基于正規(guī)攝動法的達(dá)芬系統(tǒng)的求解

莘 智, 侯瑾蓉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

0 引言

解析方法是研究非線性振動的定量分析方法,即通過精確地或近似地尋求非線性微分方程的解析解,得到非線性系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律,以及對系統(tǒng)參數(shù)和初始條件的依賴關(guān)系。最早正規(guī)攝動法是由泊松提出來的,1830年泊松在研究單擺的振動時(shí),提出將非線性系統(tǒng)的解按小參數(shù)的冪次展開的近似計(jì)算方法,稱為攝動法或小參數(shù)法[1-2]。正規(guī)攝動法是一種求解弱非線性系統(tǒng)解析解的近似方法,攝動法所得的結(jié)果既簡單又有效,是解決非線性振動問題重要的方法之一[3-6]。

討論下面帶小參數(shù)的動力學(xué)方程所描述的單自由度非自治系統(tǒng)[1]

(1)

(2)

這個(gè)系統(tǒng)稱為原系統(tǒng)(1)的派生系統(tǒng)。若設(shè)x0(t)是派生系統(tǒng)方程的周期解,那么當(dāng)原系統(tǒng)(1)也存在周期解時(shí),就可以在x0(t)的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正作為原系統(tǒng)方程的解,將原系統(tǒng)方程的周期解[1]設(shè)為

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…。

(3)

(4)

其中任意的ε取值對于這個(gè)方程都是成立的,令兩邊ε的同次冪系數(shù)相等,由此得各階近似解的微分方程組

(5)

(6)

(7)

由方程(5)可以解得派生解x0(t)的值,再將x0(t)的值代入方程(6)中,可以得到關(guān)于x1的微分方程,解出x1的值,以此類推代入下一個(gè)方程中,便可求出各階近似解。將這些值再代入方程(3)中,由此求得原系統(tǒng)(1)的周期解,即為利用正規(guī)攝動法求漸進(jìn)解的方法。

1 遠(yuǎn)離共振的受迫振動

討論達(dá)芬系統(tǒng)受簡諧激勵的受迫振動,其動力學(xué)方程為

(9)

其中ω是指系統(tǒng)在一定時(shí)間里實(shí)際進(jìn)行激勵的次數(shù),稱為激勵頻率,遠(yuǎn)離派生系統(tǒng)的固有頻率ω0。仍設(shè)此方程的解為(3)式,即

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…

將此級數(shù)形式的解代入方程(9),可以得到

ε(x0+εx1+ε2x2+ε3x3+…)3]=F0cosωt。

(10)

令方程兩邊ε的同次冪系數(shù)相等,由此可以推導(dǎo)出以下線性微分方程組

(11)

(12)

(13)

(14)

……

故而可以解出方程(11)的一般解為

x0=A0cos (ω0t+θ0)+Acosωt,

(15)

其中A0和θ0是積分常數(shù),由初始條件決定。右邊第一項(xiàng)為自由振動,第二項(xiàng)為受迫振動,由于系統(tǒng)中存在阻尼項(xiàng),所以自由振動項(xiàng)會逐漸衰減直至消失,方程的解只剩下

x0=Acosωt。

(16)

將其代入方程(11)中,得到振幅A為

(17)

再將(17)式代入方程(12)中,可得到

(18)

設(shè)特解x1為

x1=B1cosωt+B2cos 3ωt,

(19)

將上述所設(shè)特解代入方程(18)中,可求出

(20)

將(16)式和(19)式代入方程(13)中得到

在經(jīng)過必要地三角運(yùn)算之后,上述方程轉(zhuǎn)化為

(21)

設(shè)此方程特解為

x2=C1cosωt+C2cos 3ωt+C3cos 5ωt,

(22)

將上述所設(shè)特解代入方程(21)中,可求出

(23)

將(16)式,(19)式和(22)式代入方程(14),可得到

在經(jīng)過必要地三角運(yùn)算之后,上述方程轉(zhuǎn)化為

(24)

設(shè)此方程的特解為

x3=D1cosωt+D2cos 3ωt+D3cos 5ωt+D4cos 7ωt,

(25)

將上述所設(shè)特解代入方程(24)中,可以求出

(26)

以此類推進(jìn)行運(yùn)算,可以算出更高階的近似解,將各階近似解代入(3)式,最終得到原系統(tǒng)的受迫振動解

x=(A+εB1+ε2C1+ε3D1+…)cosωt+(εB2+ε2C2+ε3D2+…)cos 3ωt+

(ε2C3+ε3D3+…)cos 5ωt+(ε3D4+…)cos 7ωt+…

(27)

在這里用省略號代替更高階的近似解,并且在此周期解中,不僅包含了ω,而且還有3ω、5ω、7ω…頻率高次諧波同時(shí)發(fā)生,這種現(xiàn)象稱為倍頻響應(yīng)。

2 多頻激勵的受迫振動

討論當(dāng)硬彈簧系統(tǒng)受到兩個(gè)不同的激勵頻率的影響,設(shè)這兩個(gè)激勵頻率分別是ω1和ω2,可得到動力學(xué)方程

(28)

同樣地,設(shè)該動力學(xué)方程的周期解為(3)式的形式,即

x(t,ε)=x0(t)+εx1(t)+ε2x2(t)+…

將上述所設(shè)解代入方程(28)中,并且讓方程兩邊ε相同次冪的系數(shù)相等,由此可以推導(dǎo)出一系列方程

(29)

(30)

(31)

……

設(shè)方程(29)的特解為

x0=A1cosω1t+A2cosω2t,

(32)

將上述所設(shè)的特解代入方程(29)的左邊,可以得到

(33)

將特解(32)式代入方程(30)中,可以得到

(34)

設(shè)方程(34)的特解為

x1=B1cosω1t+B2cosω2t+B3cos 3ω1t+

B4cos 3ω2t+B5cos 2ω1tcosω2t+B6cosω1tcos 2ω2t,

(35)

將所設(shè)的特解(35)式代入方程(34)中,可以解得

(36)

將(32)式和(35)式代入方程(31)的右邊,得到

B3cos 3ω1t+B4cos 3ω2t+B5cos 2ω1tcosω2t+B6cosω1tcos 2ω2t)=

(37)

從方程(34)和方程(37)可以觀察到,不僅含有頻率ω1和ω2以及它們的倍數(shù),而且還有2ω1+ω2,|2ω1-ω2|,2ω1+3ω2,|2ω1-3ω2|等組合起來的頻率,這種組合起來的頻率,不符合線性系統(tǒng)變化規(guī)律的頻率稱為頻率耦合現(xiàn)象,是非線性系統(tǒng)的又一重要特征。

3 結(jié)論

正規(guī)攝動法通過將解展成小參數(shù)的冪級數(shù)形式,代入原方程后,根據(jù)各階小參數(shù)的次數(shù)相等,轉(zhuǎn)化為線性微分方程組進(jìn)行求解,從而得到原方程的解。本文利用正規(guī)攝動法解決達(dá)芬系統(tǒng)受簡諧激勵的受迫振動的解析解,將其由二階提高到三階,對于多頻激勵的受迫振動的解析解將其由一階提高到二階。