受單點(diǎn)橫向非定常約束梁的響應(yīng)分析

丁維高，謝 進(jìn)

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031)

梁在不同邊界條件約束下的響應(yīng)問題是振動理論研究領(lǐng)域的經(jīng)典問題。在力學(xué)中，將顯含時間t的幾何約束稱為非定常約束，否則為定常約束[1]。受定常約束梁在各種激勵下的響應(yīng)分析已經(jīng)有了大量研究成果。簡單的邊界條件如鉸支、固支、自由[2-5]。復(fù)雜的邊界條件如多跨梁[6-7]、彈性支撐[8-10]等。

但在工程中存在許多梁受非定常約束的工況。例如梁式俘能器被振動體所驅(qū)動時，可以認(rèn)為梁的夾緊端受到了振動體的非定常約束[11]；在機(jī)械運(yùn)動學(xué)的研究中，原動件如果是由控制電機(jī)驅(qū)動的，則機(jī)構(gòu)的運(yùn)動也受非定常約束，比較典型的機(jī)械裝置是由伺服系統(tǒng)直接驅(qū)動和控制的鐵路軌道梁轉(zhuǎn)轍機(jī)，軌道梁便受到了轉(zhuǎn)轍機(jī)的非定常約束作用[12-13]；在柔順機(jī)構(gòu)中，也存在柔順桿上某特定點(diǎn)的運(yùn)動為已知時間函數(shù)的工況[14]。

盡管在時變結(jié)構(gòu)動力學(xué)[15-16]中，對梁的伸展問題等非定常邊界問題已有一些研究成果[17-18]，但對于受橫向非定常約束梁的研究還較少，且多為非定常約束作用于梁的端點(diǎn)時的工況。在這種情況下，通常的處理方法是將問題視為為經(jīng)典“承受支撐運(yùn)動的梁”問題[19]，再使用位移影響函數(shù)法[20]求解。然而，對于非定常約束作用在梁上其他任意位置情況，盡管可以先將模型轉(zhuǎn)化為多跨梁問題，再利用位移影響函數(shù)的求解，但求解過程較為繁瑣。因此，本文提出：直接使用第一類拉格朗日方程來解決該問題，進(jìn)而使用簡單邊界條件的模態(tài)函數(shù)來對問題進(jìn)行求解和分析。

本文首先利用第一類拉格朗日方程與歐拉-伯努利梁理論建立梁動力學(xué)方程，在此情況下，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為微分代數(shù)方程(Differential-Algebraic Equation, DAE)[21-22]。如果不考慮非線性因素，單點(diǎn)非定常約束下梁的代數(shù)方程與微分方程均為線性方程。本文將利用求解線性強(qiáng)迫振動常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)穩(wěn)態(tài)解的求解方法求解出這類線性DAE問題的解析解：①考慮到工程中大量的結(jié)構(gòu)振動或機(jī)械運(yùn)動具有周期性，而周期性函數(shù)可通過三角級數(shù)將其展開為多個諧波函數(shù)來表示，故本文研究梁所受到的非定常約束為諧波函數(shù)的情況；②對解析解與數(shù)值解進(jìn)行比較，并作為特例應(yīng)用于求解承受支撐運(yùn)動的梁，以驗(yàn)證解析解的正確性及普適性；③對梁非定常約束作用點(diǎn)對于梁的動力學(xué)性能的影響進(jìn)行分析和討論。

1 受單點(diǎn)橫向非定常約束梁的動力學(xué)模型

1.1 單點(diǎn)橫向非定常約束下梁動力學(xué)方程的建立

圖1為受單點(diǎn)非定常位移約束梁的計(jì)算模型。長度為l的梁端點(diǎn)處自由或被定常約束限制，同時，在梁的長度方向s=al，0≤a≤1處受有非定常約束。非定常約束表示為s處的橫向位移為隨時間變化的函數(shù)P(t)。假設(shè)P(t)的幅值遠(yuǎn)小于梁的長度，則可以忽略梁的非線性因素的影響，梁的橫向運(yùn)動可以用模態(tài)函數(shù)與其對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)表示。

圖1 受單點(diǎn)非定常約束梁的計(jì)算模型Fig.1 Calculation model of beam under one-point transverse rheonomicis

設(shè)僅考慮定常約束時梁的第i階模態(tài)函數(shù)為φi(x)，第i個模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)為qi(t)，則非定常約束方程可表示為

(1)

均質(zhì)歐拉-伯努利梁模型的振動偏微分方程為

(2)

式中：m=ρA為單位長度梁的質(zhì)量，ρ為密度，A為截面面積；E為彈性模量；I為極慣性矩；cs為線性材料阻尼系數(shù)；ca為空氣阻尼系數(shù)。式(2)的通解可以表示為

(3)

第i階模態(tài)函數(shù)歸一化后的一般形式為

(4)

式中：l為梁長度，λi為梁特征方程的解，C1,i～C4,i僅與定常邊界條件和特征值λi有關(guān)。梁的彈性勢能可表示為

(5)

梁的動能可以表示為

(6)

阻尼力的虛功可以表示為

(7)

根據(jù)第一類拉格朗日方程

(8)

可得到受單點(diǎn)非定常約束梁模態(tài)坐標(biāo)下的動力學(xué)方程

(9)

式中：κ(t)為拉格朗日乘子；ωr為無阻尼固有頻率

(10)

ζr為模態(tài)阻尼比

(11)

1.2 諧波約束下動力學(xué)方程的解析解

由于工程中大量的結(jié)構(gòu)振動或機(jī)械運(yùn)動均具有周期性，故本文研究中假設(shè)約束函數(shù)P(t)為一個周期性連續(xù)有界函數(shù)：P(t)=flcos(ωt)，其中f為一個無量綱系數(shù)。

在此假設(shè)下，可以期望形如式(9)的線性DAE方程具有周期性的穩(wěn)態(tài)解析解，并且穩(wěn)態(tài)解也為諧波函數(shù)。

仿照求解強(qiáng)迫振動ODE穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法[23],假設(shè)第r階模態(tài)坐標(biāo)穩(wěn)態(tài)解為

qr(t)=Arsin(ωt)+Brcos(ωt)

(12)

由于非定常約束是諧波函數(shù)，則拉格朗日乘子也具有諧波形式

κ(t)=κAsin(ωt)+κBcos(ωt)

(13)

將式(12)與式(13)代入式(9)中得到

(14)

(15)

比較式(14)與式(15)中兩邊的sin(ωt)和cos(ωt)的對應(yīng)系數(shù)，得到系數(shù)的線性方程組

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(16)、式(17)可以使用分離出模態(tài)坐標(biāo)系數(shù)

(20)

(21)

將式(20)、式(21)代入式(18)、式(19)中得到

(22)

(23)

式(22)、式(23)是關(guān)于κA，κB的線性方程，解得

(24)

(25)

將式(24)與式(25)代回式(20)、式(21)即可得到Ar與Br。假設(shè)激勵頻率ω與第一階、不為0的頻率激勵頻率之比為1/β

(26)

梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)函數(shù)可以表示為

ω313,r(β,ζr)cos(ωt)]

(27)

式(27)中ψr(al)，ω212,r(β,ζr)，ω313,r(β,ζr)具體表達(dá)式見附錄A。需要特別指出的是：式中質(zhì)量m被約去，梁的動態(tài)響應(yīng)的僅與約束位移幅值fl、模態(tài)阻尼ζr、一階模態(tài)頻率比1/β有關(guān)，且與位移約束幅值呈線性正比關(guān)系。這與受簡諧力激勵的梁的性質(zhì)類似。

式(11)所確定的阻尼系數(shù)及各階模態(tài)阻尼可表示為一階、二階模態(tài)阻尼ζ1，ζ2的函數(shù)

(28)

特別的，當(dāng)忽略黏性空氣阻尼時，各階模態(tài)阻尼可表示為一階模態(tài)阻尼ζ1的函數(shù)

(29)

總之，如果確定了約束位置幅值fl與作用位置al，可以通過對一階頻率比1/β和一階、二階模態(tài)阻尼ζ1，ζ2的變化來研究梁的模態(tài)響應(yīng)的變化，特別是當(dāng)忽略空氣阻力時，僅需討論一階頻率比1/β和一階模態(tài)阻尼ζ1。

為了便于研究，在后續(xù)的計(jì)算中使用式(29)來計(jì)算梁的各階阻尼的變化。

1.3 解析解數(shù)值驗(yàn)證及其在支撐運(yùn)動梁中的應(yīng)用

通過將1.2節(jié)中得到的解析解與數(shù)值解的對比，以及將經(jīng)典的承受支撐運(yùn)動的梁作為本文研究的受有單點(diǎn)非定常約束的解析解的應(yīng)用特例，說明本文所得到的解析解的正確性及普適性。

1.3.1 解析解的數(shù)值驗(yàn)證

以一端固定的懸臂梁為例，使用4階龍格庫塔法求解式(9)，指標(biāo)約簡是將代數(shù)方程對時間求導(dǎo)的實(shí)現(xiàn)的。取梁的參數(shù)l=1 m，m=1 kg/m，f=0.1，a=0.5，ζ1=0.1,β=2，ω=1 rad/s。數(shù)值計(jì)算時取模態(tài)的數(shù)量為前7階。

懸臂梁的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

(30)

將參數(shù)與式(30)代入解析解，式(27)中得到

w(x,t)=[-1.353 0cos(t)-0.003 5sin(t)]ψ1(x)+

[0.054 8cos(t)-0.001 6sin(t)]ψ2(x)+

[0.000 2cos(t)]ψ3(x)

……

(31)

其中特征值由

cosλcoshλ+1=0

(32)

求出。圖2(a)、圖2(b)分別給出了一階、二階模態(tài)響應(yīng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析解的對比。一階模態(tài)響應(yīng)的解析解與數(shù)值解之間的差值變化如圖3所示。

圖2 模態(tài)時域響應(yīng)的解析解與數(shù)值解比較Fig.2 Contrast diagram of time domain response conclude by analytic solution and numerical solution

由于數(shù)值解包括了梁的瞬態(tài)響應(yīng)部分，則開始部分解析解與數(shù)值解之間的差別較大，經(jīng)過5 s之后兩者誤差的數(shù)量級會小于10-7。由于在DAE數(shù)值求解中存在有約束違約現(xiàn)象[24]，所以，經(jīng)過較長時間的迭代后，兩者差的絕對值會有增大的趨勢。然而，這些并不妨礙得到解析解與數(shù)值解基本一致的結(jié)論，也并不妨礙利用解析解進(jìn)行梁的動態(tài)響應(yīng)分析。

圖3 一階模態(tài)時域響應(yīng)解析解與數(shù)值解的誤差 Fig.3 Error of time domain response of mode 1 conclude by analytic solution and numerical solution

1.3.2 在支撐運(yùn)動梁中的應(yīng)用

經(jīng)典的“承受支撐運(yùn)動的梁”問題，如圖4所示。對于此問題，可采用位移影響函數(shù)法求解。Erturk等表明：位移影響函數(shù)法得到的解與實(shí)驗(yàn)吻合，可以準(zhǔn)確地預(yù)測梁的動態(tài)響應(yīng)。圖4的計(jì)算模型可以視為本文研究的受有單點(diǎn)非定常約束、當(dāng)約束作用點(diǎn)在梁的端點(diǎn)時的特例。利用本文提出的方法，可以得到圖4的梁解析解。梁的定常邊界條件為左端轉(zhuǎn)角固定，右端自由

(33)

圖4 承受支撐運(yùn)動的梁的計(jì)算模型Fig.4 Calculation model of beam under support campaign

由x=0處的邊界條件，得到C4,i=C3,i=0，則特征方程為

cosh(λ)sin(λ)+cos(λ)sinh(λ)=0

(34)

數(shù)值求解式(34)得到λ=0，2.365 0，5.497 8，8.639 4，11.781 0，14.922 6，18.064 2，…。

歸一化的第i階模態(tài)函數(shù)為

(35)

特別是，對于0特征值λ0=0，模態(tài)函數(shù)為

(36)

非定常約束為

(37)

由懸臂梁特征方程，式(32)可以得到懸臂梁的特征值為λ*=1.875 1，4.694 1，…。

圖5 梁末端點(diǎn)位移無量綱頻率響應(yīng)Fig.5 Dimensionless displacement response of the end point on beam

2 諧波非定常約束與激勵力作用的差異

本節(jié)對諧波非定常約束與諧波外激勵對梁的作用效果進(jìn)行比較。懸臂梁的右端被一個剛性正弦機(jī)構(gòu)所帶動，曲柄O5O6勻速轉(zhuǎn)動，其長度足夠短，以至于不需要考慮梁的幾何非線性效應(yīng)。點(diǎn)O2的位移為曲柄O5O6轉(zhuǎn)角的正弦函數(shù)，為簡便起見，稱此情況為“約束工況”，如圖6(a)所示；懸臂梁在右端受到一個諧波周期力F(t)=pEIcos(ωt)激勵的作用，其中p為無量綱常數(shù)，稱此情況為“力工況”，如圖6(b)所示。

圖6 懸臂梁受諧波非定常約束Fig.6 Cantilever beam under transverse rheonomicis

根據(jù)經(jīng)典的振動理論，力工況的第r階模態(tài)坐標(biāo)方程為

(38)

其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為

(39)

首先考慮a=1的簡單情況，此時力和非定常約束都作用于懸臂梁的末端。計(jì)算過程中模態(tài)數(shù)量取為7,取f=0.1，取p=0.001，ω=1。考慮工程上最為常見的欠阻尼情形，取ζ1=0.001，則ζ2=0.063，ζ2=0.175，此時前三階模態(tài)阻尼均為欠阻尼。圖7給出了兩種工況下前三階響應(yīng)的對比。

圖7 ζ1=0.001，a=1時約束工況和力工況的前三階模態(tài)響應(yīng)Fig.7 First three orders model response under transverse rheonomicis and force(ζ1=0.001，a=1)

當(dāng)頻率比為1時，力工況的一階模態(tài)響應(yīng)達(dá)到了峰值，而約束工況的一階響應(yīng)并沒有一個明顯的峰值，二階、三階模態(tài)響應(yīng)卻達(dá)到了一個極小值；力工況的二階模態(tài)達(dá)到峰值時，約束工況的一階和三階模態(tài)達(dá)到極小值；力工況的三階模態(tài)達(dá)到峰值時，約束工況的一階和二階模態(tài)達(dá)到極小值。而在約束工況中，一階、二階和三階模態(tài)同時達(dá)到峰值，并且達(dá)到峰值時的頻率比處于力工況的兩階共振頻率比之間。非定常約束對模態(tài)響應(yīng)的作用可以解釋為：若激勵頻率達(dá)到某階共振頻率，對應(yīng)此階數(shù)的模態(tài)響應(yīng)最為明顯，而由于彈性體的運(yùn)動受到了非定常約束的限制，其余階數(shù)的模態(tài)則必須降低響應(yīng)幅值，以提升其在共振模態(tài)的幅值中所占的比例。進(jìn)而可知，在激勵達(dá)到某階模態(tài)的主頻時，其余階模態(tài)會產(chǎn)生一個極小值。如果某階模態(tài)響應(yīng)達(dá)到了峰值，其余階模態(tài)為滿足約束，也必須進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償。

3 約束作用位置對懸臂梁動態(tài)響應(yīng)的影響

3.1 共振頻率位置的估算及解曲線

當(dāng)非定常約束在梁的任意位置時，如何計(jì)算共振頻率的位置，以及用解曲線表示梁的動態(tài)響應(yīng)。

圖8所示為ζ1=0.001，a=1時梁上0.3l，0.5l和0.7l處三個位置的頻率響應(yīng)幅值曲線。將圖8與圖7中的約束工況進(jìn)行比較可知：當(dāng)各階模態(tài)達(dá)到共同的峰值時，梁上各點(diǎn)的響應(yīng)幅值也會達(dá)到響應(yīng)的峰值。因此，可以認(rèn)為在模態(tài)的共同峰值處發(fā)生了共振。

假設(shè)第r階模態(tài)頻率響應(yīng)幅值為Hr。由式(27)有：

(40)

[-ω32(β,ζr)ω13,r(β,ζr)+ω31(β,ζr)ω23,r(β,ζr)]2=

[ω31(β,ζr)2+ω32(β,ζr)2][ω13,r(β,ζr)2+ω23,r(β,ζr)2]

(41)

設(shè)

(42)

將式(42)代入式(41)中得

(43)

γ′4(β)=γ2(β)[2γ′2(β)γ1(β)+γ′1(β)]+
γ3(β)[2γ′3(β)γ1(β)+γ′1(β)]=0

(44)

取a=1，ζ1=0.001，通過二分法求式(44)的數(shù)值解，得到1/β={1.000,4.388,6.267,14.224,…}，分別對應(yīng)圖7約束工況中模態(tài)響應(yīng)的從左到右的第一個極小值，第一個峰值，第二個極小值，…。

圖8 ζ1=0.001，a=1時梁上0.3l、0.5l、0.7l處的位移響應(yīng)幅值Fig.8 Displacement response of beam on 0.3l，0.5l，0.7l (ζ1=0.001，a=1)

注意到當(dāng)各階模態(tài)都處于欠阻尼情況下時，ζ1的值會非常小，可以認(rèn)為γ3(β)很小，而ψr(al)是有界的。因此可以近似的認(rèn)為：為使式(44)成立，僅需

γ2(β)=0

(45)

取a=1，ζ1=0.001，由式(45)得到1/β={1.000,4.388,6.266,14.254,…}，與二分法求得的數(shù)值解非常相近。由此可知，在欠阻尼情況下，可以使用式(45)計(jì)算梁響應(yīng)的峰值頻率比。

為了研究非定常約束作用在不同位置時梁的響應(yīng)，首先選定一階模態(tài)阻尼，然后遍取非定常約束的作用位置參數(shù)a在區(qū)間(0,1)中的值。取定a的值，設(shè)定1/β的搜索范圍以求出滿足式(45)的1/β值。以a值的作為橫坐標(biāo)，搜索得到的1/β的值作為縱坐標(biāo)，就可以得到表示不同約束作用位置下響應(yīng)為峰值和極小值時的頻率比的值的曲線，簡稱為“解曲線”。ζ1=0.001，1/β∈(0,20)的解曲線如圖9所示。圖9中粗實(shí)線為響應(yīng)極小值，細(xì)實(shí)線為響應(yīng)峰值。

圖9 ζ1=0.001，1/β∈(0,20)的解曲線Fig.9 Graphs of solution(ζ1=0.001，1/β∈(0,20))

從圖9可知，各個響應(yīng)極小值頻率比隨參數(shù)a的不同變化很小，并且總是在梁的固有頻率附近；而響應(yīng)峰值頻率比受參數(shù)a影響變化很大，但各個響應(yīng)峰值總在梁的兩階相鄰固有頻率附近變化。響應(yīng)峰值的分布規(guī)律符合本征頻率的Rayleigh-Courant-Fisher定理[25]

另外，解曲線中有一些間斷的位置，間斷的位置在使ψr(al)=0的a*附近。例如ψ2(al)=0的解為a*=0.783 4，…。為分析間斷所代表的物理意義，在間斷a*位置的兩側(cè)取a={0.7,a*,0.8, 0.9}分別計(jì)算出前三階模態(tài)的頻率響應(yīng)，如圖10所示。當(dāng)a=0.7時，在圖9中穿過了5次解曲線，對應(yīng)著頻率比從0增加到20的過程中，圖10(a)中的三個極小值和兩個峰值的位置;當(dāng)a=0.8和a=0.9時，在圖9中一次穿過間斷與三次穿過解曲線,穿過間斷的位置分別對應(yīng)于圖10(c)中1/β=6.3附近與圖10(d)中1/β=17.5附近。此兩處近乎重合的峰值說明了在此位置時峰值和極小值趨于合并。

當(dāng)a=0.7時，在圖9中穿過了5次解曲線，對應(yīng)著頻率比從0增加到20的過程中，圖10(a)中的三個極小值和兩個峰值的位置;當(dāng)a=0.8和a=0.9時，在圖9中一次穿過間斷與三次穿過解曲線,穿過間斷的位置分別對應(yīng)于圖10(c)中1/β=6.3附近與圖10(d)中1/β=17.5附近。此兩處近乎重合的峰值說明了在此位置時峰值和極小值趨于合并。實(shí)際上，ψr(al)=0的第r階模態(tài)會在即將合并的頻率處有一個較為明顯的峰值，當(dāng)a=a*時，如圖10(b)所示。峰值與極小值完全合并在了一起。此時，對應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)在全頻域上減小到可以忽略不計(jì)，而其他階模態(tài)響應(yīng)的在此頻率處的峰值也完全消失。

圖10 間斷附近的模態(tài)響應(yīng)曲線Fig.10 Model response nearby discontinuities

3.2 阻尼對解曲線的影響

分別取ζ1={0.000 1,0.001,0.01}，同時，對于不同的阻尼將頻率比的搜索范圍擴(kuò)大為1/β∈(0,120)，得到的解曲線如圖11所示。

圖11 不同阻尼的解曲線Fig.11 Graphs of solution with different damping

從圖11可知，隨著阻尼的增大，高階模態(tài)的間斷會擴(kuò)大，直至響應(yīng)峰值完全消失。需要說明的是：模態(tài)響應(yīng)曲線的峰值并不是和解曲線同時消失的。比如，在圖11(b)中，當(dāng)a=1時，在1/β∈(60,100)區(qū)域內(nèi)看不到不明顯的峰值，而此時的前三階模態(tài)響應(yīng)曲線卻如圖12所示。

在圖12中，1/β∈(60,100)區(qū)域內(nèi)仍能夠看到確實(shí)存在的峰值這是由于高階模態(tài)阻尼會比低階模態(tài)阻尼大很多，而通過式(45)求解的解曲線的誤差也會增大。因而可以說，當(dāng)解曲線消失時，如若再增大些許阻尼，對應(yīng)的模態(tài)響應(yīng)峰值也會很快消失。但無論如何，解曲線的消失對于預(yù)測頻響峰值的消失是有參考價值的。

圖12 ζ1=0.001,a=1,1/β∈(0,120)前三階模態(tài)響應(yīng)曲線Fig.12 First three orders model response (ζ1=0.001,a=1,1/β∈(0,120))

4 結(jié) 論

(1)利用第一類拉格朗日方程建立了歐拉-伯努利梁上受單點(diǎn)橫向非定常位移約束時的動力學(xué)方程，方程為具有時變約束的微分代數(shù)方程(DAE)。當(dāng)非定常約束為諧波函數(shù)時，可以得到方程的解析解。使用數(shù)值方法驗(yàn)證了解析解的正確性，當(dāng)約束作用于梁端點(diǎn)時，頻響曲線與經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的位移影響函數(shù)法相吻合。

(2)利用所得到的解析解，分析了約束工況和力工況的梁的模態(tài)響應(yīng)，研究表明：兩者之間的響應(yīng)具有很大的差別，在約束工況下，在各階固有頻率附近，梁對應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)不會達(dá)到峰值，而其余模達(dá)到極小值；當(dāng)有一個模態(tài)響應(yīng)達(dá)到峰值時，其余模態(tài)響應(yīng)也會達(dá)到峰值。

(3)利用推導(dǎo)出的求解響應(yīng)峰值頻率比的隱式表達(dá)式，可以方便地得到表示非定常約束作用位置與梁動態(tài)響應(yīng)峰值和極小值之間關(guān)系的解曲線。對解曲線的分析表明：當(dāng)非定常約束作用位置從各階模態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)附近移動到模態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)時，模態(tài)響應(yīng)的峰值和極小值會發(fā)生合并，并導(dǎo)致對應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)在全頻域上消失；當(dāng)阻尼逐漸增大時，高頻部分的響應(yīng)峰值會逐漸消失，各模態(tài)的頻響峰值和極小值也會消失。

本文所提出的解法及分析研究結(jié)論，可用于求解梁的在單點(diǎn)橫向非定常約束作用下實(shí)際共振頻率和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況，也為梁在該工況下的設(shè)計(jì)、分析、測試等問題提供了理論依據(jù)。

(A1)

于是

(A2)

其中,

(A3)

由式(A3)可見，該項(xiàng)是僅與β和ζr有關(guān)的函數(shù)。同樣有

(A4)

其中，

(A5)

也是僅與β和ζr有關(guān)的函數(shù)。

由歸一化的模態(tài)函數(shù)表達(dá)式(4)設(shè)

(A6)

將(A5)與(A3)代入式(27)中得到

κA=-fl2ω2m2ω32(β,ζr)

(A7)

其中，

ω32(β,ζr)=

(A8)

同樣是僅與β和ζr有關(guān)的函數(shù)。同理，可得

κB=fl2ω2m2ω31(β,ζ1)

(A9)

其中，

ω31(β,ζr)=

(A10)

也是僅與β和ζr有關(guān)的函數(shù)。

將(A8)與(A10)代入式(20)得到

Ar=ψr(al)fl1.5m0.5ω212,r(β,ζr)

(A11)

其中，

ω212,r(β,ζr)=ω31(β,ζr)ω23,r(β,ζr)-
ω32(β,ζr)ω13,r(β,ζr)

(A12)

是僅與β和ζr有關(guān)的函數(shù)；同理，有

Br=ψr(al)fl1.5m0.5ω313,r(β,ζr)

(A13)

其中，

ω313,r(β,ζr)=ω31(β,ζr)ω13,r(β,ζr)+
ω32(β,ζr)ω23,r(β,ζr)

(A14)

是僅與β和ζr有關(guān)的函數(shù)。因此，梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

(A15)