一類三角函數(shù)的定積分求解技巧

鄭寶杰， 段宇軒

(河南財(cái)政金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

0 引言

常用的定積分計(jì)算方法有牛頓-萊布尼茨公式，換元積分法和分部積分法。對(duì)于一些復(fù)雜的定積分，其計(jì)算方法通常具有很強(qiáng)的靈活性和技巧性[1-4]。本文主要對(duì)一類被積函數(shù)是三角函數(shù)的定積分的計(jì)算做了進(jìn)一步的推廣和應(yīng)用。

引例1計(jì)算

解當(dāng)n=2m時(shí)，

當(dāng)n=2m+1時(shí)，

因而這兩個(gè)定積分是等值的。

重復(fù)使用遞推公式可得

(1)

當(dāng)m或n為0時(shí)，即為引例1的結(jié)果。

1 推廣和應(yīng)用

1)當(dāng)m或n至少有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)。

解法1令F(x)=cosmx·sinnx(x∈[0,2π])。

解法2

①當(dāng)m、n均為奇數(shù)或m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，

②當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，

2)當(dāng)m、n均為偶數(shù)時(shí)。

由周期性可知

綜合上面的討論結(jié)果可得定積分計(jì)算公式如定理1所示。

定理1設(shè)m和n為正整數(shù)，則有

(2)

特別地，從上面的討論過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，由于sinx和cosx均為周期為2π的周期函數(shù)，則當(dāng)積分區(qū)間上下限之差為2π時(shí)，計(jì)算公式也為式(2)。

推論設(shè)m和n為正整數(shù)，對(duì)任意α∈R，有

(3)

2 另一公式的推廣和應(yīng)用

文獻(xiàn)[5]有這樣一個(gè)證明題：

引例2設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，證明

(4)

下面通過(guò)sinx與cosx之間的變換對(duì)公式(4)進(jìn)行推廣，可得定理2。

定理2設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，證明

(5)

因此

有時(shí)sinx或者cosx難以計(jì)算，這樣計(jì)算的好處是通過(guò)互換后相加或者其他運(yùn)算得到更簡(jiǎn)單的運(yùn)算,計(jì)算出結(jié)果。

3 小結(jié)