深度揭示概念 感受負(fù)數(shù)價值

吳德娟 劉久成

【摘 要】負(fù)數(shù)來源于生活，同時具有構(gòu)造特征。通過層層遞進(jìn)的三個板塊，讓學(xué)生在生活實例中感受負(fù)數(shù)表示相反意義的量，在數(shù)軸模型中感受負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的排列、有理數(shù)的有序性以及數(shù)的分類，在運(yùn)算推理中感受負(fù)數(shù)能進(jìn)行更多的運(yùn)算、解決更多的實際問題，從而獲得對負(fù)數(shù)的本質(zhì)認(rèn)識，感受負(fù)數(shù)的價值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 認(rèn)識負(fù)數(shù) 教學(xué)片段 教學(xué)評析

負(fù)數(shù)雖然在小學(xué)教學(xué)中所占篇幅較少，但對負(fù)數(shù)的教學(xué)研究還是受到了廣泛關(guān)注。負(fù)數(shù)來源于生活，同時具有構(gòu)造特征，為了讓學(xué)生清晰地認(rèn)識負(fù)數(shù)概念，了解負(fù)數(shù)的來龍去脈，深切感受負(fù)數(shù)的價值，我們進(jìn)行了以下教學(xué)嘗試。

教學(xué)片段1

師：同學(xué)們，在以前的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識了哪些數(shù)？

生：3、4、5、6等，這些是自然數(shù)。0.2、0.3、0.45等，這些是小數(shù)。

師：還有不同類的數(shù)嗎？

生：1— 2、1— 4、3— 4等，這些都是分?jǐn)?shù)。

師：是啊，我們認(rèn)識了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。在人類歷史的長河中，人們曾用小石子、結(jié)繩和刻痕等來計數(shù)，隨著生產(chǎn)發(fā)展、交流增多、語言不斷豐富，于是逐漸產(chǎn)生了十進(jìn)制計數(shù)法，并形成了現(xiàn)在的整數(shù)。人們在分物或測量的時候發(fā)現(xiàn)整數(shù)不夠用了，于是產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)和小數(shù)。今天我們還要來認(rèn)識一種新數(shù)。（板書課題：認(rèn)識負(fù)數(shù)）

【評析】本課一開始教師就提出：我們已經(jīng)認(rèn)識了哪些數(shù)？幫助回憶舊知，并對已經(jīng)認(rèn)識的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的產(chǎn)生進(jìn)行了概述，滲透了數(shù)學(xué)史教育，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)不僅源于生活實踐，也源于理性思考，為學(xué)生從不同側(cè)面認(rèn)識負(fù)數(shù)埋下了伏筆。

板塊一：在生活實例中初識負(fù)數(shù)

教學(xué)片段2

師：認(rèn)識了整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)，為什么還要認(rèn)識負(fù)數(shù)呢？讓我們到生活中去尋找答案。如圖1所示，甲、乙兩組參加知識競賽，第一題過后，甲組答對，乙組答錯，兩組現(xiàn)在的比分各是多少？

生1：甲組得了20分，就用20來表示，乙組答錯，比0分還少20分，我認(rèn)為用負(fù)20來表示。

師：-20會讀嗎？會寫嗎？表示什么意思？（板書：-20）

師：為什么乙組的得分不用以前學(xué)過的數(shù)表示？

生2：因為用以前的數(shù)表示比0分要高，而乙組比0分低。

生3：這個數(shù)比0小，要用負(fù)數(shù)來表示。

【評析】由于正負(fù)數(shù)的基本含義是具有相反意義的量，同時離不開“0”點的確定，而“0”點的確定帶有人為規(guī)定的特點。為分步推進(jìn)，這里改變了教材中通過溫度計引入負(fù)數(shù)的做法，而是利用知識競賽的得分、失分這一生活中非常熟悉的事例，首先讓學(xué)生初步感受到正負(fù)數(shù)具有相反意義的特征。

教學(xué)片段3

（出示海拔高度圖，如圖2）

師：吐魯番盆地該怎么表示？想一想為什么你會選擇用負(fù)數(shù)來表示。

生：我用-155來表示，因為吐魯番盆地比海平面還要低，海平面是0米，比0還要少就用負(fù)數(shù)表示。

師：同學(xué)們在觀察圖的時候，以海平面為分界點，海平面以上的高度用+8848.86來表示，海平面以下的高度用-155表示。

師：像-20和-155這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù)，像20和+8848.86這樣的數(shù)都是正數(shù)。正數(shù)可以加正號，也可以不加，正號可以省略。負(fù)號可以省略嗎？

（出示微信賬單，如圖3）

師：下面是一份微信賬單，你能讀懂這兩個數(shù)分別是什么意思嗎？

生：+25.8元表示增加了的錢，-120元表示花去了120元。

師：這里的正數(shù)表示收入，那負(fù)數(shù)表示什么呢？

生：支出。

師：同學(xué)們能夠根據(jù)生活實際理解這兩個數(shù)的意思，支出的錢數(shù)可以用負(fù)數(shù)表示，收入的錢數(shù)可以用正數(shù)表示。

（出示溫度計，如圖4和圖5）師：圖4中這兩個溫度計的示數(shù)用正數(shù)還是負(fù)數(shù)來表示呢？

生：左邊的圖用正數(shù)表示，右邊的圖用負(fù)數(shù)表示。因為左邊的溫度比0攝氏度高，右邊的溫度比0攝氏度低。

師：現(xiàn)在能讀出圖5中兩溫度計顯示的溫度各是多少攝氏度嗎？

（學(xué)生讀并寫出溫度計上的溫度）

師：剛才大家在判斷用正數(shù)還是用負(fù)數(shù)表示的時候，首先需要確定什么？

生：先要確定0攝氏度在哪里。

師：0有什么作用？

生1：我認(rèn)為0是把正數(shù)和負(fù)數(shù)隔開的。

生2：0是正數(shù)和負(fù)數(shù)中間的數(shù)。

生3：0的上面是正數(shù)，0的下面是負(fù)數(shù)。

生4：0在這兒是一個分界點，分界點的上面是正數(shù)，分界點的下面是負(fù)數(shù)。

師：大家說得都非常有道理，知道了0在表示正負(fù)數(shù)中的作用，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點。

（板書：分界）

師：我們研究了4個問題，在每一幅圖中，既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，對照每一組數(shù)表示的含義，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？（對照圖，見圖6）

生1：我發(fā)現(xiàn)右邊的都是正數(shù)，左邊的都是負(fù)數(shù)，我想中間應(yīng)該是0吧。

生2：我發(fā)現(xiàn)正數(shù)表示的意思和負(fù)數(shù)是相反的，比如20分是得分，-20分是扣分，得分和扣分是相反的。收入和支出也是相反的，上和下也是相反的。

生3：我同意你的看法，我也認(rèn)為正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義是相反的。

師：這幾幅圖中，都含有相反的情況，得分和扣分，海平面以上和以下，收入和支出，當(dāng)遇到這樣相反情況的時候，人們借用“-”號，創(chuàng)造了負(fù)數(shù)。有了負(fù)數(shù)，我們的表達(dá)會更加簡潔、準(zhǔn)確。

【評析】通過記分表、海拔、賬單、溫度計四個問題的討論，從負(fù)數(shù)的自然意義（如記分表、賬單）到人為規(guī)定意義（如海拔、溫度計）的理解，讓學(xué)生充分感受到，正數(shù)、負(fù)數(shù)是表示相反意義的量，同時認(rèn)識到“0”的定位作用。溫度計上的零上5攝氏度在左、零下5攝氏度在右，正好與板書設(shè)計的左右相反，這一設(shè)計不僅提醒了學(xué)生書寫時的規(guī)范，也在細(xì)節(jié)處強(qiáng)化了學(xué)生對概念的認(rèn)識。通過四個問題的討論，最后概括出：當(dāng)遇到相反的情況時，人們借用“-”號，創(chuàng)造了負(fù)數(shù)。學(xué)生在解決這四個問題的過程中體會到負(fù)數(shù)來源于生活實際，同時具有構(gòu)造的特征。

板塊二：在數(shù)軸模型中感受負(fù)數(shù)

教學(xué)片段4

師：這是我們熟悉的數(shù)軸（如圖7），從0開始往右延伸，自然數(shù)都在上面，也可以找到分?jǐn)?shù)和小數(shù)。大家想想負(fù)數(shù)在哪里？

生：從0開始向左延伸，負(fù)數(shù)應(yīng)該在上面。（課件演示）

師：點A是多少，你怎么想的？（-1、-2、-3未標(biāo)）

生1：點A表示-1，因為它在0的左邊。

生2：我要補(bǔ)充，它是在0的左邊，而且它和0相隔1格，所以是-1。

生3：我也認(rèn)為是-1，因為在0的右邊一格是1，所以0的左邊一格就是-1。

師：大家說得很有道理，確實是用-1表示。觀察一下-1和1這兩個點，它們到0的距離相等嗎？

生：相等。

師：我們稱它們?yōu)橐粚ο喾吹臄?shù)。你能找出2、3、1.4這些數(shù)的相反數(shù)嗎？

（學(xué)生在數(shù)軸上指出）

師：觀察數(shù)軸你有什么發(fā)現(xiàn)，跟你的同桌說一說。

生1：我發(fā)現(xiàn)0的左邊的數(shù)比右邊的數(shù)多一個負(fù)號。

生2：如果把這條數(shù)軸沿中間的0對折，這些數(shù)會重疊在一起。

生3：我補(bǔ)充，點會重合在一起，數(shù)如果把負(fù)號去掉，也會重合在一起。

生4：他們的意思是，每一個正數(shù)和它相應(yīng)的負(fù)數(shù)關(guān)于0點是對稱的，可以沿0點折起來重合在一起。

生5：正數(shù)在0的右面，負(fù)數(shù)在0的左邊。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)正數(shù)和它相應(yīng)的負(fù)數(shù)關(guān)于0點是對稱的，有一個正數(shù)就能找到一個相應(yīng)的負(fù)數(shù)，那么數(shù)軸上的每個點都是這樣的嗎？

生：不是，0沒有。

師： 0這個數(shù)很特殊，其實，它的相反數(shù)就是它自己。所以呢，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。

師：如果把數(shù)軸上的數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩類，大家同意嗎？如果不同意，那怎么改？

生：應(yīng)該分為三類——正數(shù)、負(fù)數(shù)和0，因為0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

【評析】在數(shù)軸上討論負(fù)數(shù)比起生活中的負(fù)數(shù)要抽象一些，但它能整體地反映負(fù)數(shù)的特征，負(fù)數(shù)與正數(shù)的關(guān)系，強(qiáng)化了0的特殊性，以及0在認(rèn)識正數(shù)、負(fù)數(shù)中的作用。

教學(xué)片段5

師：請同學(xué)們完成下面這道練習(xí)，在圖8中標(biāo)一標(biāo)。

（展示學(xué)生完成的練習(xí)結(jié)果，如圖9）

師：為什么同學(xué)們表示出的-2的位置不一樣呢？

生：因為0點的位置不一樣，所以-2的位置也不一樣。

師：雖然大家標(biāo)的-2的位置不一樣，觀察三個學(xué)生的標(biāo)法，有沒有什么共同點呢？

生：-2都在0左邊2格，也就是說如果確定了0的位置，那么它的左邊2格就是-2的位置了。

師：當(dāng)我們要表示負(fù)數(shù)時，首先要確定0的位置，0的位置變化了，-2的位置也會變化。

【評析】出示數(shù)軸，并緊扣問題：負(fù)數(shù)在哪里？負(fù)數(shù)有多少？誰與誰是相反數(shù)？你有什么發(fā)現(xiàn)？展開討論，環(huán)環(huán)相扣，各個擊破。在數(shù)軸上認(rèn)識負(fù)數(shù)，不僅形象直觀，滲透數(shù)形結(jié)合思想，而且有利于學(xué)生感受有理數(shù)的有序性。由此，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每一個正數(shù)都有相對應(yīng)的負(fù)數(shù);正數(shù)都比負(fù)數(shù)大;數(shù)軸上越往左的數(shù)越小，越往右的數(shù)越大;等等。

為了凸顯“0”的作用，教者特意安排了在數(shù)軸上標(biāo)“-2”的練習(xí)，通過三種標(biāo)法的對比，提問：同樣是表示“-2”，為什么點的位置不同？從而強(qiáng)調(diào)了“0”的定位作用，這就抓住了數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)的關(guān)鍵。

板塊三：在運(yùn)算推理中體會負(fù)數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)片段6

師：其實每一種數(shù)的產(chǎn)生，它的價值不僅是為了解決生活中的問題，數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，同樣有需要。以熟悉的1和2為例，組成不同的算式，請用數(shù)來表示計算的結(jié)果。

1+2=? ? ? ? ? 1×2=? ? ? ? ? 1÷2=? ? ? ? ? ? 1-2=

師：1÷2能用整數(shù)表示嗎？為什么？

生：1÷2不能用整數(shù)表示，因為不夠1個了，用1— 2表示。

師：在除法運(yùn)算中，不能整除時，我們可以用分?jǐn)?shù)或小數(shù)來表示。

師：1-2的結(jié)果呢？你能寫一寫、畫一畫，讓大家了解你的想法嗎？

（學(xué)生獨(dú)立活動，展示學(xué)生作品如圖10，學(xué)生交流）

師：為什么計算1-2的時候你們想到了用負(fù)數(shù)來表示結(jié)果呢？

生：因為被減數(shù)減減數(shù)的時候不夠減了，所以我們想到用負(fù)數(shù)來表示。

師（小結(jié)）：人們在遇到小的數(shù)除以大的數(shù)，不夠除了的情況后，創(chuàng)造了分?jǐn)?shù);人們在遇到小的數(shù)減大的數(shù)，不好減了的情況后，創(chuàng)造了負(fù)數(shù)。

【評析】數(shù)的一個重要功能是能夠運(yùn)算，新數(shù)的出現(xiàn)，常常受到運(yùn)算的推動，比如“分?jǐn)?shù)”的產(chǎn)生，原因之一就是基于整數(shù)除法運(yùn)算的需要。這里教者利用一組算式，放手讓學(xué)生思考：1-2=？寫出你的想法，再進(jìn)行全班交流。學(xué)生從運(yùn)算角度體會引進(jìn)負(fù)數(shù)的必要，以及負(fù)數(shù)在運(yùn)算中表達(dá)的合理性，同時也為后續(xù)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、解方程等知識做鋪墊。

總評

認(rèn)識負(fù)數(shù)是小學(xué)生數(shù)概念的又一次重要擴(kuò)展。以前小學(xué)生學(xué)習(xí)的都是“算術(shù)數(shù)”，這些數(shù)與生活實際聯(lián)系緊密，學(xué)生感受和理解這些數(shù)的含義相對比較容易。學(xué)生雖然在日常生活中了解過負(fù)數(shù)，但在學(xué)生生活中直接應(yīng)用負(fù)數(shù)的情況并不多見。因此，學(xué)生真正理解負(fù)數(shù)的概念還是存在一定困難的。為此，教者在深入研究教材的基礎(chǔ)上，對教學(xué)過程做了精心設(shè)計，體現(xiàn)了以下特色：

（1）改變單純由溫度計引入負(fù)數(shù)的做法，采用豐富多樣的事例，循序漸進(jìn)地揭示負(fù)數(shù)是表示相反意義的量?！跋喾匆饬x的量”通常有自然意義和人為規(guī)定意義兩種。輸與贏、收與支、盈與虧等都是自然意義下“相反意義的量”，學(xué)生易于理解;而溫度、海拔等都需要規(guī)定“0”點，具有“人造”的特點，相對復(fù)雜。因此，教者改由溫度計引入負(fù)數(shù)為從比賽的得分、扣分出發(fā)，讓學(xué)生初步感受具有相反意義的量是合適的。

（2）注重概括提煉，揭示負(fù)數(shù)概念的本質(zhì)。概念是數(shù)學(xué)知識的細(xì)胞，是構(gòu)成數(shù)學(xué)公式、規(guī)則、命題等規(guī)律性知識的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，要讓學(xué)生盡可能了解概念從何而來，它的本質(zhì)是什么，我們應(yīng)該如何理解。教者通過生活中的負(fù)數(shù)、數(shù)軸上的負(fù)數(shù)、運(yùn)算中的負(fù)數(shù)，層層遞進(jìn)，逐步抽象，及時概括，不斷豐富負(fù)數(shù)的內(nèi)涵，讓學(xué)生不僅認(rèn)識到負(fù)數(shù)是具有相反意義的量，同時由于“0”的作用討論，讓負(fù)數(shù)的意義更加完整，負(fù)數(shù)與正數(shù)的關(guān)系更加清晰，通過對數(shù)的分類讓學(xué)生能更加清楚地認(rèn)識到負(fù)數(shù)是一種新數(shù)。

（3）三個板塊步步深入，讓學(xué)生充分感受到負(fù)數(shù)來自多方面的需要，體驗到負(fù)數(shù)的價值。具體說來：

通過第一個板塊的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到負(fù)數(shù)是表示相反意義的量，運(yùn)用負(fù)數(shù)能讓生活中問題的表達(dá)更加準(zhǔn)確。

通過第二個板塊的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的排列、有理數(shù)的有序性，以及數(shù)的分類，讓學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識更加全面。

通過第三個板塊的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到有了負(fù)數(shù)能進(jìn)行更多的運(yùn)算，有利于解決更多的實際問題，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

總之，本課創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，別具一格地對各個環(huán)節(jié)進(jìn)行了精心設(shè)計，通過三個板塊的有序推進(jìn)，讓學(xué)生對負(fù)數(shù)的本質(zhì)及其規(guī)律有了清晰的認(rèn)識，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。