面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定與實(shí)驗(yàn)研究*

王騰輝，襲萌萌，劉海波，王永青

(大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

0 引言

在機(jī)測量是將測量傳感器集成于數(shù)控加工裝備、在機(jī)獲取加工過程中零件幾何信息的測量方式，已成為航空航天、精密物理實(shí)驗(yàn)等領(lǐng)域高性能零件精密加工質(zhì)量控制的重要工藝環(huán)節(jié)。以復(fù)雜弱剛性零件為例，如火箭噴管、飛機(jī)壁板等，其最終精加工面形需依據(jù)在機(jī)測量獲得的零件實(shí)際狀態(tài)反饋。因此，在機(jī)測量結(jié)果的可信程度將直接影響零件加工質(zhì)量的一致性和穩(wěn)定性，要求合理評(píng)定在機(jī)測量的不確定度。而靜態(tài)測量評(píng)定邏輯的常規(guī)處理辦法無法有效解決此難題。

對(duì)在機(jī)測量進(jìn)行測量不確定度精確評(píng)定，須將不確定度評(píng)定引入在機(jī)測量系統(tǒng)，進(jìn)行在機(jī)測量狀態(tài)下的不確定度評(píng)定。在機(jī)測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，測量過程伴隨著機(jī)械振動(dòng)、運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)誤差、環(huán)境噪聲以及環(huán)境溫度變化等影響因素，僅主要不確定度源就多達(dá)幾十個(gè)，且其間的傳遞關(guān)系難以準(zhǔn)確量化。面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定不僅采樣難度大，計(jì)算繁瑣，且缺乏相關(guān)的系統(tǒng)性理論指導(dǎo)方法，難以實(shí)現(xiàn)在機(jī)測量測量不確定度評(píng)定。

為此，開展面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度分析與評(píng)估研究，設(shè)計(jì)可行的量化評(píng)定框架，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 典型在機(jī)測量系統(tǒng)

典型在機(jī)測量系統(tǒng)如圖1所示,測量傳感器集成于機(jī)床末端。在機(jī)測量涉及三個(gè)參考坐標(biāo)系，分別是機(jī)床坐標(biāo)系{OM:XM,YM,ZM}，工件坐標(biāo)系{OW:XW,YS,ZS}和傳感器坐標(biāo)系{OS:XS,YS,ZS}。在掃描測量過程中，傳感器的測量運(yùn)動(dòng)被約束在一組數(shù)字化平面內(nèi)。

圖1 典型在機(jī)測量系統(tǒng)

掃描測量重點(diǎn)坐標(biāo)提取是將曲面上的測點(diǎn)從傳感器坐標(biāo)系CS變換到機(jī)床坐標(biāo)系CM的過程，其基本轉(zhuǎn)變關(guān)系模型為：

(1)

由此可以看出，在機(jī)測量不確定度主要來源于如下幾個(gè)方面：①測量驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)引入的誤差。如機(jī)床定位誤差、重復(fù)定位誤差、結(jié)構(gòu)振動(dòng)導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)誤差。②數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)引入的誤差。如測量傳感誤差、數(shù)據(jù)采集誤差、數(shù)據(jù)修約誤差等。③測量環(huán)境引入的誤差。如溫度、濕度、氣壓、噪聲等引起的誤差。

2 測量不確定度評(píng)定策略與建模

為避免囿于在機(jī)測量的繁雜不確定度溯源，將在機(jī)測量系統(tǒng)視為黑箱，系統(tǒng)各因素對(duì)測量不確定度的影響直接反應(yīng)到測量結(jié)果，利用結(jié)果的量值特性指標(biāo)確定不確定度分量。面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定的總體策略為：分析不確定度來源或分量；規(guī)劃樣本集并采集樣本數(shù)據(jù)；基于極大似然估計(jì)對(duì)各分量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，得到各不確定度分量的概率密度函數(shù)；建立面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定數(shù)學(xué)模型；基于自適應(yīng)MCM法進(jìn)行不確定度的傳遞和合成，完成不確定度評(píng)定。

2.1 在機(jī)測量不確定度分量分析

利用量值特性指標(biāo)反映在機(jī)測量系統(tǒng)的計(jì)量特性，將測量結(jié)果的量值統(tǒng)計(jì)特性作為不確定度的主要來源，可以評(píng)價(jià)不同誤差引入的不確定度分量。面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定，主要考慮重復(fù)性測量、復(fù)現(xiàn)性測量、環(huán)境溫度變化和數(shù)據(jù)修約引入的不確定度分量。重復(fù)性和復(fù)現(xiàn)性都是測量系統(tǒng)不確定度分析的重要量值特性指標(biāo)，兩者關(guān)系如圖2所示。重復(fù)性指在相同的測量條件下，對(duì)同一被測量所做連續(xù)多次測量結(jié)果之間的一致性，其主要來源于在機(jī)測量系統(tǒng)的各種隨機(jī)效應(yīng)；復(fù)現(xiàn)性指在一種或多種測量條件改變時(shí)，同一被測量的各測量結(jié)果間的一致性，其主要來源于在機(jī)測量系統(tǒng)的系統(tǒng)效應(yīng)；溫度變化將引起被測件和測量系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)的尺寸變化，進(jìn)而影響測量結(jié)果的分散性，若復(fù)現(xiàn)性測量時(shí)未考慮環(huán)境溫度變化帶來的影響，則需要將環(huán)境溫度變化帶來的影響單獨(dú)考慮；數(shù)據(jù)修約引入的不確定度分量主要來源于測量數(shù)據(jù)圓整誤差。

圖2 重復(fù)性與復(fù)現(xiàn)性示意圖

2.2 數(shù)據(jù)樣本規(guī)劃

當(dāng)面向任務(wù)進(jìn)行測量不確定度評(píng)定時(shí)，樣本集的點(diǎn)位規(guī)劃應(yīng)盡可能反映被測對(duì)象的形貌；當(dāng)面向在機(jī)測量系統(tǒng)進(jìn)行測量不確定度評(píng)定時(shí)，樣本集的點(diǎn)位規(guī)劃應(yīng)盡可能反映可測空間或指定空間的全域。為此，為面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定設(shè)計(jì)了網(wǎng)格點(diǎn)陣式和正交連續(xù)式兩種數(shù)據(jù)樣本集；并提出了同步測量采樣方法。

(1)網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集

依據(jù)在機(jī)測量范圍合理劃定立方區(qū)域(圖3a中的立方區(qū)域所示)，在機(jī)床笛卡爾坐標(biāo)系下進(jìn)行三維網(wǎng)格等分，把網(wǎng)格交叉節(jié)點(diǎn)(圖3a中六角星所示)作為測量點(diǎn)位，形成網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集。通過對(duì)同一點(diǎn)位的重復(fù)測量可以得到重復(fù)性測量不確定度分量樣本集；對(duì)不同點(diǎn)位間的依次測量可以得到復(fù)現(xiàn)性測量不確定度分量樣本集；在不同環(huán)境溫度下對(duì)同一點(diǎn)位進(jìn)行連續(xù)測量，可以得到環(huán)境溫度數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)位移測量數(shù)據(jù)樣本集。同理，對(duì)于柱形空間可采用柱坐標(biāo)網(wǎng)格等分，對(duì)于球形空間可采用球坐標(biāo)網(wǎng)格等分。

(2)正交連續(xù)式樣本集

對(duì)于選定立方區(qū)域(圖3b中的立方區(qū)域所示)，沿與機(jī)床坐標(biāo)系平行的三個(gè)正交方向進(jìn)行劃分，沿正交方向進(jìn)行往復(fù)式運(yùn)動(dòng)(圖3b雙向箭頭所示)狀態(tài)下的連續(xù)測量，可以得到復(fù)現(xiàn)性測量不確定度分量樣本集；對(duì)三維正交點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)測量，可以得到重復(fù)性測量不確定度分量樣本集；在不同環(huán)境溫度下對(duì)三維正交點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)測量，可以得到環(huán)境溫度數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)位移測量數(shù)據(jù)樣本集。

(a) 網(wǎng)格點(diǎn)陣式 (b) 正交連續(xù)式圖3 樣本集

為獲取在機(jī)動(dòng)態(tài)測量的樣本集各點(diǎn)位的樣本數(shù)據(jù)，測量單元需在CNC運(yùn)動(dòng)單元的帶動(dòng)下移動(dòng)至各點(diǎn)位進(jìn)行采樣，測量過程中將待測標(biāo)準(zhǔn)單元(如標(biāo)準(zhǔn)球)與測量單元保持同步狀態(tài)。測量單元和待測標(biāo)準(zhǔn)單元可以在對(duì)各誤差源正常響應(yīng)的情況下摒棄無關(guān)干擾對(duì)采樣帶來的影響，保證測量結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)意義。

對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集的采樣，要想獲取復(fù)現(xiàn)性測量不確定度分量樣本集，就需要對(duì)各網(wǎng)格點(diǎn)陣的節(jié)點(diǎn)(待測點(diǎn)位)進(jìn)行測量。用機(jī)床坐標(biāo)保證測量單元與待測單元同步運(yùn)動(dòng)到這些待測點(diǎn)位，依次進(jìn)行各點(diǎn)位的采樣。對(duì)于正交連續(xù)式樣本集的采樣，用機(jī)床坐標(biāo)保證待測單元和測量單元沿三個(gè)維度的正交方向(圖3b雙向箭頭所示)進(jìn)行同步往復(fù)式運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的連續(xù)采樣。

2.3 在機(jī)測量不確定度評(píng)定建模

對(duì)各分量Y1,Y2,···,YN的樣本集數(shù)據(jù)(如1.2節(jié)中的重復(fù)性測量樣本集、復(fù)現(xiàn)性測量樣本集、溫度變化影響樣本集等數(shù)據(jù))進(jìn)行分布擬合，按照極大似然估計(jì)原則找出其最佳擬合分布，確定其概率密度函數(shù)gYi(ξi)。針對(duì)各不確定度分量Y1,Y2,···,YN對(duì)測量不確定度Y的影響，建立Y與Y1,Y2,···,YN間的模型。

Y=H(Y1，Y2，…,YN)

(2)

Y1,Y2,···,YN常見的概率密度函數(shù)類型有高斯分布、矩形分布、三角分布、指數(shù)分布、梯形分布、t分布、U形分布等，面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定還會(huì)遇到雙峰形分布或非對(duì)稱分布，如Burr分布、廣義極值分布、Γ分布、F分布、Weibull分布等，則式(2)可進(jìn)一步表示為：

(3)

基于自適應(yīng)MCM進(jìn)行不確定的傳遞合成[13]，完成Y1,Y2,···,YN到Y(jié)的傳遞及數(shù)值運(yùn)算。從Yi的概率密度函數(shù)gYi(ξi)中抽取隨機(jī)數(shù)樣本值yi，r(i=1，2，···,N；r=1,2,···,M)，其中M為：

(4)

對(duì)每個(gè)樣本向量(y1,r,y2,r,···,yN,r)，通過傳遞函數(shù)H可計(jì)算相應(yīng)Y的模型值：

yr=H(y1,r,y2,r,···,yN,r),r=1,2,···,M

(5)

(6)

式中，

(7)

(8)

利用獲得的h×M個(gè)離散模型值，按嚴(yán)格遞增次序排序，對(duì)其歸一化處理得到Y(jié)的分布函數(shù)GY(η)的離散表示G，計(jì)算出估計(jì)值y、不確定度u(y)：

(9)

(10)

利用GY(η)的統(tǒng)計(jì)直方圖計(jì)算出概率p下的包含區(qū)間[yleft,yright]，完成基于自適應(yīng)MCM的輸出，實(shí)現(xiàn)對(duì)在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定。自適應(yīng)蒙特卡洛法如圖4所示。

圖4 自適應(yīng)蒙特卡洛法

3 測量不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖5 在機(jī)測量系統(tǒng)

基于HMC500S2型鏡像對(duì)稱式運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，選用米依光譜共焦位移傳感器、ZEISS標(biāo)準(zhǔn)球和四軸Micro-Block位移臺(tái)等搭建在機(jī)測量系統(tǒng)(圖5)，該系統(tǒng)主輔兩側(cè)各具有3個(gè)正交運(yùn)動(dòng)自由度，測量系統(tǒng)集成在主側(cè)、待測單元集成在輔側(cè)。進(jìn)行動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定方法和策略的驗(yàn)證。

3.1 樣本采集及數(shù)據(jù)擬合

3.1.1 重復(fù)性測量不確定度分量

選擇固定點(diǎn)位進(jìn)行重復(fù)性測量；按照極大似然估計(jì)原則進(jìn)行分量分布擬合，各擬合分布的對(duì)數(shù)似然估計(jì)值見表1，得到其最佳擬合分布為廣義極值分布。

表1 不同分布擬合及其對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)似然估計(jì)值

重復(fù)性測量不確定度分量分布直方圖及其廣義極值分布擬合概率密度函數(shù)見圖6。

圖6 重復(fù)性測量不確定度分量分布直方圖 及其廣義極值分布擬合概率密度函數(shù)

均值E=0.493 404，方差V=0.244 243×10-6，其概率密度函數(shù)滿足式(11)，位置參數(shù)k=-0.128 033、尺度參數(shù)σ=0.443 345×10-3和形狀參數(shù)μ=0.493 199。

(11)

3.1.2 復(fù)現(xiàn)性測量不確定度分量

(1)網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集

選定區(qū)域及測量點(diǎn)位規(guī)劃如圖7所示，其中六角形為復(fù)現(xiàn)性測量的網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集規(guī)劃點(diǎn)位，共72個(gè)點(diǎn)位。

圖7 測量點(diǎn)位規(guī)劃

對(duì)每個(gè)測量點(diǎn)位選取4 000個(gè)測量值求取均值作為該點(diǎn)位復(fù)現(xiàn)性量值，按式(12)計(jì)算不同點(diǎn)位的量值。

(12)

由圖8可知，不同點(diǎn)位量值具有明顯分散性，主要因?yàn)樵跈C(jī)測量系統(tǒng)的定位誤差和重復(fù)定位誤差等。

圖8 72個(gè)測量點(diǎn)位數(shù)據(jù)均值散點(diǎn)及平滑線圖

按照極大似然估計(jì)原則對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集復(fù)現(xiàn)性測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，各擬合分布的對(duì)數(shù)似然估計(jì)值見表1，其最佳擬合分布為廣義極值分布，均值E=0.477 421，方差V=0.343 284×10-3，其概率密度函數(shù)(PDF)滿足式(10)，位置參數(shù)k=-0.592 799、尺度參數(shù)σ=0.020 177 3和形狀參數(shù)μ=0.473 770。網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集復(fù)現(xiàn)性測量分布直方圖及其廣義極值分布擬合概率密度函數(shù)見圖9。

圖9 網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集復(fù)現(xiàn)性測量分布直方圖 及其廣義極值分布擬合概率密度函數(shù)

(2)正交連續(xù)式樣本集

在測量單元與待測標(biāo)準(zhǔn)球同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下進(jìn)行三個(gè)維度正交方向上的往復(fù)循環(huán)式動(dòng)態(tài)測量，測量路徑及范圍如圖10所示。

圖10 正交連續(xù)式樣本集動(dòng)態(tài)復(fù)現(xiàn)性測量路徑及范圍

從圖11可以看出，受各直線軸定位誤差、重復(fù)定位誤差、安裝誤差以及機(jī)床運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的震動(dòng)等因素的影響，傳感器示值隨著機(jī)床的往復(fù)式運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)規(guī)律性波動(dòng)。

圖11 在機(jī)動(dòng)態(tài)測量

對(duì)正交連續(xù)式樣本集復(fù)現(xiàn)性測量數(shù)據(jù)按照極大似然估計(jì)原則進(jìn)行分布擬合，各擬合分布的直方圖及其Burr擬合分布概率密度函數(shù)見圖12。

圖12 正交連續(xù)式樣本集復(fù)現(xiàn)性測量量值分布 直方圖及其Burr擬合分布概率密度函數(shù)

均值E=0.493 381，方差V=0.728 734×10-6，其概率密度函數(shù)滿足式(13)，形狀參數(shù)c=80.730 400和位置參數(shù)k=3.469 360，尺度參數(shù)α=-0.503 618。

(13)

3.1.3 環(huán)境溫度不確定度分量

在連續(xù)24 h不同環(huán)境溫度下，對(duì)同一點(diǎn)位進(jìn)行測量數(shù)據(jù)和溫度數(shù)據(jù)采集，通過多項(xiàng)式擬合找出環(huán)境溫度變化對(duì)測量結(jié)果的影響規(guī)律，多項(xiàng)式擬合得到：

Y溫度=-0.013 840×T+0.567 500

(14)

可見傳感器量值與環(huán)境溫度量值呈現(xiàn)明顯的負(fù)線性關(guān)系，影響系數(shù)τ=-0.013 840 mm/℃。因此，環(huán)境溫度帶來的不確定度分量可采用矩形分布參與后續(xù)運(yùn)算。

(15)

其中，a、b依據(jù)評(píng)定實(shí)時(shí)溫度求解，當(dāng)在機(jī)測量系統(tǒng)實(shí)時(shí)環(huán)境溫度為5 ℃～10 ℃時(shí)，a=0.429 100和b=0.498 300。

3.1.4 數(shù)據(jù)修約引入的不確定度分量

因測量數(shù)據(jù)保留6位有效數(shù)字，數(shù)據(jù)修約引入的不確定度分量為滿足式(15)的矩形分布，其中a=-0.5×10-6，b=0.5×10-6。

3.2 評(píng)定模型

考慮到主要不確定度分量為重復(fù)性測量、復(fù)現(xiàn)性測量、溫度變化和數(shù)據(jù)修約4個(gè)方面引起，故以這4項(xiàng)分量作為考慮對(duì)象建立測量不確定度評(píng)定模型，由于各分量不具有相關(guān)性，可以采用算術(shù)疊加進(jìn)行合成，數(shù)學(xué)模型為：

(16)

該在機(jī)測量系統(tǒng)實(shí)際使用時(shí)環(huán)境溫度在5 ℃～10 ℃變化來考慮對(duì)不確定度的影響。則網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集的測量不確定度評(píng)定數(shù)學(xué)模型為：

Y=

(17)

正交連續(xù)式樣本集的測量不確定度評(píng)定數(shù)學(xué)模型為：

Y=

(18)

3.3 不確定度傳遞及合成

基于自適應(yīng)MCM完成MATLAB編程，依式(17)、式(18)數(shù)學(xué)模型生成隨機(jī)數(shù)序列，進(jìn)行不確定度傳遞，并進(jìn)行自適應(yīng)迭代運(yùn)算，當(dāng)滿足式(8)時(shí)，運(yùn)算達(dá)到穩(wěn)定，依式(9)、式(10)等進(jìn)行運(yùn)算求得估計(jì)值、不確定度和包含區(qū)間。

通過圖13可以看出，輸出量為偏態(tài)分布(左偏態(tài))或近似三角分布。進(jìn)行了5.7×106次MCM試驗(yàn)，輸出量均值為0.461 6，不確定度為0.027 2，在95%包含概率下的包含區(qū)間為[0.410 9，0.513 4]。

通過圖14可以看出：輸出量為偏態(tài)分布(左偏態(tài))或近似曲邊梯形分布。進(jìn)行了2.11×106次MCM試驗(yàn)，輸出量均值為0.461 6，不確定度為0.021 7，在95%包含概率下的包含區(qū)間為[0.423 9, 0.500 7]。

圖13 網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集測量不確定度輸出量概率密度函數(shù) 圖14 正交連續(xù)式樣本集測量不確定度輸出量概率密度函數(shù)

4 結(jié) 論

文章研究并提出了面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度分析及評(píng)定策略，為面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定提供了可行方案。

(1)融合黑箱理論并引入量值特性分析方法進(jìn)行不確定度分析，確定了不確定度主要分量，有效避免了對(duì)不確定度分量的遺漏和重復(fù)考慮，便于對(duì)各不確定度分量進(jìn)行量化，提升了不確定度分析于在機(jī)測量中的可靠性和適用性。

(2)提出了網(wǎng)格點(diǎn)陣式樣本集和正交連續(xù)式樣本集兩種樣本集規(guī)劃方法，樣本集的點(diǎn)位規(guī)劃可以反映可測空間或指定空間的全域。提出了待測單元與測量單元同步運(yùn)動(dòng)采樣方法，實(shí)現(xiàn)了在機(jī)測量狀態(tài)下的合理有效采樣。

(3)厘清并解決了評(píng)定運(yùn)算時(shí)的具體問題，包括：提出按照極大似然估計(jì)原則對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到各分量的分布規(guī)律及概率密度函數(shù)；建立了面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定數(shù)學(xué)模型；基于自適應(yīng)MCM實(shí)現(xiàn)在機(jī)測量不確定度的傳遞合成。

(4)開展了面向在機(jī)測量的動(dòng)態(tài)測量不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提出評(píng)定方法與策略的可行性。