高三專題復(fù)習(xí)如何增效、提質(zhì)？
——公開課“隱圓問題”的教學(xué)思考

江蘇省無錫市第一中學(xué) (214031) 馮一成

上好高三專題復(fù)習(xí)課，第一需要關(guān)注學(xué)情，合理設(shè)計；第二需要關(guān)注文化，提升品質(zhì)；第三需要關(guān)注思維方法，立足解決問題.每位高三數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該通過有針對性的課堂設(shè)計去訓(xùn)煉學(xué)生的思維能力，并且能夠在思維方法的指導(dǎo)下解決問題.

很多事物的本質(zhì)都隱藏在現(xiàn)象的背后，我們一定要努力培養(yǎng)透過現(xiàn)象看本質(zhì)的思維習(xí)慣.現(xiàn)實生活中有很多人都在研究事物變化過程中的不變性，試圖找到規(guī)律.我們在數(shù)學(xué)問題的研究中也存在的同樣的過程，今天我們就一起來看其中一個問題.(展示課題：隱圓問題)

一、隱跡初探

生1：代數(shù)法.設(shè)點帶入條件推導(dǎo)得方程，然后通過方程的形式再判斷軌跡圖形的.

師：很好，這里用到的是解析法，使得探究軌跡的過程變得簡單.談到解析法我們就一定需要知道笛卡爾這位數(shù)學(xué)家了，他創(chuàng)造了平面直角坐標(biāo)系，開創(chuàng)了用代數(shù)的手段研究幾何問題的先河.阿波羅尼斯和笛卡爾能有如此偉大的成就和他們善于發(fā)現(xiàn)，善于思考，善于歸納的品質(zhì)是分不開的，希望大家也能培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，取得屬于自己的成就.追隨前人的腳步，下面我們一起來再來看一些新的問題.

二、隱跡再探

問題2 兩定點A(0,0)，B(0,2)，滿足PA2+PB2=10的動點P構(gòu)成什么曲線？

學(xué)生探求，教師巡視，展示答案.

師：這兩題我們探求軌跡的方法一樣嗎？

生4：不一樣，問題2是代數(shù)法，問題3是幾何法.

師：很好，我們說當(dāng)一個動點在滿足特定條件時，那么一定要具備軌跡思想，通過代數(shù)或者幾何的手段去找到它的軌跡，具備了軌跡思想后，下面我們可以來看這樣一個問題.

師：很好，到這里我們可以小結(jié)一下，題干中若涉及動點滿足特定條件，可概括為：隱跡問題顯性化，軌跡思想是關(guān)鍵.得到圓的方程后生6如何進一步解決問題呢？他把問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交通過幾何法列式計算出了結(jié)果.有沒有同學(xué)從代數(shù)角度求解的？請舉手.

[有幾個同學(xué)偷偷的舉手，又不好意思的放下了.]

[通過詩話的語言，概括出隱圓問題的求解策略：隱跡問題顯性化，軌跡思想是關(guān)鍵；覓得軌跡若是圓，數(shù)形結(jié)合巧計算.讓學(xué)生記憶更加深刻，求解策略更加明確.]

三、理解本質(zhì)，變式求解

已知圓O：x2+y2=1，直線l：2x+y-a+2=0,若直線l上不存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數(shù)a的取值范圍為.

師：大家有沒有感受自己變強了，這個題目無論從形式和內(nèi)容上都變的更為復(fù)雜，但是我們求解起來確變得相對輕松，這就是思維方法的力量，我們發(fā)現(xiàn)這題通過軌跡思想把握住動點P的軌跡，再通過數(shù)形轉(zhuǎn)換變成我們熟悉的直線與圓的位置關(guān)系，最后再求得結(jié)果，自然流暢.

[關(guān)注到學(xué)生的學(xué)情，因為學(xué)生總體水平較弱，通過變式的練習(xí)，及時的鞏固所思所得，通過適時的鼓勵提高學(xué)生的自信，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情.]

下面我們來看兩個高考題，探探其中的玄秘.

四、探秘高考

例2 (2013年江蘇卷第17題改編)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y=2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

圖1

生7：先求出M的軌跡是個圓，可記為圓P，因為存在點M即在圓C上，又在圓P上，兩圓有交點，故圓心距大于等于半徑差的絕對值，小于等于半徑和，可解得結(jié)果.

師：很好，我們再看一題.

(學(xué)生板演，由板演分析問題)

師：這種做法對不對，如果不對，是哪里出了問題？

生8：將解不等式問題當(dāng)成解方程來做，最后加上區(qū)間符號，是對問題的不等價轉(zhuǎn)化.從圖上可以看出，-5,1其實只是兩圓交點的橫坐標(biāo).

師：很好，在坐標(biāo)系背景下，沒有數(shù)形結(jié)合的意識，不會結(jié)合圖形去求解容易出現(xiàn)錯誤.正所謂數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微.重新審視高考隱跡問題，我們會發(fā)現(xiàn)命題形式雖然會有改變，但是考察的思想方法是一致的.

[將重點引向高考，借助高考題的示范作用，展示隱圓問題在高考中的命題方式及求解策略，體現(xiàn)自我研究的價值，肯定方法的正確性，科學(xué)性和有效性.]

五、課堂檢測

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2=10，則實數(shù)a的取值范圍是．

師：兩問的隱跡就是問題2，問題3的結(jié)果，我們延續(xù)思路，容易探求到結(jié)果.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，給你印象最深刻的內(nèi)容是什么？你覺得最大的收獲是什么？

生11：在今后遇到動點滿足特定條件時要先想到挖掘隱性軌跡，再根據(jù)軌跡形式進行求解.

師：很好，最后我們用這一段話為本節(jié)課研究的問題做個小結(jié)：隱跡問題顯性化，軌跡思想是關(guān)鍵；覓得軌跡若是圓，數(shù)形結(jié)合巧計算.

[檢驗課堂的達成度，進一步鞏固思想方法，將課堂立足于問題解決]

六、教學(xué)思考

透過這堂課的教學(xué)實踐，筆者關(guān)于高三專題復(fù)習(xí)課應(yīng)該怎么上？作出了如下的教學(xué)思考：

1.關(guān)注學(xué)情，合理設(shè)計

把握學(xué)情是高三復(fù)習(xí)課的基礎(chǔ)，若老師對學(xué)生實際能力把握不當(dāng)，導(dǎo)致設(shè)計過難或者過簡單，都會使得教學(xué)效果達不到預(yù)期，基于此在備課階段筆者主動了解了開課班級的學(xué)情，及時的調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)內(nèi)容符合學(xué)生實際接受能力.良好的情感互動交流是提升課堂質(zhì)量的有力手段，老師在課堂上若與學(xué)生之間存在明顯的距離感，可能會導(dǎo)致教學(xué)過程遇到學(xué)生不配合，思考不積極等阻力，無論是教學(xué)設(shè)計，還是教學(xué)活動教師都應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為主體，學(xué)生的能力是否能夠達到教師的設(shè)計要求，學(xué)生是否能夠積極主動的參與到課堂活動中來，都影響著一節(jié)課的成敗.

2.關(guān)注文化，提升品質(zhì)

新的高中課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)文化是單獨的一個板塊，從中可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響力在不斷的增加.所以我們教師一定要努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中感受到文化的力量，對學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位.但是滲透數(shù)學(xué)文化，不是說在課堂中生硬的，強盜式的植入相關(guān)內(nèi)容.如何自然的讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)文化的魅力，是在課堂設(shè)計過程中教師需要認真仔細思考的.每一個知識方法在數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程中都不是輕易獲得的，教師在專題復(fù)習(xí)課準(zhǔn)備的過程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)注重知識內(nèi)容的文化價值，通過合理的教學(xué)設(shè)計，潛移默化的去影響學(xué)生.本節(jié)課以高三學(xué)生熟知的阿波羅尼斯圓為引，使學(xué)生掌握解析法在重新研究阿波羅尼斯圓中的優(yōu)勢，體會用代數(shù)的方法解決幾何問題的本質(zhì)，展示了我們現(xiàn)在的研究很多都是在延續(xù)前輩的腳步，但是合理整合所學(xué)方法，能夠讓我們對以往感覺研究困難的問題，得到更好的解答.另外還可以通過科學(xué)家們良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，去感染每一個學(xué)生，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)提供內(nèi)動力.

3.關(guān)注思維方法，立足解決問題

筆者認為高三專題復(fù)習(xí)課，最應(yīng)關(guān)注的兩個點，一個是訓(xùn)鍛煉學(xué)生思維，另一個是解決實際問題.如何通過課堂設(shè)計去訓(xùn)煉學(xué)生的思維能力，并且能夠在思維方法的指導(dǎo)下解決問題，筆者認為應(yīng)該做到以下四點：第一，設(shè)計應(yīng)當(dāng)做到高觀點，低起點.學(xué)生思維的形成是循序漸進的，但是所要達到的高度是有上限的.本課思維起點較高，需要研究事物變化過程中的不變性，但是不同的事物其變化規(guī)律是各不相同的，如何研究規(guī)律，會有怎樣的規(guī)律，是比較高的一個研究點.但是最終起點在于阿波羅尼斯圓的軌跡探求，符合學(xué)生的認知，容易讓人進行下一步研究.第二，重視變式教學(xué)，準(zhǔn)確定位目標(biāo).一般來說，思維方法不是靠一個題的解決就可以概括出來的，筆者認為高三專題復(fù)習(xí)課通過變式教學(xué)，可以讓思維方法的凝練變的相對輕松.比如這節(jié)課中，筆者將問題做了幾次變化，問題1到問題2，3，立足于軌跡思想的形成.例題到變式求解，立足于先找軌跡，若軌跡是圓，通過幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解的思想方法.到最后的比一比，背景是問題2，3，屬于問題拓展式變式，起到鞏固思想方法，完成課堂評價的目的.總體說來，幾個變式做到了形變神不變，目標(biāo)定位相對準(zhǔn)確.但是筆者反思，如果設(shè)計過程中可以增加一個活動環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生自己作出變式，也許能夠讓學(xué)生對于問題實質(zhì)的理解達到一個更深的層次.第三，聚焦高考，有的放矢.高三的教學(xué)應(yīng)當(dāng)以高考為指揮棒，通過分析高考試題的命題形式，對問題背后思想方法的深度剖析，以達到更高的解決問題這一立足點上.學(xué)生只要有了良好的思維方法和過硬的計算能力，才能更好的解決問題.本課中通過兩個有層次變化的高考試題，由淺入深的展示了解決問題的方法，最后通過錯解的辨析，使得學(xué)生的思維水平得到升華.高考雖然不直接考查軌跡方程問題，但是軌跡思想的考查隨處可見，在今后遇到動點滿足特定條件時相信讓同學(xué)能夠有先想到挖掘隱性軌跡，即使在條件變化為非常規(guī)的不等條件時也能把握其中的關(guān)鍵把軌跡對應(yīng)的區(qū)域?qū)ふ页鰜?，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想靈活準(zhǔn)確求解，那這應(yīng)該就是這一節(jié)課成功的的標(biāo)志了.