GLS-代數(shù)的奇點(diǎn)范疇

姜習(xí)偉

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

代數(shù)的奇點(diǎn)范疇的定義為有界導(dǎo)出范疇關(guān)于有界投射復(fù)形范疇的 Verdier 商. Orlov將這個概念推廣到代數(shù)幾何和理論物理的研究中. 代數(shù)的奇點(diǎn)范疇反映了代數(shù)的同調(diào)性質(zhì)，奇點(diǎn)范疇平凡當(dāng)且僅當(dāng)代數(shù)的整體維數(shù)是有限的. Buchweitz[1]和 Happel[2]證明，對于 Gorenstein代數(shù)，奇點(diǎn)范疇與 Gorenstein 投射模的穩(wěn)定范疇是等價的. Gorenstein 代數(shù)是代數(shù)表示論中很重要的一類代數(shù)，包含許多重要的代數(shù)，如叢傾斜代數(shù)、2-CY-傾斜代數(shù)、三角范疇中叢傾斜對象的自同態(tài)代數(shù)以及本文研究的 GLS-代數(shù)等.

對于分次代數(shù)，我們可以類似定義代數(shù)的分次奇點(diǎn)范疇. Keller[3]證明：若代數(shù)的三角范疇C存在傾斜對象T，則T的自同態(tài)代數(shù)的反代數(shù) Λ 的有界投射復(fù)形范疇Kb(projΛ)與C是三角等價的. 特別地，若Λ的投射維數(shù)有限，則C三角等價于Db(Λ). Yamaura[4]對正分次的自入射代數(shù)構(gòu)造了Z-分次模范疇的穩(wěn)定范疇中的傾斜對象T，從而利用T的自同態(tài)代數(shù)將穩(wěn)定范疇實現(xiàn)為導(dǎo)出范疇. 受 Yamaura 的工作的啟發(fā)，Lu 和 Zhu[5]證明：對正分次1-Gorenstein 代數(shù)A，若A0的整體維數(shù)有限，則Z-分次奇點(diǎn)范疇存在 silting對象，并證明了 Gorenstein monomial 代數(shù)的Z-分次奇點(diǎn)范疇存在傾斜對象，進(jìn)而利用該傾斜對象的自同態(tài)代數(shù)刻畫了該奇點(diǎn)范疇. 另外，Geiss, Leclerc 和 Schr?er[6]對任意可對稱化廣義嘉當(dāng)矩陣定義了其相伴 GLS-代數(shù)和預(yù)投射代數(shù)，將 Gabriel 定理從單邊根系 ADE 型推廣到了非單邊根系BCFG型， 并利用卷積代數(shù)(convolution algebra)實現(xiàn)了可對稱化 Kac-Moody 代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)的正部分.

定理1.1設(shè)H=H(C,D,Ω)是對應(yīng)于C,D,Ω的GLS-代數(shù). 則T是Dsg(modZH) 中的傾斜對象. 特別地，有如下的三角范疇等價：

Dsg(modZH)?Kb(projEndDsg(modZH)(T)op).

2 預(yù)備知識

本文中，我們總假定K是代數(shù)閉域，A均為K上的有限維Z-分次結(jié)合代數(shù)，所有模都是有限維Z-分次左模. 對Z-分次代數(shù)A，用 modZA表示有限維Z-分次A-模范疇，projZA表示有限維Z-分次投射A-模范疇.對任意的A-模M，用gr.inj.dimAM表示M的分次入射維數(shù). 一個分次代數(shù)A=⊕i∈ZAi若滿足對任意的i<0 有Ai=0，則稱A為正分次代數(shù)(也稱為非負(fù)分次代數(shù)).

受 Gorenstein 代數(shù)定義[2，7]的啟發(fā)，我們可以按如下定義Z-分次 Gorenstein 代數(shù).

定義2.1對任意有限維Z-分次代數(shù)A，若gr.inj.dimAA<和 gr.inj.dimAA<，則稱A為Z-分次 Gorenstein 代數(shù).

對Z-分次 Gorenstein 代數(shù)A，由 Zarks 引理可知，gr.inj.dimAA=gr.inj.dimAA.這個公共數(shù)記為 gr.G.dimA. 若gr.G.dimA≤d，則稱A為Z-分次 d-Gorenstein 代數(shù).事實上，設(shè)F:modZA→modA為遺忘函子，對任意M∈modZA，M是Z-分次投射模(或Z-分次入射模)當(dāng)且僅當(dāng)F(M) 是投射(或入射)A-模. 從而我們有g(shù)r.proj.dimM=gr.proj.dimF(M)和gr.inj.dimM=gr.inj.dimF(M).故A是Z-分次 d-Gorenstein 代數(shù)且僅當(dāng)A是 d-Gorenstein 代數(shù). 于是本文不區(qū)分這兩個概念.

設(shè)X∈modZA.若態(tài)射f:G→X滿足G∈GprojZA，且對任意G′∈GprojZA，

是滿射，則稱f:G→X為X的一個右Gorenstein 投射逼近. 若態(tài)射f:G→M滿足G是Gorenstein投射模且Kerf的投射維數(shù)有限，則易知f是M的一個右Gorenstein 投射逼近.

定理2.2[8]設(shè)A是Z-分次代數(shù)，d≥0. 下列條件是等價的：

(i)A是 d-Gorenstein 代數(shù)；

(ii) GprojZ(A)=Ωd(modZA),

其中Ω為 syzygy 函子.

定義2.3[1]設(shè)Db(modZA)是modZA的Z-分次有界復(fù)形的導(dǎo)出范疇，Kb(projZA)是modZA的Z-分次有界投射復(fù)形的同倫范疇. 定義A的Z-分次奇點(diǎn)范疇為 Verdier 商

現(xiàn)在我們給出 Buchweitz-Happel 定理.

定理2.4[1]設(shè)A是Z-分次 Gorenstein 代數(shù). 則存在三角等價Φ:GprojZ(A)?Dsg(modZA).

對一個三角范疇T， 若對象T∈T滿足下列條件：

(i) 對任意i>0，HomT(T,T[i])=0；

(ii)T=thickTT，

則稱T為 sliting 對象. 進(jìn)一步，若silting 對象T還滿足對任意i<0有HomT(T,T[i])=0，則稱T為傾斜對象.

定理2.5[3]若代數(shù)的三角 Krull-Schmidt 范疇T有一個傾斜對象T, 則存在三角等價

T?Kb(projEndT(T)op).

定義2.6若矩陣C=(cij)∈Mn(Z) 滿足：

(C1)cii=2， ?i；

(C2)cij≤0， ?i=j；

(C3)cij=0 當(dāng)且僅當(dāng)cji=0；

(C4) 存在對角整數(shù)矩D=diag(c1,…,cn) 使得DC對稱，其中對任意的i有ci≥1，

則稱C為可對稱化廣義嘉當(dāng)矩陣，其中(C4)中矩陣D為C的對稱化子.

設(shè)C=(cij)∈Mn(Z)是可對稱化廣義嘉當(dāng)矩陣.C的定向Ω是指{1,2,…,n}×{1,2,…,n} 的一個滿足如下條件的子集：

(i) {(i,j),(j,i)}∩Ω≠?當(dāng)且僅當(dāng)cij<0;

(ii) 對任意序列((i1,i2),(i2,i3),…,(it,it+1))，若滿足t≥1 和對任意 1≤s≤t，有(is,is+1)∈Ω，則i1≠it+1.

設(shè)K為代數(shù)閉域. 對箭圖Q=Q(C,Ω)和C的對稱化子D=diag(c1,…,cn)，定義

其中KQ是Q的路代數(shù),I是KQ的由如下關(guān)系生成的理想:

則稱H為對應(yīng)于C,D,Ω的GLS-代數(shù)，簡稱為GLS-代數(shù)[6]. 由定義，GLS-代數(shù)是有限維路代數(shù)(bounded quiver algebra).

定理2.7[6]沿用上述記號，H=H(C,D,Ω)是1-Gorenstein代數(shù).

和

可知，交換關(guān)系也是齊次的. 從而H也是Z-分次的. 顯然，H=H≥0，從而H是正分次代數(shù). 故H是正分次的1-Gorenstein代數(shù). 證畢.

值得注意的是，這里給出的H的Z-分次不同于文獻(xiàn)[6]中給出的Z-分次.

3 主要結(jié)果的證明

設(shè)

則Gi是Pi的Z-分次子空間. 由生成關(guān)系(H1)和(H2)可知，

引理3.1沿用上述記號，對任意i∈Q0，存在如下正合列

其中kj=(fij-1)c/ci，l=(ci-1)c/ci. 特別地，f是Si(0) 的一個右 Gorenstein 投射逼近并且topGi(l)=(topGi(l))≤0.

證明 首先，由定理2.2我們有GprojZ(H)=Ω1(modZH).由Gi是投射模Pi的子模，則Gi是Z-分次 Gorenstein 投射模.

Si(-l).

從而我們得到了引理中的正合列. 由短正合列我們有f是Si(0) 的一個右Gorenstein投射逼近并且得到如下正合列

topGi(l)→topSi(0)→0.

由于deg(top(Pj(kj)))=-kj,deg(top(Si(0))=0，故topGi(l)=(topGi(l))≤0. 證畢.

滿足第一行是正合列，其中fM是M的一個右 Gorenstein 投射逼近且gr.proj.dimKerfM≤d-1.

證明 考慮如下交換圖，其中右邊方塊是拉回：

使得第一行是正合的. 考慮如下交換圖

,

其中每行每列都是正合的. 由gr.proj.dimKerfL≤d-1 和gr.proj.dimKerfN≤d-1，我們有g(shù)r.proj.dimKergh≤d-1.由于GL和GN都是 Gorenstein 投射的，則Y也是 Gorenstein 投射的.令Y為GM和fM=gh.結(jié)論成立. 證畢.

下面定義截斷函子(-)≥i:modZA→modZA和(-)≤i:modZA→modZA. 對Z-分次A-模X, 定義X的Z-分次子模X≥i：

(1)

令

(2)

為X的Z-分次商模.

為了證明定理1.1，我們還需要下述引理.

引理3.3[5]設(shè)A為正分次1-Gorenstein 代數(shù). 若gl.dimA0<, 則T=⊕i≥0A(i)≤0是Dsg(modZA) 中的silting對象.

取H(i)≤0的極小投射預(yù)解

…→P2→P1→H(i)→H(i)≤0→0.

HomDsg(modZ(H))(T[i],T)=

HomDsg(modZ(H))(GT[i],GT)=

我們斷言: 對任意i>0，ΩiGT?ΩiT. 事實上，我們只需要證明ΩGT?ΩT. 由于 KerfT是投射模，則有如下交換圖

使得每行和每列都是正合的，其中X為KerfT⊕(⊕i≥0H(i)). 特別地，ΩGT?ΩT. 我們證明了斷言.

對任意f∈HommodZ(H)(GT,ΩiT)，由于Imf是ΩiT的Z-分次子模且(ΩiT)≤0=0，則 (Imf)≤0=0，從而(top(Imf))≤0=0. 考慮如下交換圖

HomDsg(modZ(H))(T[i],T)=

所以T是Dsg(modZH) 的傾斜對象.