應(yīng)用分塊矩陣求逆解算約束秩虧間接平差模型

謝 波 劉連旺

1 合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院，合肥市姥山南路1號(hào)，238000 2 桂林理工大學(xué)博文管理學(xué)院，桂林市雁山街317號(hào)，541006

在經(jīng)典測(cè)量平差模型中，將附有限制條件的間接平差模型作為概括平差函數(shù)模型[1]具有列立誤差方程式規(guī)律性強(qiáng)、參數(shù)平差值即為結(jié)果、便于編程計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)[2]，但該模型中滿秩的誤差方程包含已知數(shù)據(jù)，約束方程也由已知數(shù)據(jù)建立，會(huì)混淆已知數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)2類(lèi)不同性質(zhì)的數(shù)據(jù)。若將平差系統(tǒng)中所有點(diǎn)作為未知參數(shù)，利用觀測(cè)數(shù)據(jù)建立誤差方程，用已知數(shù)據(jù)建立約束方程或基準(zhǔn)方程，兩者聯(lián)合組成約束秩虧間接平差模型，不僅可有效區(qū)分觀測(cè)數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)，并且在理解參考系效應(yīng)和內(nèi)部噪聲、評(píng)定觀測(cè)值的內(nèi)部符合精度、分析已知數(shù)據(jù)對(duì)平差結(jié)果的影響[3-4]等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。因此，約束秩虧間接平差模型被廣泛應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)、近景攝影測(cè)量、GPS測(cè)量、地球參考框架建立[5-8]等大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)解算約束秩虧間接平差模型的方法進(jìn)行過(guò)大量研究[9-12]，本文在這些研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析約束秩虧間接平差模型的法方程系數(shù)四分塊矩陣結(jié)構(gòu)，研究其凱利逆矩陣的存在條件和顯性表達(dá)式，并驗(yàn)證公式的正確性，為解算約束秩虧間接平差模型提供簡(jiǎn)單準(zhǔn)確的方法。

1 特殊分塊矩陣求逆

1.1 引理[13]

(1)

(2)

1.2 存在性條件

(3)

即

u≤r+s或u-r≤s

(4)

式(4)表明，C的行數(shù)大于等于N的秩虧數(shù)。

1.3 定理及證明

(5)

本文將通過(guò)廣義逆矩陣法和矩陣變換法2種方法驗(yàn)證該表達(dá)式。

1.3.1 廣義逆矩陣法

(6)

根據(jù)矩陣分解性質(zhì)[15]，存在u×u滿秩矩陣A，使得行滿秩矩陣：

(7)

同理，存在u×u滿秩矩陣B，使得列滿秩矩陣：

(8)

所以，

(9)

(10)

上述推算過(guò)程和結(jié)果表明，s×u行滿秩矩陣和u×s列滿秩矩陣相乘后可得s×s滿秩矩陣。

(11)

得證。

1.3.2 矩陣變換法

設(shè)

(12)

則：

NQ11+CTQ21=Iu

(13)

(14)

(15)

CQ12=Is

(16)

在式(15)左乘CT與式(13)相加可得：

(N+CTC)Q11+CTQ21=Iu

(17)

同理，將式(16)左乘CT再與式(14)相加可得：

(18)

聯(lián)立式(15)～式(18)，用矩陣形式可表示為：

(19)

(20)

可得：

(21)

得證。

2 約束秩虧間接平差模型參數(shù)的應(yīng)用

2.1 約束秩虧間接平差模型的參數(shù)估計(jì)

約束秩虧間接平差模型可表示為：

(22)

(23)

上述參數(shù)估計(jì)為約束條件下的極值求解問(wèn)題，按照拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造函數(shù)：

(24)

(25)

(26)

令N=BTPB，W=BTPL，用矩陣形式可表示為：

(27)

則：

(28)

式中，N為u×u階秩虧矩陣，R(N)=R(B)=t

(29)

展開(kāi)得：

(N+CTC)-1CT[C(N+CTC)CT]-1

C(N+CTC)-1}BTPL+(N+CTC)-1CT

[C(N+CTC)CT]-1WX

(30)

式(30)即為約束秩虧間接平差模型參數(shù)估計(jì)的一般顯性表達(dá)式。

2.2 數(shù)值算例

在圖1所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知水準(zhǔn)點(diǎn)A和B的高程分別為HA=237.483 m、HB=233.868 m，為求P1、P2點(diǎn)的高程，進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，表1為測(cè)量高差和水準(zhǔn)路線。分別采用約束秩虧間接平差模型和間接平差模型解算待求點(diǎn)P1、P2的高程，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)Fig.1 Leveling network

表1 觀測(cè)數(shù)據(jù)

2.2.1 約束秩虧間接平差模型解算

式中，未知參數(shù)的系數(shù)矩陣B為列秩虧，符號(hào)?表示等價(jià)的矩陣形式。

A、B為已知點(diǎn)，可以組成限制條件方程：

按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)重，并令1 km的觀測(cè)高差為單位權(quán)，則觀測(cè)值的權(quán)陣為：

P=diag[1/2.01/1.01/2.01/2.01/2.0]

通過(guò)分析可知，上述誤差方程式系數(shù)矩陣B秩虧數(shù)為1，限制條件方程系數(shù)C為行滿秩，條件方程個(gè)數(shù)為2，大于秩虧數(shù)，滿足存在性條件。

將已知參數(shù)B、P、L、C、WX代入本文推導(dǎo)的約束秩虧間接平差模型參數(shù)估計(jì)公式(30)，計(jì)算可得：

2.2.2 間接平差模型解算

同理，按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)重。

根據(jù)最小二乘原則，將已知參數(shù)B、P、L代入，解算得：

3 結(jié) 語(yǔ)

1)本文對(duì)左上角子矩陣秩虧、右下角子矩陣為零的特殊四分塊矩陣進(jìn)行分析，在滿足左下角子矩陣為行滿秩及行數(shù)大于左上角子矩陣秩虧數(shù)的條件下，證明其存在凱利逆矩陣，該存在條件可為自由網(wǎng)附加條件法的平差提供理論依據(jù)。

2)在通常的四分塊矩陣求廣義逆矩陣和凱利逆矩陣公式的基礎(chǔ)上，利用廣義逆矩陣法和矩陣變換法推導(dǎo)該類(lèi)特殊四分塊矩陣凱利逆矩陣的顯性表達(dá)式。該公式可用于解算約束秩虧間接平差模型的參數(shù)估計(jì)，為約束秩虧間接平差模型的解算提供簡(jiǎn)單準(zhǔn)確的方法，具有理論和應(yīng)用價(jià)值。