數學問題解答

2020年10月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2566如圖，等腰△PAB中，PA=PB,過三角形中一點O作直線交邊PA,PB于點E,F(不同于A,B)，使AE=OE,BF=OF.直線AO與PB交點為N,直線BO與PA交點為M,直線MF與NE交點為Q,直線AF與BE交點為R.求證：P,Q,R三點共線.

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

證明直線MB割△PEF三邊所在直線于點M,O,B,

又PA=PB，AE=OE,BF=OF，

由塞瓦定理逆定理得直線PO,EN,FM三線相交于點Q,則P,Q,O三點共線.

(1)

設PO與AB交于點D,

∠APD=α,∠BPD=β.

在△PEF中,

在△PAB中,

由塞瓦定理逆定理得直線PD,AF,BE三線相交于點R,則P,D,R三點共線.

(2)

由(1)、(2)及P,O,D三點共線得P,Q,R三點共線.

2567已知a,b,c>0,求證：

(陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000)

證明因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca,

所以 (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).

據此，并應用柯西不等式，得

令x=a+b+c,只要證

2568以任意三角形各邊為底邊分別向外側作同向相似的三角形，則位于外側的三個頂點構成的三角形與原三角形重心重合．

(湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)

證明如圖，三角形外三個相似三角形的兩個內角分別記為α,β，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，現求D(xD,yD)．

由于圖形中僅有有限條線段，因此，不妨設所有線段的斜率都存在．

當α,β都不是直角時，由夾角公式得

同理

解之得

類此可得到

=x1+x2+x3，

所以△ABC與△DEF的重心重合．

當α,β中有一個為直角(例如β為直角)時，有

解之得xD=x2+(y2-y1)tanα，

yD=y2+(x1-x2)tanα，

所以△ABC與△DEF的重心重合．

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

2570如圖，已知I是△ABC的內心，點G是∠B相對的旁心，D是BC邊的中點，DI交AC于點F，求證：CF=GF.

(北京市陳經綸中學 龔浩生 100020)

證明因為I是內心，G是旁心，

所以B,I,G三點共線.

連結BG，交AC于E，連結GC，延長BC到T.

由DIF截△BCE，根據梅涅勞斯定理，得

①

又AI,AG分別是△ABC的內角平分線和外角平分線，

所以FG//BC，

所以∠FGC=∠GCT=∠FCG，

所以CF=GF.

2020年11月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2571在△ABC中，試證：

(浙江湖州市雙林中學 李建潮 周秋斕 313012)

2572已知⊙O是△ABC的外接圓(如圖)，E,F分別是兩邊AB,AC的中點；CM，BN分別是AB，AC邊上的高，相交于點H；EF，MN交于點P,聯結AP，OH.求證：AP⊥OH.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

2573已知實數a,b,c,d>0，且a+b+c+d=1，求證：

(重慶三峽學院數學與統(tǒng)計學院 陳曉春 404000)

2574設k為正整數,求證不定方程4kx2-y2=1無整數解.

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

(江蘇省海門中學 徐巧石 226100)