(1+1)維Mukherjee-Kundu方程的加速怪波解和呼吸子解

陳 鑫, 扎其勞

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

0 引言

眾所周知,非線性方程是數(shù)學(xué)和理論物理領(lǐng)域的一個重要研究內(nèi)容[1],如非線性薛定諤(NLS)方程[2]、導(dǎo)數(shù)NLS方程[3]、Davey-Stewartson方程[4]、Kundu-Eckhaus方程等。非線性方程解是其關(guān)鍵內(nèi)容,它可以描述許多非線性現(xiàn)象。近年來,非線性方程解的研究重點(diǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到尋找具有多種物理適用性的新復(fù)雜解上,如加速孤子解[5]、怪波解[6-7]、呼吸子解[8]等。

怪波和呼吸波作為兩種特殊類型的非線性波,具有重要作用。1965年,Draper首次提出了怪波概念[9]。1983年,Peregrine首先得到NLS方程的一階解析解,并用它來描述怪波現(xiàn)象[10]。隨后,怪波相繼在非線性光學(xué)[11]、海洋學(xué)[12]、Bose-Einstein凝聚[13]和金融領(lǐng)域[14]中被發(fā)現(xiàn),怪波特別存在于一些非線性方程中。目前,怪波產(chǎn)生的確切機(jī)制還不完全清楚,研究怪波理論不僅對怪波理論研究具有重要意義,而且可以推動與怪波有關(guān)的其他學(xué)科的發(fā)展。

呼吸波是一種非線性波包,其能量以局域振蕩的方式集中。時間呼吸子和空間呼吸子是兩種主要類型的呼吸子。時間呼吸子對應(yīng)于非線性方程的局部化解,其振幅隨時間而變化,例如Ma呼吸子[15]。同時也存在相反的情況：呼吸波在空間上振蕩并且沿著傳播距離局部化,例如Akhmediev呼吸子[16]。呼吸子的研究對船舶和海洋結(jié)構(gòu)物的耐波性試驗(yàn)和標(biāo)準(zhǔn)制定具有重要意義。

2019年,Mukherjee和Kundu提出了一個新的復(fù)非線性波方程((1+1)維Mukherjee-Kundu方程)[5]

(1)

(2)

其中,*表示復(fù)共軛,下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)。

文獻(xiàn) [5]得到了方程(1)的一階怪波解

(3)

(4)

文獻(xiàn) [7]利用符號計(jì)算方法,導(dǎo)出了方程(2)的具有多個參數(shù)的高階怪波解

(5)

其中

B0=C0=D-1=0。

通過對自由參數(shù)的分析,詳細(xì)研究了一階和二階怪波解在時空中的非線性動力學(xué)特征。此外,方程(2)的一些周期波和加速周期波解還可以用Jacobi橢圓函數(shù)表示[7]

(6)

其中,k,ω,ξ0和C是常數(shù),q(x)是一個關(guān)于x任意函數(shù),r(0≤r≤1)是模數(shù)。

值得一提的是,加速暗孤子和加速周期波解分別在方程(4)和方程(5)中給出,那么方程(2)是否存在一個加速的怪波解?本文的目的就是利用符號計(jì)算方法構(gòu)造出方程(2)的加速怪波解和呼吸子解,并且給出這些解的圖像。重要的是方程(2)的加速怪波解包含一個自由函數(shù)q(x),它可以產(chǎn)生有趣的拓?fù)湫再|(zhì)。

1 符號計(jì)算方法

根據(jù)文獻(xiàn) [7],利用符號計(jì)算法將高階怪波解推廣到高階加速怪波解,具體步驟如下:

步驟1考慮方程(2)的平面波解,其形式為

ψ=eiA t,

(7)

其中A是一個實(shí)數(shù)。

步驟2假設(shè)方程(2)的一般加速怪波解為

(8)

其中

B0=C0=D-1=0,

q(x)是一個關(guān)于x的任意函數(shù)。

步驟3將(8)式代入方程(2),收集xstm和q(x)的同次冪的系數(shù),并設(shè)其為零,得到一個多項(xiàng)式方程組。通過數(shù)學(xué)軟件Mathematica求解這些多項(xiàng)式方程,可以確定ai,j,bi,j,ci,j,di,j,fi,j,gi,j(i,j∈{0,2,4,…}),以及某些參數(shù)值之間的關(guān)系。

步驟4將ai,j,bi,j,ci,j,di,j,fi,j,gi,j(i,j∈{0,2,4,…})的值代入(8)式,可得方程(2)的加速怪波解。

2 加速怪波解

根據(jù)上述符號計(jì)算法,考慮方程(2)的一階和二階加速怪波解。

2.1 一階加速怪波解

當(dāng)n=1,一階加速怪波解的形式為

(9)

將(9)式代入方程(2),收集xstm(s∈{0,1,2,3,4};m∈{0,1,2,3,4})和q(x)的同次冪的系數(shù),并設(shè)其為零,得到一個多項(xiàng)式方程組

(10)

求解方程組(10),得

(11)

將(11)式代入(9)式,就得到一階加速怪波解

(12)

通過對任意函數(shù)q(x)的自由選擇,(12)式可以產(chǎn)生方程(2)的一些作用解。

(1) 令q(x)=eα11x+β11,得到扭結(jié)波和一階怪波相互作用解

(13)

解(13)的三維圖如圖1所示。

(2) 令q(x)=cosh (α12x+β12),得到孤子和一階怪波相互作用解

(14)

解(14)的三維圖如圖2所示。

(3) 令q(x)=3cos (α13x+β13),得到周期波和一階怪波相互作用解

(15)

解(15)的三維圖如圖3所示。

圖1 扭結(jié)波和一階怪波解的演化(13) (a0,2=2, a0,0=4, a2,0=1, β13=1/2, a2,0=1, β12=1/2)

圖2 孤子和一階怪波解的演化(14) (a0,2=2, a0,0=4, a2,0=1, β13=1/2)

圖3 周期波和一階怪波解的演化(15) (a0,2=2, a0,0=4, a2,0=1, β13=1/2)

2.2 二階加速怪波解

當(dāng)n=2,可導(dǎo)出二階加速怪波解

(16)

其中

2a(b0,0+b2,0(x-c)2)(x-c)+q(x),

a,a0,0,a2,0,a4,0,b0,0,b2,0,c是7個自由參數(shù),q(x)是一個關(guān)于x的任意函數(shù)。

通過對任意函數(shù)q(x)的適當(dāng)選擇,(16)式可以產(chǎn)生方程(2)的彈性碰撞解。

(3) 令q(x)=cos (8x),代入(16)式,得到方程(2)的周期波和二階怪波的相互作用解。波的相互作用情況如圖6所示。

圖4 扭結(jié)波和二階怪波解的演化(16)

圖5 孤子和二階怪波解的演化(16)

圖6 周期波和二階怪波解的演化(16) (q(x)=cos (8x), a0,0=2, a2,0=1, a4,0=1, b0,0=-1, b2,0=1, c=0)

圖4描述了扭結(jié)波和二階怪波相互作用解的彈性碰撞。通過改變a的值,扭結(jié)波和二階怪波的相互作用呈現(xiàn)迎頭碰撞的形狀。在圖4(a)中,扭結(jié)波和兩個反怪波分開,扭結(jié)波和較淺的反怪波在左側(cè),較深的反怪波在右側(cè); 在圖4(b)中,扭結(jié)波和兩個反怪波有正面碰撞; 在圖4(c)中,碰撞后的扭結(jié)波和兩個反怪波保持形狀和速度不變,只是位置發(fā)生了改變: 扭結(jié)波和較深的反怪波在左側(cè),較淺的反怪波在右側(cè)。類似地,孤波和二階怪波相互作用解以及周期波和二階怪波相互作用解的彈性碰撞分別表示在圖5和圖6中。

3 呼吸子解

假設(shè)方程(2)的呼吸子解為

(17)

其中ξ=ax+bt+ξ0,θ=cx+dt+θ0,實(shí)參數(shù)a,b,c,d,A,B,C,D,p,q,ξ0和θ0之后將被確定下來。

將(17)代入方程(2),利用sinh2ξ=cosh2ξ-1和sin2θ=1-cos2θ,得到了一組關(guān)于a,b,c,d,A,B,C,D,p,q的非線性代數(shù)方程組

(18)

借助Mathematica,可求得該非線性代數(shù)方程組的兩類解。

情況1

(19)

情況2

(20)

將(19)式代入(17)式,得到方程(2)的Ma呼吸子解

(21)

Ma呼吸子解(21)是以時間t為周期的呼吸子,該波的形狀如圖7中的三維圖(a)和等高線圖(b)所示。

將(20)式代入(17)式,得到方程(2)的Akhmediev呼吸子解

(22)

Akhmediev呼吸子解(22)是以空間x為周期的呼吸子,該波的形狀如圖8中的三維圖(a)和等高線圖(b)所示。

圖7 Ma呼吸子解(21) (p=2, q=1, D=1, a=1, ξ 0=0, θ 0=0)

圖8 Akhmediev呼吸子解(22) (p=2, q=1, C=1, c=1,ξ 0=0, θ 0=0)

4 結(jié)論

(1+1)維Mukherjee-Kundu方程(2)是孤子理論中一個有趣的新方程。通過符號計(jì)算法,給出方程(2)的包含任意函數(shù)q(x)的一階和二階加速怪波解,當(dāng)函數(shù)q(x)選擇某些特殊函數(shù)時,將得到扭結(jié)-怪波、孤子-怪波、周期波-怪波解。借助于符號計(jì)算法,本文也給出了方程(2)的Ma呼吸子解和Akhmediev呼吸子解。通過圖形展示了所得解的性質(zhì),如圖1至圖8所示。