在解題教學(xué)中培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的思考
——以2019 年全國(guó)III 卷理科數(shù)學(xué)第21 題教學(xué)為例

梁永丁，黎奇升，楊孝斌

（1.吉首大學(xué)，湖南吉首 416000；2.凱里學(xué)院，貴州凱里 556011）

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（下稱《課標(biāo)》）的頒布實(shí)施，強(qiáng)調(diào)“提升學(xué)生核心素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，并在“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的水平劃分”中，六大核心素養(yǎng)明確了“數(shù)學(xué)表達(dá)”的具體要求.思維與表達(dá)、交流與反思，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的重要內(nèi)容［1］.可見，新一輪課標(biāo)更加重視學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力的提高，主要通過(guò)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn).解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種極為重要的課型，特別是高三復(fù)習(xí)階段，基本上都是以解題教學(xué)為主，其教學(xué)模式大多數(shù)是以教師分析講解為主.就筆者實(shí)習(xí)學(xué)校而言，每周有周考，每半個(gè)月有半月考，每月有聯(lián)考或統(tǒng)考，數(shù)學(xué)教師除了正常的一輪、二輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解外，還要進(jìn)行試卷講評(píng)，可以說(shuō)，解題教學(xué)占了數(shù)學(xué)教學(xué)的大部分時(shí)間.

在高考復(fù)習(xí)中，教師們不難發(fā)現(xiàn)，平面解析幾何問題一直都是考生得分的瓶頸，相關(guān)內(nèi)容教師難教、學(xué)生難學(xué).在平時(shí)的閱卷中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生留空白卷，或是寫而不全導(dǎo)致失分.另一方面，平面解析幾何的內(nèi)容又是高考考查的重點(diǎn)，我們可以通過(guò)促使學(xué)生有效的表達(dá)，來(lái)提高學(xué)生解析幾何問題的得分率，同時(shí)提高學(xué)生整個(gè)試卷的得分率.

2 數(shù)學(xué)表達(dá)能力概念的界定

關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)能力現(xiàn)在沒有統(tǒng)一的界定.有的學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)表達(dá)能力是指“將自己解決問題的觀點(diǎn)、思想、方法、過(guò)程等用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確、流暢地表達(dá)出來(lái)的能力”［2］；也有學(xué)者認(rèn)為是“運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的思考、解決數(shù)學(xué)問題的內(nèi)隱過(guò)程準(zhǔn)確流暢‘說(shuō)’出來(lái)的能力，包括口頭表達(dá)能力和書面表達(dá)能力”［3］；還有學(xué)者認(rèn)為是學(xué)習(xí)者以數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)，運(yùn)用邏輯性思維組織語(yǔ)言，以數(shù)學(xué)文字的表達(dá)形式解決數(shù)學(xué)問題能力［4］.

基于上述分析，本研究將數(shù)學(xué)表達(dá)能力界定為：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)習(xí)者能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)書寫數(shù)學(xué)問題（即“寫數(shù)學(xué)”）、以口頭表達(dá)的形式討論數(shù)學(xué)問題（即“討論數(shù)學(xué)”）的能力.運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫數(shù)學(xué)問題和討論數(shù)學(xué)問題的能力，成為評(píng)價(jià)一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和水平的重要標(biāo)準(zhǔn).

下面以2019 年全國(guó)III 卷理科數(shù)學(xué)第21 題教學(xué)為例，在進(jìn)行解法研究的基礎(chǔ)上，談?wù)劷忸}教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

3 試題呈現(xiàn)

4 教學(xué)思考

4.1 注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換表達(dá)，幫助學(xué)生理解題意

如果學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解能力低、相互轉(zhuǎn)換存在困難，會(huì)限制他們數(shù)學(xué)表達(dá)能力的發(fā)展.教學(xué)中，時(shí)常遇到題目表述學(xué)生不易理解，這就要求教師重視語(yǔ)言轉(zhuǎn)換表達(dá)，既可以是符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯文字語(yǔ)言或圖式語(yǔ)言，也可以是文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯符號(hào)語(yǔ)言，還可以是圖像語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言等，必要時(shí)，可以將一種表達(dá)問題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言重組表述，推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

圖1

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問題作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換表達(dá)，使得學(xué)生聽得懂，想得通，進(jìn)而“說(shuō)得出”，讓學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言順利地表達(dá)數(shù)學(xué)問題.

4.2 巧用啟發(fā)語(yǔ)，引導(dǎo)交流表達(dá)

教學(xué)效果很大程度上取決于教師的表達(dá)能力，不僅在口頭表達(dá)上做到準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、精煉，還在敘述分析推理過(guò)程做到層次清楚、邏輯嚴(yán)密.但是，高中生數(shù)學(xué)表達(dá)能力仍然存在許多問題，主要表現(xiàn)在［5］：教師“認(rèn)為學(xué)生的語(yǔ)言感知能力不強(qiáng)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化缺乏靈活性”；學(xué)生認(rèn)為“教師為完成教學(xué)任務(wù)，規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)教授得少”，這些都阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的發(fā)展.

著名教育家、思想家波利亞，他給出了著名的“怎樣解題”表.極為經(jīng)典的是其中的解題提示語(yǔ)：“你必須理解題目”、“未知量是什么”、“已知數(shù)據(jù)是什么”、“條件是什么”、“題設(shè)是什么”、“應(yīng)該從哪里開始”、“能做什么”、“這樣做能得到什么”、“你能清楚地看出這個(gè)步驟的正確性嗎，又能證明這個(gè)步驟的正確性嗎”、“有什么方法可以利用”等一系列解題提示語(yǔ)［6］.文［6］用實(shí)際例子，具體分析了解題提示語(yǔ)的應(yīng)用，是啟發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題、尋找解題方法的典范.例如，在第（I）問教學(xué)中，用波利亞的解題提示語(yǔ)進(jìn)行教學(xué)，分析如下：

求什么？——直線AB過(guò)定點(diǎn)；其實(shí)是求什么？——求拋物線C:x2=2y的弦AB過(guò)定點(diǎn)；有哪些條件可以用？——D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B；直線的方程如何設(shè)？——設(shè)為“兩點(diǎn)式”或“斜截式”；直線的斜率怎么找？還有什么條件可以用嗎？——導(dǎo)數(shù)的幾何意義，等等.

在講完第（I）問后，第（II）問也可用波利亞解題提示語(yǔ)進(jìn)行教學(xué)分析，分析如下：

求什么？——求四邊形ADBE的面積；有哪些條件可以用？為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，第（I）問所求得直線AB的方程；還有什么可以用？——不規(guī)則四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積和，三角形面積公式，弦長(zhǎng)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩直線垂直的性質(zhì)，等等.

承前所述，根據(jù)題目中的條件或結(jié)論（如各種圓錐曲線的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等），利用啟發(fā)性提示語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在理解題目的過(guò)程中抓住題目中有用的信息，理清“有什么”、“求什么”等基本問題.再者，根據(jù)所理清的問題，從記憶中提取解決類似問題的基本解題經(jīng)驗(yàn)，形成一定的解題思路.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的核心是啟發(fā)性提示語(yǔ)，啟發(fā)性提示語(yǔ)是學(xué)生弄清數(shù)學(xué)問題基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以“嘗試用‘怎樣解題’的提示語(yǔ)開展教學(xué)，利用這些提示語(yǔ)幫助學(xué)生理解題意、弄清問題、找到問題的解決辦法.學(xué)生在教師的示范和引導(dǎo)之下，能夠?qū)W會(huì)用怎樣解題提示語(yǔ)解數(shù)學(xué)題，并將其逐步內(nèi)化，最終發(fā)展成為自己的解題提示語(yǔ)”［7-8］.因此，教師在解題教學(xué)時(shí)，運(yùn)用解題提示語(yǔ)，讓學(xué)生在課堂參與討論，引導(dǎo)學(xué)生去思考這個(gè)問題，即“想數(shù)學(xué)”，在有“想法”的條件下，才有交流與表達(dá)的“基礎(chǔ)”.教師學(xué)會(huì)用解題提示語(yǔ)，是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流表達(dá)的重要一步.

4.3 善用思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生理清線索

思維導(dǎo)圖，其本身具有結(jié)構(gòu)清晰、簡(jiǎn)單易畫、條理分明等特點(diǎn)，容易被學(xué)生接受.研究表明，“大部分學(xué)生對(duì)思維導(dǎo)圖的接受能力很強(qiáng)，而且經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)，思維導(dǎo)圖能夠幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系”［9］.因此，在解題教學(xué)中，教師可以利用思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生形成解題思路，促進(jìn)邏輯思維能力的建構(gòu)，這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題想得更清楚，為更好地表達(dá)數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ).

教師在運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)進(jìn)行教學(xué)下，激發(fā)了學(xué)生產(chǎn)生對(duì)同一問題的不同想法，并將這些想法用路向標(biāo)逐一標(biāo)出，形成解決問題的思路，即解題思維導(dǎo)圖.因此，思維導(dǎo)圖既能幫助學(xué)生理解好數(shù)學(xué)問題，又能讓學(xué)生在解決問題時(shí)有章可循，有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，是學(xué)生表達(dá)好數(shù)學(xué)問題的重要前提.在教師的引導(dǎo)下，由本例題所給出的條件和所求，第（I）問可以得出如圖2 所示的思維導(dǎo)圖，第（II）問可以得出如圖3所示的思維導(dǎo)圖.

根據(jù)思維導(dǎo)圖不難發(fā)現(xiàn)，解決這道高考解析幾何題，第（I）問關(guān)鍵就在于求出直線的方程，技巧在于設(shè)什么樣的直線方程使得運(yùn)算簡(jiǎn)單；第（II）問中，結(jié)合圖1，將所求四邊形面積轉(zhuǎn)化2個(gè)三角形的面積，根據(jù)第（I）問的結(jié)論，設(shè)出直線的方程，并聯(lián)立直線和曲線的方程，消元化簡(jiǎn)為二次方程，這是解決直線與曲線相交常用的方法；要求曲線的弦長(zhǎng)，可由弦長(zhǎng)公式解得，結(jié)合終點(diǎn)坐標(biāo)公式等，找出已知和未知的關(guān)系，最后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析，進(jìn)而形成解題思路，得出推理過(guò)程.

數(shù)學(xué)思維能力的核心是邏輯思維能力，邏輯思維是學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)表達(dá)能力的關(guān)鍵能力，正所謂“想得清楚，才能說(shuō)得明白”，運(yùn)用思維導(dǎo)圖進(jìn)行思路分析，利于寫出詳細(xì)解題過(guò)程.

4.4 重書寫規(guī)范，教師應(yīng)“領(lǐng)航”

在教學(xué)實(shí)踐中，評(píng)閱解析幾何試題時(shí)，時(shí)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生書寫不規(guī)范，常見問題如：向量問題，書寫時(shí)沒有注意“箭頭”；求導(dǎo)問題，沒有研究函數(shù)的定義域；對(duì)于多種條件下，沒有進(jìn)行分類討論，或討論后最終沒要總結(jié)結(jié)論；軌跡方程與運(yùn)動(dòng)軌跡問題，不知道或混淆兩者的基本表達(dá)要求，等等.其實(shí)軌跡方程，最后求出方程就可以，對(duì)于軌跡，求出軌跡方程，我們還應(yīng)描述軌跡圖形，注意圖形所有位置是否都是符合.

學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)重在教師的示范.正如文［5］所述，“教師數(shù)學(xué)書面表達(dá)的優(yōu)劣，直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性，會(huì)影響著學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和吸收程度，這就需要教師重視自身的書寫規(guī)范”［5］.因此，教師的書寫規(guī)范程度極其重要.因?yàn)閷W(xué)生在考試答題時(shí)，需要把解題步驟完整地寫出來(lái).怎樣書寫？怎樣規(guī)范地書寫？教師就要以身作則，做書寫規(guī)范的“領(lǐng)航員”.

圖2

圖3

基于上述認(rèn)識(shí)，教師在解答這類問題時(shí)，以啟發(fā)性提示語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生“想數(shù)學(xué)”，用思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生理清解題思路，促進(jìn)學(xué)生想清數(shù)學(xué)問題，激勵(lì)學(xué)生去“寫數(shù)學(xué)”，教師再規(guī)范書寫表達(dá)，讓學(xué)生有參考標(biāo)準(zhǔn)去寫，去表達(dá)數(shù)學(xué)問題.通過(guò)循序漸進(jìn)，來(lái)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的提高.值得注意的是，不是每一道題目都是要老師做書寫示范，而是在典型的題目中去做示范，引領(lǐng)學(xué)生書面表達(dá).教師的示范，就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)符號(hào)表達(dá)、學(xué)會(huì)作圖、提高運(yùn)算能力，包括要求構(gòu)圖合理、表達(dá)清晰且符合邏輯、運(yùn)算結(jié)果準(zhǔn)確等.在進(jìn)行本例題教學(xué)時(shí)，第（I）問規(guī)范解答如下：

更一般地說(shuō)，“教師在教學(xué)中應(yīng)該發(fā)揮‘教練’的作用，像體育教練那樣善于調(diào)動(dòng)隊(duì)員的積極性，有效地做好組織工作，并為各個(gè)隊(duì)員指明努力的方向，包括一定的示范；也要牢記教練所做的一切都是為了幫助他的隊(duì)員更好地掌握相應(yīng)的‘技能’”［10］.數(shù)學(xué)教師規(guī)范表達(dá)的意義也就在于努力促進(jìn)每個(gè)學(xué)生發(fā)展自身的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，力爭(zhēng)會(huì)做的題目拿滿分，做不完整的題拿到高分，難題拿到步驟分，不因書寫失誤而丟分，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.5 通過(guò)一題多解，提高學(xué)生思維的靈活性和表達(dá)的豐富性

一題多解即是“以原題為中心，根據(jù)題意從各個(gè)核心方面展開深入討論，綜合運(yùn)用所學(xué)到的知識(shí)用不同的解題方法去解答題目”［11］.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不同的學(xué)生對(duì)同一問題的解決，方式方法有所不同，但結(jié)果完全相同.教師在解題教學(xué)中，利用啟發(fā)性提示語(yǔ)、思維導(dǎo)圖等將數(shù)學(xué)問題逐層分析與解決，將零碎的基礎(chǔ)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生拓展解題思路，形成“一題多解”的解題方式，鍛煉學(xué)生思維應(yīng)變性與靈活性.

教學(xué)中嘗試“一題多解”進(jìn)行解題教學(xué)，這就要求師生對(duì)問題的條件與結(jié)論進(jìn)行深入分析，找到解決問題行之有效的方法，幫助學(xué)生找到適合自己的解題辦法，長(zhǎng)此以往，學(xué)生逐漸靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題，不同層次學(xué)生的思維得到不同發(fā)展，從而提高學(xué)生的發(fā)散性思維，即培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

在本題教學(xué)時(shí)，有了思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生理清解題思路，在分析過(guò)程中，對(duì)問題產(chǎn)生一些新的思路，形成了一題多解.本題的另一種解法，敘述如下：

第（I）問解答：

分析得出，一題多解，解題思路完全不同，用到的知識(shí)點(diǎn)也不完全相同，但運(yùn)算的結(jié)果一致.例如，在解答本例題第（I）問中，題目已知條件可以推出EM⊥AB，要求中點(diǎn)坐標(biāo)M中的參數(shù)，可通過(guò)或kAB?kEM=-1求得，這就體現(xiàn)了在解答問題時(shí)，充分利用與該問題有直接或間接聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，拓展學(xué)生的解題思路，再運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將解決問題的過(guò)程與結(jié)果準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái)，這樣，既發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，也增加數(shù)學(xué)表達(dá)的豐富性.

5 結(jié)束語(yǔ)

不同的時(shí)代，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力具有不同要求，學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教育的時(shí)代課題，也是一道難題.在當(dāng)今之中國(guó)，怎樣促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力的發(fā)展，顯現(xiàn)出中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)特色，是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)深思的問題.筆者結(jié)合自身在高三一年實(shí)習(xí)，通過(guò)課堂觀察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解析解析幾何問題的表達(dá)中流露出的一些問題，結(jié)合全國(guó)III 卷理科數(shù)學(xué)第21 題解法分析，立足教學(xué)實(shí)際做一些探討.

總之，要想在解題教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，教師必須有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.因此，教師教學(xué)時(shí)，應(yīng)善于運(yùn)用數(shù)學(xué)教育經(jīng)典理論指導(dǎo)課堂教學(xué)，在課堂語(yǔ)言上做文章.即用精準(zhǔn)簡(jiǎn)練的語(yǔ)言表達(dá)，巧用啟發(fā)性提示語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生去思考，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維；再者，還要勤于專研數(shù)學(xué)問題，在備課中下功夫.備好數(shù)學(xué)知識(shí)、備精解題方法、備準(zhǔn)學(xué)生情況，在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上，力爭(zhēng)在解法上突破創(chuàng)新，師生努力，積極參與，才能書寫好屬于每一位學(xué)生的“數(shù)學(xué)心聲”.