基于位置誤差敏感度的機(jī)床導(dǎo)軌幾何誤差辨識方法1

彭偉超，黃劍鋒，魏曉慧

（惠州學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，廣東 惠州 516007）

精密加工機(jī)床廣泛用于航空、手機(jī)、汽車、儀器儀表等領(lǐng)域內(nèi)精密零部件制造［1-2］.誤差測量作為提高機(jī)床幾何精度基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，如何準(zhǔn)確測量或辨識誤差項成為國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點［3］.由于誤差辨識需借助測量儀器的空間位姿，空間位姿的擺放誤差影響機(jī)床的測量精度，故需對機(jī)床測量誤差辨識模型進(jìn)行誤差敏感度分析.

由于直接測量機(jī)床誤差非常耗時且復(fù)雜［4］，間接的數(shù)控機(jī)床空間誤差測量辨識方法引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行廣泛而深入的研究，先后出現(xiàn)了9線法［5］、10線法［6］，14線法［7］、激光跟蹤法［8］、基于激光干涉儀三坐標(biāo)測量機(jī)綜合誤差檢定［9］和基于開普勒激光干涉儀分步對角線法［10］等.其中，九線法是一般辨識3軸機(jī)床誤差項常用的方法.目前國內(nèi)外眾多學(xué)者已應(yīng)用九線位移辨識法對3軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差項的辨識和補償.如：劉又午［3］通過9線辨識法理論，辨識三坐標(biāo)立式加工中心整個工作空間共21項幾何誤差參數(shù)，并驗證了方法的正確性；王金棟［8］以九線法的誤差分離原理為基礎(chǔ)，對雙驅(qū)立式銑床進(jìn)行幾何誤差分離；胡建忠［11］基于九線位移法對DM1007數(shù)控銑床進(jìn)行幾何誤差識別.目前針對測量儀器擺放誤差的敏感度分析文獻(xiàn)還較少，基于九線法辨識高精度機(jī)床誤差項時，辨識精度有待進(jìn)一步提高.

在實際測量中由于九線法缺少分析角度偏差的影響，引起其辨識結(jié)果與真實測量結(jié)果之間存在差距［12］.本文針對九線法在實際測量中，在同一個基準(zhǔn)坐標(biāo)系下，不同的擺放位置對求解結(jié)果影響的情況，首先通過相鄰體運動位移誤差理論，建立九線法誤差辨識模型，然后通過矩陣微分法對九線法進(jìn)行單軸測量位置誤差敏感度分析，建立位置誤差敏感度數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型計算敏感度系數(shù)，最后根據(jù)系數(shù)的大小從而選擇最優(yōu)測量擺放位置，提高機(jī)床空間誤差辨識的精度.

1 機(jī)床幾何誤差參數(shù)九線位移誤差辨識法

根據(jù)精密多軸數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)和運動特點，分析其單軸運動平臺與基座的運動關(guān)系，用齊次變換矩陣表示運動平臺與基座的運動誤差量的關(guān)系，推導(dǎo)出運動平臺相對機(jī)床基座的特征矩陣和運動方程，建立兩相鄰體的運動誤差辨識模型.根據(jù)此辨識模型，通過測量運動軸的綜合誤差量，最后辨識出三軸機(jī)床的21項幾何誤差參數(shù)（表1）［3］.

表1 三軸機(jī)床21項幾何誤差參數(shù)［3］

（續(xù)表1）

1.1 相鄰運動體間的運動誤差辨識模型

以機(jī)床單軸運動為例，機(jī)床運動部件Bk相對于基座Bj沿X運動軸作單向運動，通過多體系統(tǒng)理論，得出它們之間特征矩陣和運動方程（圖1）.

圖1描述了運動平臺Bk與相鄰基座Bj間的運動關(guān)系，圖中Oj、Qk、Ok分別表示基座Bj坐標(biāo)系、運動平臺Bk運動參考坐標(biāo)系、運動平臺Bk坐標(biāo)系；理想位置矢量、位置誤差矢量、實際位置矢量分別由Pkl、Pke、Pk表示；S lkh、S ekh、Skh分別表示運動平臺理想位移矢量、位移誤差矢量、實際位移矢量；rk是Bk上給定點P（激光測量點）的位置矢量，Pkh是P點在運動坐標(biāo)系下的位置矢量.

圖1 相鄰運動體運動原理

根據(jù)相鄰體間變換矩陣式［13］，運動平臺Bk相對于基座Bj沿X軸運動可如下式表示：

其中，kjT為兩相鄰體運動位移誤差矢量，kjTp為運動平臺Bk相對于基座Bj初始位置矢量,kjTpe為運動平臺Bk相對于基座Bj初始位置誤差矢量,kjTs為運動平臺Bk相對于基座Bj位移矢量，kjTse為運動平臺Bk相對于基座Bj位移誤差矢量.

運動平臺Bk沿X軸運動時，假設(shè)運動開始前Bk與Bj坐標(biāo)系重合（即Qk與Oj重合），可得Bk體上測量點在單向運動時的相對位置方程：

把式（1）代入式（2），得

其中，xkh、ykh、zkh分別為Pkh沿x、y、z方向位置矢量分量；Xk、Yk、Zk分別為rk沿x、y、z方向位置矢量分量.

測量點P從原點位置運動到第m位置時，其相對位移可由下式所示：

假設(shè)體坐標(biāo)系原點與其運動參考坐標(biāo)系原點重合，且各項誤差初始參數(shù)為零，則位移方程為：

式（5）就是相鄰運動體間的運動誤差辨識模型，根據(jù)此辨識模型，通過測量運動軸的綜合誤差量，即可辨識機(jī)床的幾何誤差參數(shù).

1.2 九線位移誤差辨識法理論

根據(jù)九線位移誤差辨識模型［1］，如圖2所示，點P（xi，yi，zi）（i=1，2，3）為工作臺局部坐標(biāo)系的測量點；對測量線1，同時測定其Y向和Z向直線度，X向定位誤差；對測量線2，同時測定其Y向直線度和X向定位誤差；對測量線3，測定其X向定位誤差.

把測量結(jié)果Δx 1(X)、Δy 1(X)、Δz 1(X)等代入式（6），可得以下方程：

用矩陣形式表示，令

則有

其中［EX］為系數(shù)矩陣，具體形式如下：

其中，（X1，Y1，Z1）、（X2，Y2，Z2）、（X3，Y3，Z3）分別為測量點P相對于工作臺局部坐標(biāo)系擺放第一、二、三點坐標(biāo)；

適當(dāng)選取各測量點位置，保證［Ex］系數(shù)矩陣滿秩，即可辨識出（δx（X），δy（X），δz（X），εx（x），εy（x），εz（x））.同理，可辨識出沿Y和Z向運動時的12項誤差參數(shù).由各軸的直線度誤差測量結(jié)果，計算出3項垂直度誤差［3］，因此，機(jī)床21項幾何誤差可由9條單坐標(biāo)移動和直線度的綜合測量數(shù)據(jù)求解得出.

式（8）就是九線位移誤差辨識綜合模型，它由測量點的坐標(biāo)，綜合測量誤差值和單軸6項幾何誤差組成.由式（9）可以看出，公式中X1、Y1、Z1、X2、Y2、Z2、X3、Y3、Z3若存在誤差（即擺放反射鏡時產(chǎn)生位置誤差），則會影響辨識的結(jié)果.因此，基于位置誤差敏感度分析可以獲取對求解結(jié)果影響較小的測量儀器擺放位置.

2 位置誤差敏感度識別

實際測量中，由于存在擺放誤差的影響，九線法在不同位置進(jìn)行布線測量，辨識出系統(tǒng)誤差項結(jié)果不盡相同.根據(jù)九線位移誤差辨識綜合模型，利用矩陣微分法建立基于擺放位置誤差敏感度分析的數(shù)學(xué)模型.通過計算誤差項基于位置變化敏感度系數(shù)大小，識別出對求解結(jié)果具有重要影響的關(guān)鍵性擺放位置，從而為九線法合理的布線提供重要的理論依據(jù).

2.1 基于位置誤差敏感度分析模型的建立

以Y軸運動為例，根據(jù)式（8），可以建立一般三軸機(jī)床的九線法辨識模型：

其中，［Δ（Y）］為激光干涉儀測得綜合誤差矢量：

［Ey］為系數(shù)矩陣：

［δy］為Y軸幾何誤差參數(shù)矩陣：

對式（11）求基于第三線的X3坐標(biāo)偏導(dǎo)，即運動線3的X坐標(biāo)位置變化時對空間誤差影響程度的大小，得：

通過對式（13）左右兩邊化簡可得：

進(jìn)一步化簡得：

其中，S稱為擺放誤差敏感度矩陣，并具有如下形式：

其中，

至此，求得擺放位置X3的誤差敏感度的表達(dá)式.采用同樣的方法，可以得到基于擺放位置X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，Y3，Z3的變化誤差敏感度表達(dá)式.

2.2 位置誤差敏感度系數(shù)的識別

九線位移誤差辨識法的辨識精度受到測量點擺放位置精度的影響，每一項擺放位置的誤差對九線法辨識誤差都會有一定程度的影響，由式（11）可以看出，公式中X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，X3，Y3，Z3若存在誤差，則會對幾何誤差的辨識存在影響

通過誤差敏感度求解可獲得測量儀器位置誤差元素產(chǎn)生變化時對辨識結(jié)果的影響，根據(jù)式（8）和式（16）的敏感度矩陣可得，誤差敏感度矩陣系數(shù)越大，該位置若產(chǎn)生微小的誤差對空間誤差項的求解影響很大.因此，需要對機(jī)床進(jìn)行擺放誤差敏感度分析以獲取測量儀器對辨識結(jié)果影響較小的位置.

以Y軸運動為例，由式（16）可以看出εx（X）為系統(tǒng)固有誤差.通過測量方案的調(diào)整，合理的分布測量點的位置改變敏感度系數(shù)矩陣S的數(shù)值達(dá)到減小擺放誤差對總的空間誤差求解的影響.

當(dāng)選定X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，Y3，Z3的數(shù)值時，通常式（16）的分母和Z1-Z2的數(shù)值為正，當(dāng)X3越大時，敏感度系數(shù)矩陣S的數(shù)值會減小.即表明，當(dāng)我們進(jìn)行九線法辨識機(jī)床空間誤差項時，線3與線1盡可能橫跨整個工作空間，這樣辨識結(jié)果受到擺放誤差的影響較小，且辨識結(jié)果會較為精確.通過合理的擺放測量點能夠大大減小由于實際擺放誤差對求解結(jié)果造成的影響.以此為例，展開下面的試驗驗證.

3 結(jié)果與分析

本文采用RENISHAW XL-80激光干涉儀系統(tǒng)對三軸精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)行九線法誤差辨識并驗證敏感度模型以及上述結(jié)論的正確性，如圖3所示.

圖3 多軸精密數(shù)控機(jī)床現(xiàn)場測試圖

為了驗證基于擺放誤差敏感度模型的可行性與第二節(jié)提出的結(jié)論的正確性.對4條運動線的布局如下所述：第1條運動線與第2條運動線有一定的高度差［4］，按照上述結(jié)論，第3條運動線與第1條運動線盡可能橫跨整個運動平臺.第4條運動線與第3條運動線在空間中，保證其Y、Z坐標(biāo)相同，改變X坐標(biāo)的大小.機(jī)床的運動區(qū)域設(shè)定為-50～120 mm，且每運動10 mm測量一次，如此循環(huán)3次.當(dāng)X3越大時（即測量線3的X坐標(biāo)），敏感度系數(shù)矩陣S的數(shù)值越小，辨識誤差精度越精確的正確性.對4條運動線的布局與實驗步驟如上所述大致一致，除了第4條運動線設(shè)置在第3條運動線與第1條運動線之間，具體見表2.

表2 運動線在測量平臺的空間坐標(biāo) mm

由2種測量方案基于X3變化的敏感度系數(shù)表（表3）可以看出：當(dāng)X3在250 mm處，各誤差項敏感系數(shù)比X3在135 mm處各誤差項敏感系數(shù)小.

表3 基于X3變化誤差敏感度系數(shù)

由2種方法檢測出定位誤差與實際誤差測量的偏差（圖4）可以看出：2種不同位置的擺放方式的辨識精度在-50～120 mm運動行程內(nèi)，誤差都在1 um以內(nèi)；X3在250 mm處的擺放方式在-50～120 mm運動行程內(nèi)辨識精度在0.6 um以內(nèi)，比X3在135 mm處的擺放方式辨識精度更高.從而驗證了第二節(jié)所提出的假設(shè)，即通過合理的擺放測量點能夠大大減小由于實際擺放誤差對求解結(jié)果造成的影響.

圖4 2種方法檢測定位誤差與實際誤差測量的偏差

4 結(jié)論

基于多體系統(tǒng)理論和矩陣微分的方法，建立了考慮擺放位置誤差敏感度的九線位移誤差辨識的數(shù)學(xué)模型.實驗結(jié)果證明：利用本文的方法對多軸精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)行各項幾何誤差的辨識，帶入誤差補償模型計算空間內(nèi)各點的測量誤差并利用軟件補償后，多軸精密機(jī)床單軸在170 mm測量范圍內(nèi)的最大測量誤差從3.677μm減小為0.613μm.通過位置誤差敏感度分析，分析了擺放位置誤差對誤差辨識的影響，通過數(shù)值計算，得出合理的布線策略，減小了擺放誤差對求解結(jié)果的影響.為機(jī)床高精度的測量提供了參考依據(jù).