借助構(gòu)造法 打破圓錐曲線“藩籬”

宋德銀

(江蘇省泰州中學 225300)

在圓錐曲線類型的題目中，構(gòu)造法能很好地發(fā)揮學生的創(chuàng)造性思維.在應用構(gòu)造法解決圓錐曲線時，我們要善于結(jié)合題目要求以及自身聯(lián)想構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學對象，使圓錐曲線題型的解法突破常規(guī)，另辟蹊徑.

一、構(gòu)造不等式求解參數(shù)范圍

探求圓錐曲線中的參數(shù)取值范圍是近幾年高考考查的熱點與難點，學生要善于深入題目條件，挖掘題中的隱含信息構(gòu)建與參數(shù)有關(guān)的不等式或者不等式組，將題目所求問題轉(zhuǎn)化為求解不等式或不等式組的問題.

(1)求橢圓C的標準方程；

分析(1)當線段MN為長軸時，長度最長，4=2a，a=2，可得橢圓C的標準方程；(2)直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)方程為y=kx+2，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得(1+4k2)x2+16kx+12=0，由Δ>0來構(gòu)造不等式，并求解不等式，結(jié)合韋達定理求出直線OP斜率的取值范圍．

二、構(gòu)造方程求解最值問題

對于圓錐曲線這類復雜的數(shù)學題，往往會出現(xiàn)自變量與因變量的概念，因此我們可以根據(jù)需要結(jié)合有利的數(shù)學條件來進行思路框架的設(shè)計.針對題目的未知參數(shù)，將有關(guān)的條件構(gòu)成方程組，通過解方程組最終確定最值或是確定范圍.

例3已知動圓C過點P(0，4)，且在x軸上截得的弦長為8．

(1)求動圓的圓心C的軌跡方程；

分析(1)設(shè)圓心C的坐標，及圓與x軸的其中一個交點M，由橢圓可得C的坐標之間的關(guān)系，即求出動圓C的軌跡方程；

(2)設(shè)A，B，Q的坐標，求直線AB的方程并與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)造方程組，求出兩根之和及兩根之積，由題意得|AD||BD|的表達式，由Q的坐標的范圍求出其最大值．

構(gòu)造法善于利用題目的有利條件，將難以直接解決的參數(shù)問題轉(zhuǎn)化到方程或函數(shù)等數(shù)學問題上來，便于學生理解，也能提高學生的解題效率.應用構(gòu)造法解決圓錐曲線的問題，有助于學生理解圓錐曲線的實際應用.