由一個案例引發(fā)的對小學(xué)數(shù)學(xué)類比推理的思考

摘 要：作者從一個教學(xué)案例出發(fā)，對培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的策略進(jìn)行了深入探究，從“順承已有經(jīng)驗，搭建類比橋梁”“啟發(fā)生活原型，達(dá)成類比抽象”“鼓勵大膽猜測，實現(xiàn)直覺類比”三個方面，闡述了運(yùn)用類比推理發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)遷移能力的有效路徑，以期能起到拋磚引玉之效。

關(guān)鍵詞：類比推理;小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)策略

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-9192（2021）34-0095-02

引? 言

推理、抽象和模型作為數(shù)學(xué)基本思想已引起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。推理又分為合情推理和邏輯推理，類比推理屬于合情推理的一種[1]。由知識經(jīng)驗正遷移而實現(xiàn)新知識的獲得或新問題的解決，其實質(zhì)就是運(yùn)用類比推理的數(shù)學(xué)思想，最常見的便是“以此類推”。下面筆者從一個教學(xué)案例出發(fā)，對培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的策略展開深入分析。

一、源起：一個“以此類推”的教學(xué)案例

在解答“一部手機(jī)原價1000元，提價10%后又降價10%，現(xiàn)價是多少元”這種問題時，學(xué)生總是固執(zhí)地運(yùn)用整數(shù)運(yùn)算經(jīng)驗來進(jìn)行類推，得出的答案是1000元。究其緣由，學(xué)生認(rèn)為“手機(jī)提價與降價的價格是一樣的”。筆者從單位“1”的角度進(jìn)行分析、解釋，告訴學(xué)生提價時的“單位1”是1000元，而降價時的“單位1”卻是1100元，“單位1”不一樣，因而其提價與降價的價格也就不一樣。學(xué)生貌似都能理解，可過幾天再檢測時，還是會出現(xiàn)現(xiàn)價是1000元的錯誤答案。筆者追問學(xué)生：“為什么提價10%后又降價10%，現(xiàn)價是不變的？”然而，學(xué)生竟然十分肯定地答道：“這個推理很簡單。提價10%又降價10%，說明提價與降價的價格是一樣的，現(xiàn)價當(dāng)然就不變了?！惫P者繼續(xù)追問：“你能確定提價與降價的價格是一樣的嗎？”學(xué)生又不假思索地回答道：“一年級時就學(xué)會了，提價與降價都是10%，以此類推，現(xiàn)價與原價當(dāng)然是一樣的?！?/p>

二、思考：不可忽視類比推理的或然性

上述案例可以看出，“以此類推”的實質(zhì)便是類比推理，即按照兩個或兩類不同研究對象的某些方面（如特點、規(guī)律、關(guān)系等）具有的相同或相似性，自然推導(dǎo)這兩個或兩類不同研究對象在其他方面也有可能相同或相似的一種思維方式。兩個或兩類不同研究對象無論外部形式上的相似、內(nèi)部結(jié)構(gòu)上的相似，還是過程方法上的相似，都可以進(jìn)行類比。這種類比推理是小學(xué)階段常用的一種推理方法，有助于提高學(xué)生解決實際問題的能力。然而，通過上述案例，教師需要理性思考的是在培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的同時，不可忽視類比推理所具有的或然性。不可否認(rèn)的是，類比推理是合情推理的一種，也可稱為或然推理，因而會出現(xiàn)其推理過程“貌似”合情合理，而往往在本質(zhì)上二者間的條件和結(jié)論沒有必然聯(lián)系的情況。

上述案例，由于學(xué)生在一年級時已經(jīng)學(xué)過了“增加與減少同樣的數(shù)量，其結(jié)果不變”的知識，從而類推到“提價10%又降價10%，說明提價與降價的價格是一樣的，現(xiàn)價當(dāng)然就不變”。顯然，一年級所學(xué)的知識經(jīng)驗是“增加與減少的是實際量”，而這里“提價與降價的是百分率，而非實際量”，這兩種數(shù)量關(guān)系在外部形式上有一定的相似性，而內(nèi)部本質(zhì)卻是不一樣的。這樣的類比推理顯然給學(xué)生的思維造成了負(fù)遷移。

又如，在學(xué)習(xí)了“能被2、5整除數(shù)的特點”后，再學(xué)習(xí)“能被3整除數(shù)的特點”時，學(xué)生會自然而然利用之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗而類比推理到“個位上的數(shù)能被3整除，這個數(shù)就能被3整除”。當(dāng)出現(xiàn)這種錯誤的類比推理時，教師應(yīng)積極讓學(xué)生通過自主舉例驗證其猜想是錯誤的?；谝陨戏治觯P者認(rèn)為，應(yīng)理性面對類比推理中的或然性。

三、實踐：類比推理是發(fā)展學(xué)生遷移能力的有效路徑

（一）順承已有經(jīng)驗，搭建類比橋梁

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，各個數(shù)學(xué)知識點之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，每個知識點的學(xué)習(xí)都是建立在已有的知識經(jīng)驗上的再遷移、再整合與再提升。教師要及時捕捉學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對某個知識點產(chǎn)生“似曾相識”的感覺，并能及時地順承學(xué)生已有的經(jīng)驗，啟發(fā)學(xué)生展開比較和聯(lián)想，找到新舊知識點之間的聯(lián)系，為類比推理搭建橋梁[2]。

例如，在執(zhí)教數(shù)學(xué)人教版五年級（下冊）“異分母分?jǐn)?shù)加減法”這項內(nèi)容時，筆者直接快速地呈現(xiàn)“1/2+1/4=？” 讓學(xué)生嘗試計算。由于學(xué)生已有“整數(shù)加法計算方法”的知識經(jīng)驗被類比遷移了，結(jié)果出現(xiàn)的算法是分母與分子分別相加。顯然，學(xué)生只停留在算式“外形”上的類比，而沒有打通算法內(nèi)部的聯(lián)系。于是，筆者這樣啟發(fā)學(xué)生：“大家驗證一下自己算得對不對？”接著，讓學(xué)生分別回憶前面所學(xué)的整數(shù)加法、小數(shù)加法和同分母分?jǐn)?shù)加法，并交流其算理，從而發(fā)現(xiàn)“整數(shù)加法、小數(shù)加法、同分母加法，共同的算理是相同的計數(shù)單位相加”。此時，學(xué)生類比推理產(chǎn)生了“分?jǐn)?shù)加法也應(yīng)該是相同計數(shù)單位才能相加”的猜想，因而要先將“1/2”與“1/4”轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)。在學(xué)生明晰了“異分母分?jǐn)?shù)相加”的算法后，教師再呈現(xiàn)“1/2-1/4=？”讓學(xué)生計算，使學(xué)生能自然地從“異分母分?jǐn)?shù)相加”的算法中類比推導(dǎo)出“異分母相減”的算法。

（二）啟發(fā)生活原型，達(dá)成類比抽象

數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活。小學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗不足，且大多來自生活。因而，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)知識的特點，致力從生活原型中尋找數(shù)學(xué)的影子，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活原型類比抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3]。

例如，在執(zhí)教“認(rèn)識角”一課時，當(dāng)筆者在黑板上板書課題時，學(xué)生便紛紛說出自己在生活中看到的各種角。于是，筆者將學(xué)生列舉出的生活中的角用課件展現(xiàn)出來，讓學(xué)生觀察生活中的角具有哪些共同的特征。接著，筆者便利用課件動態(tài)展示“從生活實物剪刀、紅領(lǐng)巾、墻角等圖片上逐步抽象‘由一個頂點引出兩條邊的角’”。至此，學(xué)生建立了“生活中的角”與“數(shù)學(xué)概念上的角”的聯(lián)系。然后，筆者再讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光繼續(xù)尋找生活中常見的角。這樣的課堂教學(xué)立足學(xué)生的生活經(jīng)驗，啟發(fā)學(xué)生通過類比抽象出數(shù)學(xué)概念上的角，促使學(xué)生主動建構(gòu)清晰而立體的數(shù)學(xué)模型。

（三）鼓勵大膽猜測，實現(xiàn)直覺類比

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)知識與學(xué)生思維之間的距離，巧妙創(chuàng)設(shè)平臺，通過核心數(shù)學(xué)問題來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行大膽猜測，促使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)直覺類比，從而發(fā)展學(xué)生的類比推理能力，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升[4]。

例如，在教學(xué)五年級上冊“長方體的體積”這一內(nèi)容時，教師可在課堂伊始先讓學(xué)生回憶一下“長方形的面積計算”公式的推導(dǎo)過程，并重點抓住“要計算長方形面積的大小其實質(zhì)就是測量其含有多少個1cm2，這個長方形就是幾cm2”。于是，學(xué)生從“長方形的面積計算”大膽地猜測出“長方體的體積計算”，提出了“要算長方體的體積實質(zhì)就是要數(shù)出有幾個1cm3的小正方體，這個長方體就是幾cm3”的猜想。有了這樣的猜測后，教師再引導(dǎo)學(xué)生動手操作來驗證其正確性，使學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。又如，有了常用面積單位1cm2、1dm2、1m2的知識經(jīng)驗后，學(xué)生在學(xué)習(xí)“長方體的體積單位”時，便可以大膽猜想，從而自然類比推理出常用的體積單位應(yīng)是1cm3、1dm3、1m3。

結(jié)? 語

類比推理是合情推理的一種，是一項重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更是發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)遷移力的有效路徑。教師應(yīng)積極為學(xué)生搭建類比推理的平臺，提供類比推理的素材，提供類比推理的線索，促使學(xué)生主動積極地進(jìn)行類比聯(lián)想與猜測，提升舉一反三、觸類旁通的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]安玲.淺談建立物理模型的思維方法[J].新疆教育學(xué)院學(xué)報，1998（01）：60-62.

[2]張麗，傅廣輝.探尋算理與算法的融合之徑：異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)與評析[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2016（03）：7.

[3]劉兆群.小學(xué)數(shù)學(xué)類比推理思想切點挖掘[J].數(shù)學(xué)大世界，2020（10）：44.

[4]劉鳳華.“類比推理”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].試題與研究，2020（28）：117-118.

作者簡介：黃鳳森（1978.6-），男，福建莆田人， 一級教師。