應(yīng)用技術(shù)類院校《積分變換》教學(xué)的幾點思考

崔漢哲 上海電機學(xué)院

一、引言

我國的高等教育中，應(yīng)用技術(shù)類院校占有重要的地位。它們所培養(yǎng)的廣大實踐應(yīng)用型人才，在我國的社會經(jīng)濟發(fā)展中有不可或缺的重要作用。在應(yīng)用技術(shù)類院校的各類理工科專業(yè)中，《積分變換》是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。它以《高等數(shù)學(xué)》、《復(fù)變函數(shù)》等為先修課程，在自然科學(xué)和工程技術(shù)各專業(yè)中有廣泛而重要的應(yīng)用。因此，在應(yīng)用技術(shù)類院校中如何結(jié)合自身特點，教好《積分變換》這門課程，是一個很有意義的課題。

二、結(jié)合實際，突出教學(xué)的應(yīng)用背景

顧名思義，應(yīng)用技術(shù)類院校重在“應(yīng)用”二字。它和一般綜合性大學(xué)或師范類院校有所不同，是以工程技術(shù)、實踐應(yīng)用類專業(yè)為主的高等院校。應(yīng)用技術(shù)類院校培養(yǎng)的人才，應(yīng)該具有較強的實踐能力，能較直接的適應(yīng)社會各行各業(yè)日新月異的發(fā)展。而《積分變換》課程的教學(xué)目標，也是為電氣、通信、自動化、微電子、力學(xué)等專業(yè)學(xué)科提供數(shù)學(xué)工具，使學(xué)生具備解決具體問題的實際能力。課程中主要學(xué)習(xí)的傅里葉變換和拉普拉斯變換，在后續(xù)的專業(yè)課程（如《信號與系統(tǒng)分析》、《數(shù)字信號處理》）中有大量的實際應(yīng)用。這就必然要求，任課教師不能把《積分變換》當成單純的數(shù)學(xué)課來上，而是要結(jié)合具體的應(yīng)用背景，著重闡明數(shù)學(xué)概念的工程或物理含義，展示數(shù)學(xué)定理和公式的實際應(yīng)用。

例如，從教學(xué)的一開始，教師就要向?qū)W生強調(diào)積分變換數(shù)學(xué)概念的實際意義，以使學(xué)生明白積分變換究竟是在“做什么”。如傅里葉變換F(ω)=F[f(t)]中的f(t)，自變量t代表時間（time的頭字母，因此該自變量不適合用其它字母表示），于是將f(t)稱為時域函數(shù)；而F(ω)中的ω代表頻率，于是將F(ω)稱為頻域函數(shù)或頻譜函數(shù)。在后續(xù)的專業(yè)課程如《信號與系統(tǒng)分析》中，這些函數(shù)都代表信號?！斗e分變換》課程里，傅里葉變換是將時域函數(shù)轉(zhuǎn)化成頻域函數(shù)。在專業(yè)課程中，傅里葉變換就是將時域信號轉(zhuǎn)化為頻域信號。而具體的實際問題千變?nèi)f化。某些情形下，信號在時間域上處理比較方便，而另外一些情形，信號則可能在頻率域上處理較為方便。這就意味著，積分逆變換和變換同樣重要。學(xué)生不但要學(xué)會把時域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)，同樣也要掌握頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換為時域函數(shù)的方法。《積分變換》課程中，時域函數(shù)與頻域函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，本質(zhì)上就是同一個信號在時間域和頻率域上互相轉(zhuǎn)換。這是《積分變換》課程最基本的“綱”，而只有結(jié)合實際的應(yīng)用背景，才能清楚的把它講透。綱舉目張，學(xué)生對課程的學(xué)習(xí)目標也就完全清楚了。

又如，在積分變換的時域位移性質(zhì)以及卷積定理中，都會有一個前提條件，要求時域函數(shù)f(t)滿足當t＜0時，f(t)=0。如果沒有實際的應(yīng)用背景，學(xué)生就很難明白這個條件到底在說什么。而從應(yīng)用角度看，f(t)就是時域信號，例如系統(tǒng)的輸入輸出、即電流電壓之類。因此t＜0“直譯”即為“時間小于零”，也即計時尚未開始，系統(tǒng)還沒有工作。此時的各類輸入輸出也即時域信號當然為零，即f(t)=0。從實際出發(fā)，這一條件是再自然不過的。如此解釋，學(xué)生就可以充分理解定理條件，應(yīng)用定理也更能得心應(yīng)手。

三、充分考慮與后續(xù)課程的銜接，合理安排教學(xué)重點

《積分變換》課程的教學(xué)目標是為后續(xù)專業(yè)課程提供數(shù)學(xué)工具。對于剛剛掌握微積分和復(fù)變函數(shù)基本知識的大二學(xué)生而言，系統(tǒng)掌握這些數(shù)學(xué)工具不是一件很輕松的事，因此需要一門專門的課程進行系統(tǒng)講授。但在以后的專業(yè)課程中，甚至在畢業(yè)后的工作崗位上，除了本課程中所學(xué)習(xí)的傅里葉變換或拉普拉斯變換，學(xué)生很有可能還會遇到其它類似積分變換的數(shù)學(xué)工具。例如在《數(shù)字信號處理》中，有離散傅里葉變換（DFT）、快速傅里葉變換（FFT）、Z變換等，這些都屬于序列變換，是積分變換的“離散版本”。對于這些數(shù)學(xué)工具，由于學(xué)分、課時等現(xiàn)實條件的限制，不太可能再開專門的數(shù)學(xué)課程，完整學(xué)習(xí)之后再學(xué)專業(yè)課程，而是要在專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中邊學(xué)邊用。這對學(xué)生的能力就提出了更高的要求。

從先學(xué)后用，到邊學(xué)邊用、在“用”中學(xué)，這些能力不是憑空而來，而是在不斷的學(xué)習(xí)實踐中，逐步練習(xí)積累而得。這就要求教師在講授《積分變換》課程時，必須充分考慮和后續(xù)專業(yè)課程的銜接，合理安排教學(xué)重點，注重培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和自學(xué)能力。

另外在具體的課堂教學(xué)中，教師需要在嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和講述概念、定理的直觀意義之間，達成良好的平衡。某些概念，如果從數(shù)學(xué)上嚴格處理，可能會陷入繁瑣的定義和冗長的論證，花費較多的課時，學(xué)生理解可能仍有難度，對后續(xù)課程的實際應(yīng)用幫助又不大，得不償失。這時教師就需要刪繁就簡，突出重點，使學(xué)生真正學(xué)到有用的教學(xué)內(nèi)容。

例如，單位脈沖函數(shù)（又稱單位沖激函數(shù)、Diracδ-函數(shù)）δ(t)在整個《積分變換》課程和后續(xù)的專業(yè)課程中有著核心的地位。該函數(shù)最早由英國物理學(xué)家Dirac引入，但最初的定義，從數(shù)學(xué)角度看并不嚴格。因為該定義中，函數(shù)在t=0處的函數(shù)值被定義為“無窮大”。為了從數(shù)學(xué)上嚴格描述該函數(shù)，數(shù)學(xué)家發(fā)展了廣義函數(shù)理論，需要用到線性連續(xù)泛函的知識，或?qū)⒃摵瘮?shù)定義為一系列弱收斂函數(shù)的弱極限[1]。但所有這些都遠遠超出了非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生所能掌握的范圍。而且這個嚴格的數(shù)學(xué)定義，并不能大幅增加大多數(shù)工科學(xué)生對該函數(shù)物理和工程意義的進一步理解。反而是最初從數(shù)學(xué)角度看不甚嚴格的定義，實際應(yīng)用時卻更為方便。因此教師應(yīng)該采用的定義即為，對于任意a＜0＜b。使用該定義，可以方便清晰的說明δ(t)的各種性質(zhì)，學(xué)生也能更順利的學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程。

結(jié)語：通過以上幾點探討可知，在應(yīng)用技術(shù)類院校《積分變換》的教學(xué)中，教師若能從實際出發(fā)、突出教學(xué)的應(yīng)用背景，并合理安排教學(xué)重點、順利銜接各類后續(xù)課程，則可收到良好的教學(xué)效果。從而為學(xué)生后續(xù)的專業(yè)學(xué)習(xí)打下扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。