例析分段數(shù)列問(wèn)題求解策略*

廣東省廣州市白云區(qū)教研院 (510440) 徐再友

近年來(lái)各類考試中出現(xiàn)了不少的分段數(shù)列問(wèn)題，雖然與分段函數(shù)是不同類型的問(wèn)題，但在結(jié)構(gòu)上、問(wèn)題的邏輯推理上有相近之處，需要我們根據(jù)分段函數(shù)求解思路，充分抓住數(shù)列問(wèn)題的特點(diǎn)，使二者互幫互補(bǔ)、各用其長(zhǎng)．本文列舉幾個(gè)典型例子并分析點(diǎn)評(píng)，主要提示一些常用有效的求解思路，希望對(duì)讀者朋友有所幫助．

一、尋找周期

例1 已知數(shù)列{an}滿足an+1=

評(píng)注：本題通過(guò)賦值驗(yàn)算，找出了數(shù)列的周期性，揭示了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使問(wèn)題輕松獲解，這是一類常見且比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題．

二、建立聯(lián)系

評(píng)注：這是一個(gè)與分段函數(shù)中“取小”或“取大”函數(shù)是相似的，解題時(shí)要抓住數(shù)列中整數(shù)的特點(diǎn)，運(yùn)用特殊值驗(yàn)算，建立不等式即可范圍解決．

三、探求規(guī)律

評(píng)注：抓住題目中求4m+4項(xiàng)和的特點(diǎn)，通過(guò)賦值驗(yàn)算，找到了所求和式的規(guī)律，這是解題的關(guān)鍵所在．

四、活用遞推

評(píng)注：在充分理解新定義的數(shù)列的實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)定義規(guī)則進(jìn)行賦值驗(yàn)算，找出隱含的遞推關(guān)系，這是破解本題的核心步驟．

五、靈活替換

例5 已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù),當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)f(x+1)-f(x)=1,當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x+1)-f(x)=3,且f(1)+f(2)=5,求f(x)的解析式.

評(píng)注：本題是一個(gè)用函數(shù)符合表述的分段數(shù)列問(wèn)題，通過(guò)分奇偶數(shù)討論并且及時(shí)替換，使問(wèn)題獲得圓滿解決，這里的偶數(shù)時(shí)用奇數(shù)的情形進(jìn)行替換是數(shù)列中常用的手段．

六、分類討論

評(píng)注：在數(shù)列問(wèn)題中，如果在已知式中含有(-1)n，則必須分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)討論，將結(jié)果表示成分段數(shù)列的形式，然后綜合其它條件繼續(xù)解題．

上面幾個(gè)例題是近幾年高考復(fù)習(xí)中常見的題型，也反映了高考題的命題趨勢(shì)，我們應(yīng)該適應(yīng)新情況，及時(shí)調(diào)整、充實(shí)課堂教學(xué)，給學(xué)生實(shí)時(shí)傳遞新方向，少讓學(xué)生走彎路．由于此類問(wèn)題所給條件各異，很難有一個(gè)通法，因而在遇到具體題目時(shí)，應(yīng)該抓住題目特點(diǎn)，注重分析，盡量展示出一個(gè)比較合理的解題方案．