基于軟判決下的不刪余極化碼參數(shù)識別

吳昭軍，鐘兆根，張立民，但波

（1.海軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，山東 煙臺 264001；2.海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院，山東 煙臺 264001；3.海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院，山東 煙臺 264001）

1 引言

為了對抗信道噪聲的干擾，信道編碼技術(shù)被廣泛應(yīng)用于無線通信系統(tǒng)中。在各種信道編碼類型中，極化碼是已從理論上證明，性能可逼近香農(nóng)極限的編碼，目前這種編碼已經(jīng)被確定為5G 通信中eMBB 場景控制信道的編碼方案，可以預(yù)見，在不久的將來，應(yīng)用了極化碼的數(shù)字通信系統(tǒng)會越來越多地出現(xiàn)，然而，針對極化碼參數(shù)識別的研究目前還未見報道，對于非合作通信領(lǐng)域而言，極化碼參數(shù)識別問題是一個亟待解決的問題。

目前，信道編碼盲識別問題已經(jīng)是非合作通信領(lǐng)域研究的熱點。從公開發(fā)表的文獻來看，針對編碼識別的算法主要集中于線性分組碼、循環(huán)碼、卷積碼、Turbo 碼、LDPC（low density parity check）碼等，而單獨針對極化碼參數(shù)識別的算法還未見公開報道。針對線性分組碼而言，目前大部分算法主要基于秩準則算法[1-3]完成參數(shù)識別，這種算法計算量大，且容錯性不好；為了提高秩準則方法的容錯性，文獻[4]分析了碼字經(jīng)高斯消元后，每一列上0-1分布特征，通過設(shè)定門限識別出線性相關(guān)列，從而檢測出秩虧，該方法容錯性有較大的提升，但是計算復(fù)雜度有明顯的增加；文獻[5]在高斯信道下，基于碼字之間的歐氏距離分布，對碼字進行聚類，從而識別出碼長、生成矩陣等參數(shù)，該方法適用于低碼率、短碼長下的分組碼；針對循環(huán)碼而言，目前算法主要基于其嚴格的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行識別，如基于碼重統(tǒng)計方法[6]、歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法[7]及基于多項式分解算法[8-9]等，這些方法都具有較好的工程實用性；針對卷積碼而言，文獻[10]采用迭代的高斯消元方法獲取對偶向量，由于卷積碼約束長度較短，故該方法實時性較好，同時還具有一定的容錯性；為了進一步提升文獻[10]算法的容錯性，文獻[11-13]提出基于快速Walsh-Hadarmard 變換（FWHT,fast Walsh-Hadarmard transform）的識別方法，該方法本質(zhì)上是一種窮舉算法，雖然具有較好的容錯性，但是隨著約束長度增加，算法的計算復(fù)雜度呈指數(shù)增加；此外還有歐幾里得算法[14]、快速雙合沖算法[15]等，這些算法復(fù)雜度低，適用于低誤碼情況；由于Turbo 碼編碼結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，故針對Turbo 碼識別主要分為三部分，即幀結(jié)構(gòu)識別、分量編碼器識別和隨機交織識別。對于幀結(jié)構(gòu)識別，文獻[16-17]充分利用了Turbo 碼的編碼結(jié)構(gòu)，提出了基于差分預(yù)處理的參數(shù)識別方法，該方法能夠在信道環(huán)境惡劣的情況下，完成Turbo 碼幀同步、交織長度及碼率等參數(shù)識別，這為后續(xù)分量編碼器及交織器識別準備了條件；針對分量編碼器，文獻[18-19]構(gòu)造出關(guān)于多項式系數(shù)的目標函數(shù)，然后基于梯度迭代優(yōu)化的方法求解多項式系數(shù)，該方法具有較強的實用性；對于隨機交織器識別，文獻[20-21]綜合了校驗符合度方法及Turbo 碼反饋迭代譯碼的思想，提出了預(yù)估矯正識別方法，該方法具有較強的容錯性，克服了隨交織長度增加，算法性能會急劇惡化的問題；針對LDPC碼的識別，文獻[22-23]首次提出了基于高斯消元及2階、多階行消元的稀疏校驗矩陣重建方法；為了提升重建方法的容錯性，文獻[24]將LDPC 碼迭代譯碼的思想引入重建過程中，這使在有噪聲條件下，LDPC 碼重建率有較大的提高，但是計算復(fù)雜度也有較大幅度的增加。從上述分析來看，單獨針對極化碼參數(shù)識別的算法還未出現(xiàn)，而目前實際工程中極化碼的應(yīng)用越來越廣泛，對于非合作通信而言，極化碼參數(shù)識別問題是一個亟待解決的難題。

基于此，本文提出了基于軟判決序列下的不刪余極化碼識別算法，該算法基于極化碼的編碼結(jié)構(gòu)，首先給出并證明了有關(guān)極化碼碼長、信息比特與凍結(jié)比特位置的3 個定理，這3 個定理是識別極化碼參數(shù)的理論基礎(chǔ)；其次，引入了對數(shù)似然比（LLR,log-likelihood ratio）概念，為了檢測極化碼信息比特與凍結(jié)比特位置，詳細分析了LLR 的統(tǒng)計特性，基于最小錯誤判決準則，設(shè)定最優(yōu)判決門限，最終實現(xiàn)了參數(shù)的識別。仿真結(jié)果證明了所提算法的有效性及較好的容錯性。

2 極化碼基本原理

對于一個二進制離散無記憶信道W重復(fù)使用n次，可以得到n個相互獨立的信道，然后通過某種線性變換，將其轉(zhuǎn)化為n個相互關(guān)聯(lián)的信道其中，X為信道W的輸入符號{ 0,1} ；Y為信道輸出符號，為任意實數(shù)；Yn表示Y的n維隨機向量，Xi?1表示X的i? 1維隨機向量。當n充分大時，極化信道將趨近于2 個極端，即一部分極化信道容量趨近于1，剩余部分信道容量趨近于0。在信息發(fā)送過程中，信息容量為1 的極化信道用來發(fā)送信息比特，而信道容量為0 的極化信道用來發(fā)送凍結(jié)比特（凍結(jié)比特通常為0），從而實現(xiàn)信息快速可靠的發(fā)送。極化碼原理包含信道合并、信道分裂兩部分，下面分別就信道合并、信道分裂及編碼方法進行簡要介紹。

2.1 信道合并過程

將n個獨立無關(guān)聯(lián)的信道合并成Wn:Xn→Yn，其中n=2m。在信道合并過程中，由于系統(tǒng)的信道容量不變，信道的轉(zhuǎn)移概率為

圖1 W2 信道結(jié)構(gòu)

此時，W2的信道轉(zhuǎn)移概率為

其中，Bn為比特反轉(zhuǎn)置換矩陣，主要作用為將矩陣F?m的行順序按照某種規(guī)則置換。以n等于4 為例，(0,1,2,3)的二進制數(shù)為(00,01,10,11)，將其二進制反轉(zhuǎn)后得到(00,10,01,11)，對應(yīng)的十進制數(shù)為(0,2,1,3)，從而得到比特反轉(zhuǎn)置換矩陣為

2.2 信道分裂過程

從信道可靠性而言，巴氏參數(shù)含義正好與信道容量相反，即Z(W)值越大，信道可靠性越差，對于巴氏參數(shù)的計算，目前有密度進化方法、高斯進化方法等，當信道為二進制刪除信道時，巴氏參數(shù)的遞推計算表達式[25]為

圖2 給出了在接收端擦除符號誤判概率為0.5下，碼長為1 024，碼率為的極化碼信道巴氏參數(shù)分布，從圖2 可以明顯看出分裂信道的可靠性趨近于2 個極端。

圖2 子信道的巴氏參數(shù)分布

2.3 極化碼編碼

由極化碼的編碼結(jié)構(gòu)可知，對于不刪余極化碼盲識別而言，需要識別的參數(shù)為極化碼碼長、信息比特位及凍結(jié)比特位。由于在實際通信系統(tǒng)中，發(fā)送的數(shù)據(jù)都有固定的幀結(jié)構(gòu)，在每一幀數(shù)據(jù)前會有2 B 的同步碼，故本文假設(shè)已經(jīng)利用幀同步碼完成了碼字同步，主要的研究內(nèi)容是利用軟判決序列完成不刪余極化碼碼長、信息比特位置及凍結(jié)比特位置的識別。

3 極化碼識別模型建立

3.1 極化碼碼長識別

由于極化碼碼長滿足n=2m（m為正整數(shù)）關(guān)系，故可以遍歷m的值，構(gòu)造不同碼長下的碼字，然后尋找某固定的特征，實現(xiàn)極化碼碼長識別，在給出具體的碼長識別步驟之前，首先給出定理1 及定理2。

其中，0k×n為k×n的全零矩陣。

定理2 同樣具有遞推性，即當擴展的碼長為4n,8n,…時，碼率同樣會保持不變。

由定理1 和定理2 可知，利用截獲的序列構(gòu)造不同碼長下的極化碼碼字，當碼長小于實際極化碼碼長時，該碼字對應(yīng)的碼率會大于實際的極化碼碼率；反之，當碼長大于實際的碼長時，對應(yīng)的碼字碼率會等于實際極化碼碼率，由此可知，在遍歷一系列碼長中，真實的碼長等于最小碼率對應(yīng)的最小碼長。從上述分析可知，極化碼碼長識別的關(guān)鍵在于準確識別出不同遍歷碼長下的碼字碼率，傳統(tǒng)方法一般基于高斯消元方法求取碼率，但是這種方法容錯太長。從極化碼編碼原理來看，如果能識別出克羅內(nèi)克矩陣中信息比特位和凍結(jié)比特位，則不僅可以間接識別出碼率，還能識別出極化碼的生成矩陣，下面重點討論極化碼信息比特位與凍結(jié)比特位的識別方法。

3.2 信息比特位與凍結(jié)比特位識別

由第2 節(jié)中極化碼的編碼原理可知，極化碼的生成矩陣中每一行向量都是克羅內(nèi)克冪矩陣中行向量的一部分，故需要判斷出克羅內(nèi)克冪矩陣中哪些是信息比特位置，哪些為凍結(jié)比特位置，在給出具體的識別方法之前，首先給出定理3。

從定理3 可知，為了識別出碼長為n的極化碼信息比特位，可以首先構(gòu)造m克羅內(nèi)克冪矩陣，其中，n滿足n=2m，然后從第1 行到第n行依次剔除克羅內(nèi)克冪矩陣中行向量，然后求取其對應(yīng)的對偶向量，如果對偶向量與碼字構(gòu)成正交關(guān)系，剔除的位置為凍結(jié)比特位，反之則為信息比特位，從而識別出在遍歷的碼長n下，所有的信息比特位及凍結(jié)比特位，然后間接求解出碼率。由于矩陣的維度為(n? 1)×n，故的對偶空間維度為1×n，利用初等行變換與列變換可以得到

由于在信息傳輸過程中，碼字會受到噪聲的干擾，不妨設(shè)剔除的行標號為k′，則無論遍歷的位置k′是否為凍結(jié)比特位置，與碼字都不會完全構(gòu)成校驗關(guān)系，此時有必要對碼字是否與構(gòu)成校驗關(guān)系進行檢測，由于極化碼碼長較長，硬判決序列不可避免會造成信息的丟失，故本文利用軟判決序列來對碼字的校驗關(guān)系進行檢測。

設(shè)信號的調(diào)制方式為BPSK，即星座圖映射方式為碼元1 映射為+1，0 映射為?1。設(shè)遍歷的極化碼碼長為n′，利用截獲的軟判決序列r構(gòu)造出N個碼字，則碼字矩陣T為

利用截獲的數(shù)據(jù)構(gòu)造出不同碼長的極化碼，然后剔除m次克羅內(nèi)克冪矩陣中第k′行元素，求解校驗向量，同時計算統(tǒng)計量及門限Λopt，一旦時，可以斷定位置k′為凍結(jié)信息位置，反之則判定為信息比特位置，從而實現(xiàn)極化碼生成矩陣的識別。

3.3 極化碼參數(shù)識別算法流程

利用3.2 節(jié)中求解的門限Λopt與統(tǒng)計量進行比較，一旦，則判定假設(shè)條件H0成立，此時剔除的矩陣行對應(yīng)的位置可判定為信息比特位置，從而實現(xiàn)在該遍歷碼長下碼率及信息比特位置的識別，最后利用定理1 和定理2 的結(jié)論識別出真實極化碼碼長，同時獲得該碼長下的信息比特位置，具體如算法1 所示。

算法1極化碼參數(shù)識別算法

3.4 算法計算復(fù)雜度分析

不妨設(shè)截獲的數(shù)據(jù)量為L，遍歷的碼長范圍為。當遍歷的碼長為時，需要對2m個信息比特位置進行遍歷，而對每一個信息比特位置進行遍歷時，需要進行次元素大小比較、次向量加法運算及一次門限解算。由于克羅內(nèi)克積矩陣構(gòu)造是固定的，故在識別之前，可以將對偶向量求解并保存，從而減少計算量。為方便描述，本文把一次比較大小等價為一次向量加法運算，將以此門限計算等價于20 次向量乘法，故對碼長為2m進行遍歷時，需要20 × 2m次向量乘法和L2m次加法運算。對不同遍歷碼長下的計算量求和，得到總的乘法計算復(fù)雜度為加法復(fù)雜度為。由此可見，本文算法計算量近似與截獲的數(shù)據(jù)長度及遍歷的最大碼長成線性增加。

4 仿真分析

在本節(jié)仿真中，首先驗證本文算法對極化碼參數(shù)識別的有效性；其次，考察極化碼碼長、截獲碼字數(shù)目及碼率3 個因素對算法正確識別率的影響；最后，對比了在硬判決與軟判決2 種條件下算法的性能，以突出軟判決序列的優(yōu)勢。

4.1 算法有效性驗證

首先，從圖3(a)和圖3(c)來看，當遍歷的極化碼碼長小于實際碼長128 時，碼長逐漸減小，碼率逐漸增加，直到增加到1；而當編碼的碼長大于128 時，碼長逐漸增加，而碼率保持不變，這與定理1 與定理2 的結(jié)果完全一致；其次，分析圖3(b)及圖3(d)可知，當剔除的位置為凍結(jié)比特位置時，對應(yīng)的對偶向量與碼字能夠保持校驗關(guān)系，反之當剔除的是信息比特位置時，對偶向量與碼字之間的校驗關(guān)系不在成立，這說明定理3 的結(jié)論是一致的。通過設(shè)定的判決門限來檢測這種校驗關(guān)系，正好能識別出信息比特位置，從而完成極化碼生成矩陣的識別。雖然圖3(d)中碼字受到了噪聲的干擾，但是設(shè)定的門限仍然能夠有效地完成參數(shù)識別，這說明本文提出的算法對噪聲具有較強的穩(wěn)健性。

圖3 低信噪比與高信噪比下，本文所提算法的有效性驗證

4.2 算法容錯性驗證

1) 碼長對算法性能的影響

仿真設(shè)定極化碼碼長分別為32、64、128、256、512 和1 024，每種極化碼的碼率為每一種極化碼下的碼字為2 000 個，設(shè)定信噪比范圍為?2～8 dB，間隔為0.25 dB，蒙特卡羅實驗次數(shù)為1 000，統(tǒng)計在不同信噪比下每種極化碼參數(shù)（包括碼長、信息比特位和凍結(jié)比特位）的識別率，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同碼長對算法影響

從圖4 結(jié)果來看，本文所提算法的性能隨著碼長的增加，性能逐漸變差，主要原因在于，在同一碼率條件下，碼長越長，需要準確識別的極化碼的信息比特位置就越多，故在同等條件下，碼長越長，出現(xiàn)對信息比特位置的誤判概率就越大，故越難識別極化碼參數(shù)。此外，從識別率來看，本文所提算法在信噪比為6.5 dB 條件下，對碼長為1 024 的極化碼參數(shù)識別率達到98%以上，這說明了算法具有較好的低信噪比穩(wěn)健性。

2) 碼字數(shù)目對算法影響

圖5 不同碼字數(shù)目對算法影響

從圖5 結(jié)果來看，通過增加極化碼碼字個數(shù)，可以有效地提高參數(shù)識別正確率。主要原因在于，碼字個數(shù)越大，求取的統(tǒng)計量就越近理論均值，此時對信息比特位置的誤判概率就會減少，從而算法識別性能就增加了。

3) 碼率對算法影響

仿真設(shè)定極化碼碼長為64 和128，每種碼長下的極化碼碼率分別為設(shè)定截獲的碼字個數(shù)為2 000 個，蒙特卡羅實驗次數(shù)為1 000 次，統(tǒng)計2 種碼長在不同碼率下極化碼參數(shù)的正確識別率，結(jié)果如圖6 所示。

圖6 不同碼率對算法的影響

從圖6 結(jié)果來看，極化碼參數(shù)識別概率與碼率大小關(guān)系不大。主要原因在于，雖然碼率增加，會導(dǎo)致信息比特位置的增加，但是在識別過程中，每種碼率上的信息比特位置所對應(yīng)的對偶向量碼重卻非常接近并且都比較小，即使碼率增加，信息比特位置的誤判率變化也不會太大，故在不同碼率下，極化碼識別非常接近。

4.3 與硬判決方法對比

為了突出采用軟判決序列的優(yōu)勢，本節(jié)將采用了硬判決序列的算法進行對比。仿真設(shè)定極化碼碼長為64、128、256 及512，每種極化碼碼率為截獲的碼字個數(shù)為2 000，設(shè)定信噪比范圍為0～7 dB，間隔0.25 dB 取值，蒙特卡羅實驗次數(shù)為1 000，統(tǒng)計在2 種不同序列類型下，算法的識別性能，結(jié)果如圖7 所示。

圖7 與硬判決算法對比

從圖7 結(jié)果來看，基于軟判決序列的識別方法性能要明顯好于基于硬判決的方法，軟判決算法的性能提升近0.5 dB。主要原因在于，與硬判決序列相比，軟判決序列包含豐富的信道噪聲信息，而本文所提算法能夠充分利用軟判決序列，故其在低信噪比下的穩(wěn)健性會更強。

5 結(jié)束語

基于極化碼的編碼結(jié)構(gòu)，首先給出并證明了定理1 和定理2，即原始極化碼具有最小的碼率，同時所有具有最小碼率的極化碼碼長中，原始極化碼的碼長最短；其次為了求解不同碼長下極化碼的碼率、信息比特位及凍結(jié)比特位，給出并證明了定理3；然后為了在低信噪比情況下實現(xiàn)極化碼信息比特位置參數(shù)識別，引入了LLR 概念，基于定理3 及LLR 的統(tǒng)計特性，設(shè)定出最優(yōu)的信息比特位判決門限，從而在低信噪比下，快速識別出極化碼編碼參數(shù)。仿真結(jié)果驗證了本文所提算法的有效性和較強的低信噪比下的容錯性，在非合作通信領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。