數(shù)學(xué)問題解答

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

(重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 陳曉春 404000)

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

( 安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005 )

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

(浙江省海鹽縣元濟高級中學(xué) 張艷宗 314300;北京航空航天大學(xué)圖書館 宋慶 100191)

(浙江臺州市洪家高級中學(xué) 鄔天泉 318000)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

2020年11月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2571在△ABC中，試證：

(浙江湖州市雙林中學(xué) 李建潮 周秋斕 313012)

證明在△ABC中，有

同理可得

以上三式相加，并利用三角形恒等式

可得

(1)

注意到三角形恒等式

而把(1)式簡化為

(2)

2572已知⊙O是△ABC的外接圓(如圖)，E,F分別是兩邊AB,AC的中點；CM，BN分別是AB，AC邊上的高，相交于點H；EF，MN交于點P,聯(lián)結(jié)AP，OH.求證：AP⊥OH.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

證明設(shè)⊙O的半徑為R,AB=c,AC=b.

延長AP、MN分別交底邊BC及其延長線于Q，L兩點(如下圖).

因為BN⊥AC，CM⊥AB,有B，C，N，M四點共圓，得∠AMN=∠ACB.

聯(lián)結(jié)AO并延長交⊙O于J,聯(lián)結(jié)BJ,

聯(lián)結(jié)AH并延長交BC于K.

因為∠ABJ=∠AKC,

∠AJB=∠ACB=∠ACK,

所以△ABJ∽△AKC,

可得∠BAJ=∠KAC.

因為∠AMN+∠BAJ=∠ACB+∠KAC

=90°,

所以AJ⊥MN,也就是AO⊥MN.

在△AOH和△LPQ中，

AO⊥LP，AH⊥LQ,

所以∠OAH=∠PLQ.

直線MPL截△ABQ，應(yīng)用梅涅勞斯定理得

①

又因為EF是△ABC的中位線，

所以EF∥BC,有QP=PA,

②

直線BQL截△AMP,應(yīng)用梅涅勞斯定理得

③

由③÷②得

在△LMB中應(yīng)用正弦定理得

④

聯(lián)結(jié)BO并延長交⊙O于點D,

聯(lián)結(jié)DC、DA,作OG⊥BC交BC于點G,易得四邊形AHCD為平行四邊形，可得AH=DC.

又因為OG=OB·cos ∠BOG=R·cosA

所以AH=2RcosA,故

⑤

因為∠OAH=∠PLQ，

所以△AOH∽△PLQ.

根據(jù)兩個相似三角形有兩組對應(yīng)邊互相垂直，則知第三組對應(yīng)邊也一定垂直,

所以AP⊥OH.

2573已知實數(shù)a,b,c,d>0，且a+b+c+d=1，求證：

(重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 陳曉春 404000)

證明當(dāng)a+b+c+d=1時，

ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)

由柯西不等式有

2574設(shè)k為正整數(shù),求證不定方程4kx2-y2=1無整數(shù)解.

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

證明(1)當(dāng)y為偶數(shù)時,

原方程可變形為y2=4kx2-1,

注意到上式左邊為偶數(shù),同時右邊為奇數(shù),矛盾.

故知y為偶數(shù)時原方程無整數(shù)解.

(2)當(dāng)y為奇數(shù)時,

原方程可變形為y2-1=4kx2-2,

進一步可變形為

y-1為偶數(shù),那么左邊即為偶數(shù),

同時右邊為奇數(shù),矛盾.

故知y為奇數(shù)時原方程也無整數(shù)解.

綜合(1),(2),知原不定方程無整數(shù)解.

(江蘇省海門中學(xué) 徐巧石 226100)

所以8b+b2+4-4bcosA+4-b2

2020年12月號問題

(來稿請注明出處——編者)

( 安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005 )

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

2578已知正實數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1，求證：

(浙江省海鹽縣元濟高級中學(xué) 張艷宗 314300;北京航空航天大學(xué)圖書館 宋慶 100191)

2579以AB為直徑的圓⊙O的方程為x2+y2=1，A(1，0).C為射線AB上一個動點，D位于直線AB上方，DC⊥AB于C點，△ACD的CD邊的旁切圓⊙P與⊙O相切.試證：P點的軌跡方程為2y=|x2-1|，(x<1且x≠-1).

(浙江臺州市洪家高級中學(xué) 鄔天泉 318000)

2580如圖所示，在△ABC中，三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，P為△ABC內(nèi)一點，且∠PAB=∠PBC=∠PCA(即P為△ABC的勃羅卡點)，△ABC的外接圓半徑為R，△PBC,△PCA,△PAB的外接圓半徑分別為R1,R2,R3，則

(1)R1R2R3=R3；