基于冪次趨近律滑模觀測器的永磁同步電機控制*

白天宇，劉 軍，許志明，唐文俏

(上海電機學(xué)院電氣學(xué)院，上海 201306)

0 引言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有功率密度高，轉(zhuǎn)子損耗小等優(yōu)點，被應(yīng)用于各個領(lǐng)域。要對永磁同步電機實施高性能控制，那么精準(zhǔn)的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息的獲取變得至關(guān)重要。由于機械傳感器會增加電機驅(qū)動系統(tǒng)的成本和體積，而且在一些極端環(huán)境下機械傳感器的使用存在著許多不便。因此，無傳感器控制技術(shù)成為了永磁同步電機控制系統(tǒng)的研究熱點[1-5]。

目前，PMSM無傳感器控制獲取電機轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置的方法主要分以下兩種：基于電機的數(shù)學(xué)模型和基于電機的凸極效應(yīng)[6]?；陔姍C數(shù)學(xué)模型主要有適用于電機中高速運行階段的模型參考自適應(yīng)法[7]、滑模觀測器法[8-9]、擴展卡爾曼濾波法[10-11]等?；陔姍C凸極效應(yīng)的主要有適用于零低速運行階段的旋轉(zhuǎn)高頻信號注入法和脈振高頻信號注入法。當(dāng)電機運行在中高速階段，通常是對電機的反電動勢進行觀測，從而根據(jù)反電動勢來獲得電機的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息。文獻[12]采用sigmoid函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)來對反電動勢進行估計，在一定程度上削弱了系統(tǒng)的抖振問題。文獻[13]采用一種分段型指數(shù)函數(shù)作為滑模觀測器的切換函數(shù)，可以有效的削弱抖振，但電機啟動時的轉(zhuǎn)速誤差較大。文獻[14]采用反正切方法來估算轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速，導(dǎo)致了較大的估計誤差。文獻[15]采用鎖相環(huán)的方法來估算轉(zhuǎn)子位置，但是轉(zhuǎn)子位置的觀測值受到轉(zhuǎn)速變化的影響，降低了轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的觀測精度。

本文提出了一種基于冪次趨近律的新型滑模觀測器，該新型滑模觀測器采用新型分段函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器中的切換函數(shù)，并引入冪次趨近律結(jié)合到新型滑模觀測器的切換函數(shù)中，利用李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)驗證了其穩(wěn)定性，同時對用于轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速估計的鎖相環(huán)進行改進，消除了轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子位置觀測精度的影響。最后通過仿真對比分析，結(jié)果表明該控制方法提高了轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的觀測精度，減弱了系統(tǒng)的高頻抖振，具有良好的控制性能。

1 永磁同步電機數(shù)學(xué)模型

假定永磁同步電機為理想電機，并滿足條件: ①忽略定子鐵芯飽和，磁路為線性，電感參數(shù)不變；②轉(zhuǎn)子永磁體磁場在氣隙空間分布為正弦波；③不計鐵芯和渦流損耗；④轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組,則表貼式永磁同步電機在兩相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

(2)

式中，iα、iβ為定子電流在α、β軸上的電流分量，Rs為定子電阻，Ls為定子電感，uα、uβ為定子電壓在α、β軸上的電壓分量，Eα、Eβ為α、β軸上的反電動勢分量，ψf為永磁體磁鏈，ωe為電角速度，θ為轉(zhuǎn)子位置角度。

由式(1)可得，轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息包含在反電動勢中，因此，可以通過對反電動勢進行觀測，從而得到轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速。

2 傳統(tǒng)滑模觀測器

為了獲得反電動勢的估計值，傳統(tǒng)滑模觀測器設(shè)計通常如下：

(3)

(4)

(5)

式中，k為滑模切換增益，且k滿足：

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(6)

為了獲得連續(xù)的反電動勢，需要對式(6)進行低通濾波處理，濾波后得：

(7)

式中，ωc為低通濾波器的截止頻率，可得到反電動勢的估算值，由式(2)可得轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的觀測值為：

(8)

(9)

由于低通濾波器的使用，會引起相位滯后和幅值變化，因此為了獲得較為精確的轉(zhuǎn)子位置信息，需要對轉(zhuǎn)子位置角進行補償，即：

(10)

3 新型滑模觀測器

3.1 切換函數(shù)

傳統(tǒng)滑模觀測器的抖振現(xiàn)象主要是因為切換函數(shù)的不連續(xù)性所引起的，傳統(tǒng)滑模觀測器大多使用的是符號函數(shù)，因此使得系統(tǒng)存在大量的高次諧波，本文設(shè)計了一種新型分段函數(shù)作為滑模觀測器的切換函數(shù)，其公式為：

(11)

圖1 分段型冪函數(shù)曲線

式中，Δ為邊界層厚度。該分段函數(shù)的函數(shù)特性曲線如圖1所示，由圖可知，在邊界層內(nèi)，函數(shù)f(x)為光滑上升曲線，在邊界層外，函數(shù)f(x)可以使電流的誤差值飽和，所以能夠使估算反電動勢更加光滑。

3.2 冪次趨近律新型滑模觀測器

定義滑模面函數(shù)為:

(12)

取冪次趨近律:

(13)

冪次趨近律新型滑模觀測器建立如下：

(14)

式中，k為冪次趨近律新型滑模觀測器的滑模增益。

將式(14)減去式(1)可得滑模觀測器的誤差方程為：

(15)

由式(15)可知，將新型分段函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器中的符號函數(shù)，并引入冪次趨近律代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器的等速趨近律，經(jīng)過濾波器濾波后，可得到觀測的反電動勢，從而估算轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置信息。

為了驗證其穩(wěn)定性，采用李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)對冪次趨近律新型滑模觀測器進行穩(wěn)定性分析，選取李雅普諾夫函數(shù)為：

(16)

對式(16)求導(dǎo)，并代入電流誤差方程，可得：

(17)

根據(jù)穩(wěn)定性條件，需要滿足：

(18)

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(19)

3.3 鎖相環(huán)估計轉(zhuǎn)子位置

基于反正切函數(shù)的轉(zhuǎn)子位置估算方法會導(dǎo)致較大的轉(zhuǎn)子位置估算角度誤差，因此本文采用鎖相環(huán)來獲取轉(zhuǎn)子位置的觀測值。

當(dāng)定子電壓電流經(jīng)過冪次趨近律新型滑模觀測器后，可以得到觀測的反電動勢，在反電動勢中包含電機的轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信息，故轉(zhuǎn)子位置誤差信號為：

(20)

誤差信號ΔE經(jīng)過PI調(diào)節(jié)器，再經(jīng)過積分可以得到轉(zhuǎn)子位置，鎖相環(huán)的傳遞函數(shù)為：

(21)

(22)

由式(21)可知，速度的變化會影響鎖相環(huán)估算轉(zhuǎn)子位置的精度，因此在傳統(tǒng)鎖相環(huán)中加入一個除法環(huán)節(jié)，可提高觀測器的觀測精度。改進后的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)圖

因此可得：

(23)

此時鎖相環(huán)的傳遞函數(shù)為：

(24)

該鎖相環(huán)可濾除反電動勢中的高頻諧波分量，提高轉(zhuǎn)子位置的觀測精度。

4 仿真結(jié)果及分析

圖3為基于冪次趨近律新型滑模觀測器的永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，采用Matlab/Simulink軟件，搭建了基于冪次趨近律新型滑模觀測器的永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)仿真模型，并對參數(shù)如表1的表貼式永磁同步電機進行了系統(tǒng)仿真。

圖3 PMSM無傳感器控制框圖

表1 電機參數(shù)表

圖4為采用傳統(tǒng)滑模觀測器系統(tǒng)的實際轉(zhuǎn)速、觀測轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)速誤差波形。圖5為采用冪次趨近律新型滑模觀測器系統(tǒng)的實際轉(zhuǎn)速與觀測轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)速誤差波形。由圖可知，傳統(tǒng)滑模觀測器起動性能差，起動階段轉(zhuǎn)速誤差較大，穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速觀測誤差為±13r/min,基于冪次趨近律的新型滑模觀測器減弱了系統(tǒng)的抖振問題，起動階段轉(zhuǎn)速誤差較小，響應(yīng)速度快，可以很好地跟蹤實際轉(zhuǎn)速并且穩(wěn)定在目標(biāo)轉(zhuǎn)速，穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速觀測誤差為±0.1r/min,提高了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速觀測精度。

(a)轉(zhuǎn)速實際值與估計值 (b)轉(zhuǎn)速誤差圖4 傳統(tǒng)滑模觀測器控制的響應(yīng)波形

(a)轉(zhuǎn)速實際值與估計值 (b)轉(zhuǎn)速誤差圖5 冪次趨近律新型觀測器控制的響應(yīng)波形

圖6為使用傳統(tǒng)滑模觀測器系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子實際位置、觀測位置和轉(zhuǎn)子位置觀測誤差響應(yīng)波形。圖7為使用冪次趨近律新型滑模觀測器系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子實際位置、觀測位置和轉(zhuǎn)子位置觀測誤差波形。根據(jù)圖6和圖7對比分析可得，傳統(tǒng)滑模觀測器對于電機轉(zhuǎn)子位置的觀測在初始階段存在著明顯的抖振現(xiàn)象，而且轉(zhuǎn)子位置觀測誤差較大，基于冪次趨近律的新型滑模觀測器可以快速準(zhǔn)確地觀測轉(zhuǎn)子位置，減弱了系統(tǒng)的高頻抖振，轉(zhuǎn)子位置誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)滑模觀測器，觀測精度較高。

(a)轉(zhuǎn)子位置實際值與估計值 (b)轉(zhuǎn)子位置誤差圖6 傳統(tǒng)滑模觀測器控制的響應(yīng)波形

(a)轉(zhuǎn)子位置實際值與估計值 (b)轉(zhuǎn)子位置誤差圖7 冪次趨近律新型觀測器控制的響應(yīng)波形

5 結(jié)論

針對傳統(tǒng)滑模觀測器存在的高頻抖振、觀測精度差等問題，本文采用新型分段函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模觀測器中的符號函數(shù)，并引入冪次趨近律結(jié)合新型分段函數(shù)，同時采用改進鎖相環(huán)技術(shù)對轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速進行估計。仿真結(jié)果表明基于冪次趨近律的新型滑模觀測器能夠減弱系統(tǒng)的高頻抖振，準(zhǔn)確地估算轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速，具有良好的控制性能。