涉及Riemann-Liouville分數(shù)階積分的一個多參數(shù)Hermite-Hadamard型不等式

李秋月,吳藝婷

(中國計量大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)凸函數(shù),則

(1)

不等式(1)稱為Hermite-Hadamard不等式[1],該不等式有許多推廣、引申和變形[2-4]。近年來,這類不等式研究的發(fā)展勢頭十分強勁。一方面,由推廣凸函數(shù)而相應(yīng)產(chǎn)生大量的Hermite-Hadamard型不等式[5-7];另一方面,分數(shù)階微積分與Hermite-Hadamard型不等式研究的結(jié)合,使Hermite-Hadamard型不等式的研究空間得以不斷拓展[8-9]。下面首先介紹與本文相關(guān)的一些結(jié)果。

針對Hermite-Hadamard不等式的中間項與最右項之差的上界估計,在|f′|q(q≥1)為凸函數(shù)的條件下,文獻[10]建立如下關(guān)于區(qū)間端點一階導(dǎo)數(shù)值的不等式:

(2)

文獻[11]在|f″|q(q≥1)為凸函數(shù)的條件下,建立關(guān)于區(qū)間端點二階導(dǎo)數(shù)值的不等式:

(3)

文獻[12][13]將不等式(2)和(3)推廣到s-凸函數(shù)的情形,分別給出如下當(dāng)|f′|q,|f″|q(q≥1)為s-凸函數(shù)時的不等式:

(4)

(5)

受不等式(2)(3)(4)(5)的啟發(fā),本文在Riemann-Liouville分數(shù)階積分下建立上述不等式的一種統(tǒng)一的推廣形式。在闡述主要結(jié)果前,下一節(jié)我們先介紹一些需要用到的定義和引理。

1 定義和引理

f(tx+(1-t)y)≤tsf(x)+(1-t)sf(y),

則稱函數(shù)f為s-凸函數(shù)。顯然,當(dāng)s=1時,s-凸函數(shù)即為通常意義下的凸函數(shù)。

2F1(a,b;c;z)=

(6)

為表述方便,下文中我們記

(7)

證明:當(dāng)n=1時,有

所以當(dāng)n=1時,等式(7)成立。

假設(shè)當(dāng)n=m-1時,等式(7)成立,即

(8)

當(dāng)n=m時,運用分部積分,得

(9)

另一方面,經(jīng)計算得

(10)

因此,由等式(8)(9)(10)得到

所以當(dāng)n=m時,等式(7)成立,從而引理2得證。

2 主要結(jié)果

(11)

其中

證明:運用引理2以及H?lder不等式得

記

則由|f(n)|q是s-凸函數(shù)得

因此,定理1得證。

3 若干推論

(12)

證明:在定理1中,令θ1=θ2=0,n=1得

(13)

將(13)式中的積分用超幾何函數(shù)表示即得(12)式,從而推論1得證。

(14)

證明:在定理1中,令θ1=θ2=1,n=2得

(15)

將(15)式中的積分用超幾何函數(shù)表示即得(14)式,從而推論2得證。

在推論1中,令α=1可得如下推論:

(16)

證明:因為

在(12)式中令α=1,并將上式帶入即得(16)式,從而推論3得證。

在推論2中,令α=1可得如下推論:

(17)

證明:因為

在(14)式中令α=1,并將上式帶入即得(17)式,從而推論4得證。

4 結(jié) 語

本文在Riemann-Liouville分數(shù)階積分下,通過s-凸函數(shù)建立一個多參數(shù)Hermite-Hadamard型不等式。主要結(jié)果(定理1)給出了以往文獻中一些結(jié)果的統(tǒng)一推廣和加細。作為應(yīng)用,我們利用超幾何函數(shù)的積分表示,從中進一步推導(dǎo)出若干新的Hermite-Hadamard型不等式。特別是,主要結(jié)果中當(dāng)參數(shù)取特殊值時便得到以往文獻中的一些重要結(jié)果。本文結(jié)果還可以移植到更多類型的凸函數(shù)中,如:(α,m)-凸函數(shù)、h-凸函數(shù)、預(yù)不變凸函數(shù)、擬凸函數(shù)、強凸函數(shù)等廣義凸函數(shù)。