金融數(shù)學課程教學中的一些思考

袁海麗

摘要金融數(shù)學課程是一門應用性較強的課程。本文主要考慮金融數(shù)學課程講授中存在的一些問題以及如何處理這些問題。實現(xiàn)數(shù)學與金融的完美結合，培養(yǎng)既懂數(shù)學又懂金融的人才。

關鍵詞 金融數(shù)學 啟發(fā)教學 應用數(shù)學軟件

中圖分類號：G424文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.26.028

Reflections on the Teaching of Financial Mathematics

YUAN Haili

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072）

AbstractThe course of Financial Mathematics is a course with strong application. In this paper， we mainly consider the existing problems in the teaching and solve them. The goal of this course is to educate students who are quite familiar with finance and mathematics.

KeywordsFinancial Mathematics； heuristic teaching； applied mathematics software

0引言

金融數(shù)學[1]是一門涉及金融和數(shù)學的課程。金融數(shù)學是一門理論性和應用性很強的一門學科，對學生的要求比較高。它用嚴格的數(shù)學理論將金融中的問題描述清楚并解決該問題。因此要求學生受到比較嚴格的科學思維訓練，具有扎實的數(shù)學基礎，需要熟悉隨機過程、隨機分析、時間序列分析、統(tǒng)計學等內容；同時具有利用金融數(shù)學知識去解決實際問題的能力，特別是運用各種金融工具和手段分析和解決金融實務問題的能力；能夠較熟練地使用計算機及應用數(shù)學軟件，具有編寫應用程序的能力，能夠解決金融中出現(xiàn)的一些實際問題。

1金融數(shù)學現(xiàn)狀及解決方案

重數(shù)學輕金融：[2]傳統(tǒng)教學中比較重視數(shù)學知識的傳授，對于數(shù)學學院的本科生來講，金融概念薄弱，數(shù)學基礎較扎實，不知道或者說不太清楚如何理解金融概念及金融背景，對金融概念理解不到位。

理論與實際脫節(jié)：目前，金融數(shù)學方面的教材大致可以分成兩類：一類是過于深奧，完全從數(shù)學上考慮，基本上都是深奧的數(shù)學知識。如：隨機過程、鞅論、隨機微分方程等知識。這類教材比較適合研究生來讀。對于本科生來講，所學的數(shù)學基礎知識還不夠，不能夠融會貫通這些數(shù)學知識，經(jīng)常學得云里霧里，打擊了學生學習的動力和實際應用的積極性。一類是直接講淺顯的知識，理論證明不夠嚴密。這兩種教材對本科生來講，學習起來都比較吃力。另外市面上的教材還都有一個弊端：現(xiàn)在社會發(fā)生了巨大的變化，但是很多教材都是幾十年前出版的。當然，學習經(jīng)典的知識是可以的，但是學習的內容和實際生活有點脫節(jié)，例子太過陳舊，不能夠和現(xiàn)在生活掛鉤，降低了學生對學習的熱情。這就要求在講授過程中要注入新的元素新鮮的血液，同時也希望市面上能夠盡快出現(xiàn)既符合本科生的實際情況，又能夠便于學生操作的教材。

學生學習主動性有待提高：由于不知道如何將理論聯(lián)系實際，學生認為所學的知識無用或者過于深奧，不能夠很好地調動學生學習的積極性，激發(fā)學習興趣，變被動學習為主動學習。

實際動手能力欠缺：對于大部分學生來講，實際動手能力欠缺，僅僅會書上的內容，不太會操作，有點紙上談兵時的運籌帷幄，真槍實彈時不知所措。通常，大家只是在學理論，較少將書上的內容用于處理實際中的問題。比如說大家都會年金的理論計算，可是一旦將年金用到分期購車中或者如何利用年金進行做分期購車的銷售策略，大家會不知如何下手。

針對以上存在的問題，筆者認為在金融數(shù)學教學中需要改進的一些地方及建議：

1.1重視金融概念的講解

現(xiàn)在社會上雖然人人都了解點金融，但真正懂金融的人并不是很多。在教學中要加強對數(shù)學公式的金融解釋，對背后的金融背景和金融問題要進行深入細致的了解。只有理解了金融數(shù)學背后的金融背景和問題，那么在以后的學習和工作中碰到類似的問題，才知道如何解決。如果不理解清楚一知半解或不懂裝懂，那么在碰到實際問題時只能生搬硬套，往往會達不到解決問題的效果甚至可能南轅北轍。所以在教學中一定要加強金融概念的講解，講清楚講透徹。以下將從金融數(shù)學中的幾個概念進行詳細的闡述。

無套利思想是金融數(shù)學中的一個很重要的思想?？赡軐W生覺得這在數(shù)學上很簡單，但是要能夠應用到實際中去，什么時候有套利機會，有套利機會時怎么操作運行必須搞清楚。并且將數(shù)學中的內容和金融建立聯(lián)系，市場是無套利的，那么在數(shù)學上的反映就是存在風險中性概率測度，進一步延伸風險中性的概念。進而我們可以自然而然地過渡到風險偏好上，既然有風險中性，那么也就有投資者偏好風險，也有投資者厭惡風險。針對這三種投資者風險中性、風險偏好和風險厭惡投資者他們的期望是什么？除了定性分析還需要定量分析，即如何在數(shù)學上體現(xiàn)風險偏好程度？這就要進一步引入效用函數(shù)，并且使學生理解為什么在金融中要用效用最大化來求最優(yōu)投資策略。

比如說到自融資策略時，很多同學不能夠正確的理解。認為從數(shù)學角度上看式子是不滿足的。通過求微分式子根本不成立。但要讓學生充分理解到資金就那么多，投資后既不能撤出資金也不能再追加投資，很短時間內資金的變化量只和資產(chǎn)的價格變化有關，和資金的數(shù)量變化無關。所以會導致這樣的式子，并不是數(shù)學上嚴格推導出來的式子。這也明確地告訴大家金融數(shù)學中的一些公式并不是完完全全靠數(shù)學推導出來的，有些是用到了金融背景的。只有理解金融背景，才能夠真正理解公式的含義。

比如說到金融數(shù)學中的復制。大家都很清楚復制一份文件就是重新拷貝一份。那么在金融中復制一種資產(chǎn)是什么？由于在金融市場中我們想要交易的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合A并不是可以在市場中隨意進行交易的，那么就需要用其他的一種或多種資產(chǎn)B，使得該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合B與我們需要的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合A他們的價值是相等的，那么我們可以交易資產(chǎn)組合B。

再比如我們講到連續(xù)時間模型下對期權進行定價問題。首先要弄清楚證明中的每一步是如何推導的，再就是要理解其公式的含義，并且如何從金融上進行解釋。最常見的標的資產(chǎn)不帶紅利的歐式看漲期權可以看作由標的資產(chǎn)和現(xiàn)金來復制，并且所需要的比例通過B-S公式已給出。通過復制可以啟發(fā)學生，如果想要購買這種歐式期權，而市場上又買不到時，可以通過購買標的資產(chǎn)和一定量的現(xiàn)金得到。從金融工程的角度來看，歐式看漲期權也可以看作是由兩種期權的資產(chǎn)組合：股票0-1期權和現(xiàn)金0-1期權。此時，同樣可以交易這兩種期權進而得到需要的歐式期權。多方位多角度的講解加深學生對概念和公式的理解。

1.2理論聯(lián)系實際

在講解過程中，對教學內容要有所取舍，合理分配教學內容，除了講解書上的理論部分和經(jīng)典例子外，講解時還要注意理論聯(lián)系實際，比如可以拿市場中的某幾只股票的數(shù)據(jù)進行分析，對學生比較熟悉的金融業(yè)務進行講解。當前學生比較熟悉的金融業(yè)務有：微信中的零錢通，京東金融的基金理財，基金保險，各銀行的理財?shù)取3]紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。鼓勵學生多用學過的內容分析這些金融業(yè)務，體現(xiàn)理論聯(lián)系實際，學以致用的思想，引導學生進行實踐分析，多進行案例分析，分析理論和實際之間的差距。

例如學習年金知識的時候，可以將實際生活中碰到的房租、保險、養(yǎng)老金、分期貸款等都看作年金。那么在現(xiàn)實中涉及的提前還貸，養(yǎng)老金的發(fā)放等實際問題都可以試著處理。利用簡單的案例，生動形象地告知學生。讓學生既學到理論知識，又能夠應用到實際，體會到成就感，帶動學習興趣，一舉多得。

1.3啟發(fā)式教學，提高學生學習的主動性，使學生能夠自主學習

例如講到投資組合問題時，告訴學生分散投資可以分散風險。那么怎么樣做呢？是不是所有的投資都可以分散風險？這時候可以通過講解一些具體的例子引導啟發(fā)學生并不是所有的投資都是分散風險的，有些投資反而增加了風險，只有在這些資產(chǎn)存在著一定關系時才可以分散風險。投資組合理論模型如何刻畫？在實際中如何體現(xiàn)？關于書本上講的理論中的假設是否在實際市場中是成立的？如何應用到實際中？對結果如何進行分析等等，進行啟發(fā)式教學，引導學生搞清楚實際和理論之間的差距，并且激發(fā)學生進一步探討學習研究，針對實際中存在的一些問題如何研究，引導學生進一步推廣模型做理論研究來解決實際問題。

搞清楚了經(jīng)典意義下的歐式看漲期權的價格，那么如何考慮同樣的條件下歐式看跌期權的價格？能否用推導歐式看漲期權價格的思路來推導歐式看跌期權的價格？通過歐式看漲期權和歐式看跌期權的價格會得到什么結論？通過啟發(fā)引入歐式看漲看跌期權的平價公式，最后得出歐式看跌期權可以通過平價公式和B-S公式得到。實際中，標的資產(chǎn)為了吸引投資會考慮發(fā)放紅利，這時標的資產(chǎn)帶有紅利的歐式看漲期權和歐式看跌期權的價格又該如何考慮？此時平價公式還是否成立？鼓勵學生思考并進行查閱相關的資料，得到：如果標的資產(chǎn)連續(xù)發(fā)放紅利時，那么此時也會有相應地歐式看漲期權的價格公式，平價公式和歐式看跌期權的價格。再一步深入展開討論，如果標的資產(chǎn)的價格過程中帶有跳時又該如何給期權定價？可以一步一步引導學生進行思考。

美式看跌期權由于可以提前執(zhí)行，我們無法得到其具體的價格公式，是不是美式看跌期權就此停止沒有辦法解決呢？通過討論很多同學想到那是不是可以用其他的方法來進行解決？在課堂上有的同學想到用求解偏微分方程的方法，有同學想到利用隨機模擬。啟發(fā)教學，集思廣益，團隊合作，這正是未來人才需要的。通過學習找到一種終身學習的方法，這就是教育教學的成功。

針對奇異期權我們只能用求解偏微分方程的解或數(shù)值解或者隨機模擬找其價格。通過進行啟發(fā)引導，通過比較分析，使學生明白什么樣的問題用什么樣的方法。實際中遇到的問題并不像教材中的問題那么簡單，需要用長期訓練的數(shù)學思維和金融頭腦來解決實際問題。

談到期權定價中的參數(shù)估計時，針對離散模型的參數(shù)估計和連續(xù)模型的參數(shù)估計，他們之間有沒有聯(lián)系？給定一組市場的數(shù)據(jù)，用離散模型還是連續(xù)模型？如何做參數(shù)估計？參數(shù)估計是不是只能用矩估計，有沒有別的估計的方法？可否用統(tǒng)計學中學到的估計的方法？最近的Lasso估計是否可以用到處理期權定價中？老問題新方法未嘗不可。在教學中多引導學生思考，多接受新的知識新的方法，與時俱進地進行學習。

通過上述的聯(lián)系實際和啟發(fā)式教學等，鼓勵學生自主查閱學習有關的內容，多查資料多思考，教會學生學習方法和提高學生自主學習的能力，激發(fā)學生的內在驅動力和學習的主動性。基于此，我們還要重視理論學習和實踐的操作性，激發(fā)學生的學習興趣和動力，培養(yǎng)學生應用所學理論和方法解決實際問題的能力。只有讓學生體會到成就感，才會良性循環(huán)地進一步提高學習的積極性。

1.4增強動手能力

通常，大家只是在學理論，很少利用書上的內容處理實際中的問題。比如說大家都會年金的計算，可是一旦將年金用到分期購車中或者購買保險中，大家會不知如何下手。紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。因此需要在講授課程時讓學生多動手實踐。由于課時有限，不可能在課上讓每位學生都動手操作，那么就需要多利用課下時間讓學生進行動手實踐，并鼓勵學生實踐操作有問題時及時提問并反饋。首先通過觀察分析得到的數(shù)據(jù)建立合適的數(shù)學模型，然后理論分析求解，或通過數(shù)值計算模擬進行量化的研究和分析。最后能夠找到金融中的內在規(guī)律，對實際問題進行分析并指導。比如關于期權的定價方面，首先處理數(shù)據(jù)，選用合適的數(shù)學模型，對模型做參數(shù)估計，然后利用理論分析衍生產(chǎn)品的價格，最后再根據(jù)結果看有無套利機會，進一步對風險進行管理和監(jiān)控。這就要求學生要會動手編程，會使用一些應用數(shù)學軟件。通過這一套系統(tǒng)地學習，讓學生既掌握了相關課程的知識，又能夠學以致用，體會到學習的樂趣，才能更好的學習。其他金融方面的內容也是類似的。

因此，在課堂教學中能夠將一些金融中的案例以及編程計算[4]（如excel表，matlab，C，Sas以及R）融入金融數(shù)學的學習中，使得熟練掌握枯燥的理論性知識能夠應用到銀行、保險、證券、信托等保險金融領域。這就要求學生在課下至少學會一種編程，在遇到實際問題能夠進行操作，不是僅僅作為一個空想家，而是作為一個實踐家。

2金融數(shù)學課程培養(yǎng)目標

對于金融數(shù)學方向的學生來講，需要具備扎實的數(shù)學理論知識，同時要具備金融基礎，了解金融背景，并且還需要會進行編程和統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析。只有將這幾方面都掌握了，才可以將所學轉化為所用。只有掌握了相關課程的知識，同時又能夠學以致用，體會到學習的快樂，學生才能夠更好地學習。結合現(xiàn)代社會的特點，金融數(shù)學課程培養(yǎng)既懂數(shù)學又懂金融的應用型的金融人才，[5]能夠勝任銀行、證券、信托等金融領域金融分析、投資分析、統(tǒng)計建模、風險管理等方面的工作。

基金項目：武漢大學教學改革項目

參考文獻

[1]J.Stampfli，V.Goodman.金融數(shù)學[M].蔡明超，譯.機械工業(yè)出版社， 2004.

[2]何賓.金融數(shù)學課程教學中存在的問題與應對措施[J].大科技， 2019，8：50-51.

[3]張亞男.數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)金融數(shù)學課程教學改革的研究[J].國際應用數(shù)學進展，2019，1：1-3.

[4]胡素敏.案例教學在金融數(shù)學課程教學中的應用[J].金融理論與教學，2019，8：104-106.

[5]吳文青，張元元.經(jīng)濟新常態(tài)下金融數(shù)學課程建設思考[J].職業(yè)教育，2018，7（2）：63-66.