shù)零點問題時，可用運用構造函數(shù)的技巧來解題.首先可將函數(shù)式變形，使參數(shù)與變量分離，把不含參數(shù)的式子構造成新的函數(shù)，或者直接根據(jù)函數(shù)式的特點構造新函數(shù).若遇到含有對數(shù)、指數(shù)的函數(shù)式，可對函數(shù)求導，通過分析導函數(shù)來確定函數(shù)的單調性和最值.若遇到較為簡單的函數(shù)式，可直接討論函數(shù)的圖象和性質，確定函數(shù)的單調性和最值，繼而結合參數(shù)的取值，對函數(shù)進行分類討論便可解題.

我們先將函數(shù)進行變形，然后構造出新函數(shù)h（x），通過研究h（x）的導函數(shù)來確定函數(shù)h（x）的單調性和最值，再根據(jù)函數(shù)在單調區(qū)間內的圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)，進而求得a的值.

零點問題具有較強的綜合性，同學們在解答此類問題時，要注意把握函數(shù)、不等式、方程、導函數(shù)與零點之間的關系，對問題進行合理的轉化.同時要學會運用數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化思想來輔助解題.

（作者單位：江蘇省張家港市塘橋高級中學）